Descomposición prima como producto de factores primos
Resumen inicial
La descomposición prima expresa un número compuesto como producto exclusivo de factores primos elevados a sus potencias: $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}$.
Explicación en palabras simples
La descomposición prima es como desarmar un objeto compuesto hasta obtener sus componentes más simples e indivisibles. Consiste en escribir cualquier número entero como una multiplicación donde todos los factores que intervienen son números primos.
Explicación formal
Para todo entero $n > 1$, su Descomposición en Factores Primos (o Canónica) se expresa de la forma:
$$n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k} = \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$$
Desglose de la fórmula:
- $p_1 < p_2 < \dots < p_k$: Primos distintos ordenados de menor a mayor.
- $e_i \in \mathbb{N}$: Exponentes naturales que indican cuántas veces se repite cada primo como factor.
- $\prod$: Notación del producto acumulado de los factores primos elevados a sus potencias.
Complemento didáctico: En $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, el factor primo 2 se repite 2 veces, el 3 una vez y el 5 una vez.
La alternativa correcta es '2^2 · 3 · 5', pues todos sus factores son primos.
Definiciones clave
- Descomposición prima (canónica): Expresión de $n$ como multiplicación exclusiva de potencias de primos.
- Exponente de la potencia: Frecuencia $e_i$ de repetición del factor primo $p_i$.
Propiedades y relaciones importantes
- Existencia universal: Todo compuesto se puede expresar como producto de primos.
Ejemplo guiado
Escriba la descomposición prima del número $60$ en forma de potencias de primos.
- Paso 1: Descomponer 60 en productos: $60 = 6 \cdot 10$.
- Paso 2: Descomponer cada factor en primos: $6 = 2 \cdot 3$ y $10 = 2 \cdot 5$.
- Paso 3: Agrupar los factores primos iguales: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
- Conclusión: La descomposición prima canónica de 60 es $2^2 \cdot 3 \cdot 5$.
La alternativa correcta es '2 veces (exponente 2)'.
Procedimiento
- Paso 1: Dividir el número compuesto entre sus factores primos divisores.
- Paso 2: Continuar dividiendo los cocientes por primos hasta obtener puros factores primos.
- Paso 3: Escribir la multiplicación de primos agrupando repeticiones en notación de potencias.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Dejar números compuestos en la expresión de descomposición prima ($60 = 6 \cdot 10$). Cómo corregirlo: Todos los factores deben ser estrictamente números PRIMOS.
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Error 2: Incluir al número 1 en la multiplicación ($60 = 1 \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 5$). Cómo corregirlo: El 1 no es primo y no debe formar parte de la descomposición prima.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.
- $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$. Ambas bases son primas.
- Sí, por el Teorema Fundamental de la Aritmética.
- No, el 18 es un número compuesto. La correcta es $2^2 \cdot 3^2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Expresar números compuestos en su forma canónica de factorización prima.
Escribiendo el número como el producto ordenado de potencias de primos distintos $n = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}$ con $p_1 < p_2 < \dots < p_k \in \mathbb{P}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué significa descomponer un número entero en factores primos?
Descomponer un número en factores primos consiste en escribirlo como un producto (multiplicación) donde cada factor es un número primo.
Respuesta: A) Expresar el número como un producto donde todos los factores son números primos.
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¿Por qué la expresión $3 \cdot 10$ no es una descomposición prima de $30$?
Para que una expresión sea una descomposición prima, todos sus factores deben ser números primos. Como $10$ es compuesto, la expresión no es una descomposición prima.
Respuesta: A) Porque el número $10$ es un número compuesto y no un número primo.
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En la descomposición prima del número $28$, que es $2^2 \cdot 7$, ¿cuál es el significado del exponente $2$?
En matemáticas, el exponente en una potencia representa cuántas veces se multiplica la base por sí misma. Así, $2^2$ significa $2 \cdot 2$.
Respuesta: A) Indica que el factor primo $2$ se multiplica por sí mismo dos veces ($2 \cdot 2$).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes expresiones representa la descomposición en factores primos del número $20$?
$2^2 \cdot 5 = 4 \cdot 5 = 20$. Todos los factores ($2$ y $5$) son primos. Las otras opciones contienen números compuestos ($4$, $10$) o son sumas.
Respuesta: A) $2^2 \cdot 5$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que al descomponer el número $16$ en factores primos se obtiene $2^4$?
$16$ dividido sucesivamente por $2$ da $8, 4, 2, 1$. El factor primo $2$ se repite $4$ veces, por lo que es $2^4$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que la descomposición prima de $45$ es $3 \cdot 5^2$?
La expresión $3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$, que no es igual a $45$. La descomposición prima correcta de $45$ es $3^2 \cdot 5 = 9 \cdot 5 = 45$.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que todo número compuesto mayor que $1$ tiene una descomposición en factores primos?
Por el Teorema Fundamental de la Aritmética, cualquier número compuesto mayor que $1$ se puede descomponer de forma única en un producto de factores primos.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una caja con forma de cubo tiene un volumen expresado en centímetros cúbicos que equivale a $2^3 \cdot 3^3$. Si se desea saber cuál es la medida de la arista del cubo en centímetros, ¿cuál de las siguientes expresiones representa esa arista?
El volumen de un cubo es $V = a^3$, donde $a$ es la arista. Se nos da $V = 2^3 \cdot 3^3$. Por propiedades de potencias, $2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3 = 6^3$. Por ende, la arista $a$ es $6$ cm.
Respuesta: A) $6$
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Un estudiante afirma que si $P = 2^a \cdot 3^b \cdot 5^c$ es la descomposición prima de un número $P$, y se sabe que $a=2$, $b=1$ y $c=2$, entonces el valor de $P$ es:
Reemplazando los exponentes: $P = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 12 \cdot 25 = 300$. Por lo tanto, la opción correcta es $300$.
Respuesta: A) $300$
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Sea $M$ un número entero positivo cuya descomposición en factores primos es $2^x \cdot 3^y \cdot 7^z$. Si se sabe que $M$ es un múltiplo de $21$ y un divisor de $252$ (cuya descomposición es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^1$), ¿cuál de los siguientes conjuntos de valores para $(x, y, z)$ es posible?
Para ser múltiplo de $21 = 3 \cdot 7$, se requiere $y \geq 1$ y $z \geq 1$. Para ser divisor de $252 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 7^1$, se requiere $x \leq 2$, $y \leq 2$ y $z \leq 1$. La opción A ($x=1, y=2, z=1$) cumple todas estas condiciones.
Respuesta: A) $x=1, y=2, z=1$