Concepto de factor primo
Resumen inicial
Un factor primo de $n$ es un número que satisface simultáneamente ser un divisor exacto de $n$ y ser un número primo.
Explicación en palabras simples
Un factor primo es un número divisor que además posee la propiedad de ser primo. Representa cada uno de los bloques atómicos o piezas fundamentales con los que se construye un número compuesto al multiplicarlos entre sí.
Explicación formal
Para un entero $n > 1$, un número $p \in \mathbb{N}$ se define como un Factor Primo de $n$ si cumple la conjunción:
$$p \mid n \quad \land \quad p \in \text{Primos}$$
Desglose de la fórmula:
- $p \mid n$: La división $n : p$ es exacta con residuo cero ($n = p \cdot k$).
- $p \in \text{Primos}$: El divisor $p$ posee exactamente dos divisores positivos ($|D(p)| = 2$).
Complemento didáctico: Los divisores de 12 son $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$, pero únicamente el 2 y el 3 son sus factores primos.
La alternativa correcta es 'Ser divisor exacto de n y ser un número primo'.
Definiciones clave
- Factor primo: Divisor exacto que pertenece al conjunto de los números primos.
- Divisores no primos: Divisores que son compuestos (como 4 u 6) o la unidad (1).
Propiedades y relaciones importantes
- Menor factor primo: El menor divisor propio de todo compuesto $n > 1$ es siempre un número primo.
Ejemplo guiado
Identifique cuáles de los divisores del número $20$ son factores primos.
- Paso 1: Obtener todos los divisores positivos de 20: $D(20) = \{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$.
- Paso 2: Filtrar los divisores comprobando cuáles son primos: 1 es unidad (no primo), 4, 10 y 20 son compuestos.
- Paso 3: Seleccionar los elementos primos: el 2 y el 5 son primos.
- Conclusión: Los factores primos de 20 son $\{2, 5\}$.
La alternativa correcta es '2 y 5'.
Procedimiento
- Paso 1: Encontrar todos los divisores del número entero $n$.
- Paso 2: Evaluar la primalidad de cada uno de los divisores de la lista.
- Paso 3: Conservar únicamente aquellos divisores que tengan exactamente dos divisores positivos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Confundir divisores generales con factores primos. Incluir al 4 o al 6 como factores primos de 12. Cómo corregirlo: 4 y 6 son divisores compuestos, no factores primos.
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Error 2: Incluir al 1 como factor primo de un número. Cómo corregirlo: El 1 es la unidad y no se considera factor primo.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Divisores: $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$. Primos en la lista: 2 y 3.
- $30 : 5 = 6$ exacto y 5 es primo, por lo tanto es factor primo.
- Sí, ser divisor es un requisito indispensable de la definición.
- No, 8 es un divisor pero es compuesto ($8 = 2^3$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Identificar y extraer los factores primos de cualquier número natural.
Determinando la intersección entre los divisores positivos y el conjunto de números primos $\text{Factores Primos}(n) = D(n) \cap \mathbb{P}$ mediante criterios de divisibilidad.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si un número entero es par y mayor que $2$, ¿cuál de los siguientes números es garantizado que es uno de sus factores primos?
Todo número par mayor que $2$ es divisible por $2$. Como $2$ es un número primo, está garantizado que $2$ es uno de sus factores primos.
Respuesta: A) $2$
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¿Qué es un factor primo de un número compuesto?
Un factor primo es un divisor de un número compuesto que tiene la propiedad de ser un número primo.
Respuesta: A) Un número primo que divide exactamente al número compuesto.
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¿Por qué el número $1$ no se considera un factor primo de un número compuesto?
Por definición, un número primo debe ser mayor que $1$ y tener exactamente dos divisores. Como el $1$ no es primo, no puede ser un factor primo.
Respuesta: A) Porque el $1$ no es un número primo por definición.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Dada la lista de todos los divisores del número $18$: $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$, ¿cuál es el conjunto de sus factores primos?
De la lista de divisores de $18$, los únicos números que son primos son el $2$ y el $3$. Por ende, el conjunto de factores primos es $\{2, 3\}$.
Respuesta: A) $\{2, 3\}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que los únicos factores primos de $30$ son $2$, $3$ y $5$?
Los divisores de $30$ son $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$. De estos, los primos son $2$, $3$ y $5$. Por lo tanto, la afirmación es verdadera.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que $9$ es un factor primo de $27$?
Aunque $9$ es un divisor de $27$ ($27 \div 9 = 3$), el número $9$ no es un número primo (es compuesto, ya que es divisible por $1$, $3$ y $9$). Por tanto, no es un factor primo.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número primo $7$ es un factor primo de $49$?
$7$ es un número primo y divide exactamente a $49$ ($49 \div 7 = 7$). Por lo tanto, es un factor primo de $49$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un granjero tiene un saco con cierta cantidad de naranjas. Si la cantidad de naranjas es un número cuya lista de factores primos contiene únicamente al $3$ y al $5$, ¿cuál de las siguientes opciones podría representar la cantidad de naranjas en el saco?
Para que un número tenga únicamente a $3$ y $5$ como factores primos, no debe ser divisible por ningún otro número primo (como el $2$). Analizando: $75 = 3 \cdot 5^2$ (solo primos $3$ y $5$). Los otros números ($30, 40, 90$) son pares, por lo que tienen al $2$ como factor primo.
Respuesta: A) $75$
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Un número entero positivo $K$ es el producto de tres números primos distintos $p$, $q$ y $r$ tales que $p < q < r$. Si $K$ es un número impar menor que $110$ y uno de sus factores primos es $5$, ¿cuál es el valor de los tres factores primos?
Como $K$ es impar, el primo $2$ no puede ser factor. Probemos la opción A: $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$, que es impar y menor que $110$. Las otras opciones dan números pares o mayores que $110$ ($3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$ y $5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$).
Respuesta: A) $p=3, q=5, r=7$
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Si $N$ es un número entero divisible por $14$ y por $15$, ¿cuál de los siguientes conjuntos de números primos está garantizado que contiene solo factores primos de $N$?
Si $N$ es divisible por $14$, tiene los factores primos de $14$, que son $2$ y $7$. Si $N$ es divisible por $15$, tiene los factores primos de $15$, que son $3$ y $5$. Por tanto, $2, 3, 5, 7$ son factores primos garantizados de $N$. El $14$ y $15$ en las opciones B y C no son primos, y el $11$ en D no está garantizado.
Respuesta: A) $\{2, 3, 5, 7\}$