Concepto de factor primo
Identificar y definir qué es un factor primo de un número entero.
Introducción
Imagina que tienes una caja de bloques de construcción Lego de diferentes colores. Con ellos puedes armar cualquier juguete. En el mundo de los números, los números primos son como esos bloques de Lego básicos e indivisibles.
Si desarmas cualquier número compuesto (como el 12), encontrarás que está construido multiplicando números primos (en este caso, 2 y 3). A cada uno de estos bloques de construcción primos los llamamos factores primos.
Aprender a reconocerlos te ayudará a entender cómo se estructuran todos los números enteros y será de gran utilidad para simplificar fracciones o encontrar múltiplos comunes.
Explicación
Para comprender qué es un factor primo, primero debemos recordar dos conceptos clave:
- Divisor o Factor: Un número entero $a$ es factor de $b$ si la división $b \div a$ es exacta (con residuo cero).
- Número Primo: Un número entero mayor que $1$ que solo tiene dos divisores positivos: el $1$ y él mismo. Ejemplos: $2, 3, 5, 7, 11, \dots$.
Por lo tanto, un factor primo de un número $N$ es un número que es primo y que además es divisor de $N$.
Por ejemplo, consideremos los divisores del número $20$:
Los divisores de $20$ son: $\{1, 2, 4, 5, 10, 20\}$.
De esta lista, ¿cuáles son números primos?
- El $1$ no es primo.
- El $2$ es primo.
- El $4$ no es primo.
- El $5$ es primo.
- El $10$ no es primo.
- El $20$ no es primo.
Por lo tanto, los factores primos de $20$ son el $2$ y el $5$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica todos los divisores enteros del número dado.
- Paso 2: Revisa la lista de divisores y selecciona únicamente aquellos que sean números primos (recuerda que el 1 no es primo).
- Paso 3: Escribe los factores primos seleccionados sin repetirlos.
Ejemplos
1 Encuentra los factores primos de $15$.
- Paso a: Encontramos los divisores de $15$, que son: $\{1, 3, 5, 15\}$.
- Paso b: Identificamos cuáles de estos divisores son números primos. Estos son el $3$ y el $5$.
- Paso c: Concluimos que los factores primos de $15$ son $3$ y $5$.
2 Determina cuáles son los factores primos de $8$.
- Paso a: Encontramos todos los divisores de $8$, que son: $\{1, 2, 4, 8\}$.
- Paso b: Filtramos los que son primos. El único número primo en este conjunto es el $2$.
- Paso c: Por lo tanto, el único factor primo de $8$ es el $2$.
3 ¿Es el número $5$ un factor primo de $35$?
- El número $5$ es un número primo porque solo tiene como divisores a $1$ y a $5$.
- Además, $5$ divide de forma exacta a $35$ ($35 \div 5 = 7$, residuo $0$).
- Por lo tanto, $5$ sí es un factor primo de $35$.
4 ¿Es el número $4$ un factor primo de $12$?
- Aunque $4$ es un divisor de $12$ ($12 \div 4 = 3$), el número $4$ no es un número primo (tiene como divisores a $1$, $2$ y $4$).
- Como no es primo, no puede ser un factor primo de $12$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Considerar al número 1 como un factor primo de cualquier número, cuando en realidad el 1 no es un número primo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Incluir números compuestos como factores primos solo porque son divisores del número dado (por ejemplo, decir que 6 es un factor primo de 18)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que un número impar no puede tener factores primos pares, olvidando que el 2 es el único primo par."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir la lista de todos los divisores con la lista de factores primos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que la cantidad de factores primos de un número compuesto siempre debe ser mayor a 2."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un factor primo es un número primo que divide exactamente a otro número entero. Por ejemplo, los factores primos de $18$ son $2$ y $3$, ya que ambos son primos y dividen a $18$ sin dejar residuo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si un número entero es par y mayor que $2$, ¿cuál de los siguientes números es garantizado que es uno de sus factores primos?
Todo número par mayor que $2$ es divisible por $2$. Como $2$ es un número primo, está garantizado que $2$ es uno de sus factores primos.
Respuesta: A) $2$
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¿Qué es un factor primo de un número compuesto?
Un factor primo es un divisor de un número compuesto que tiene la propiedad de ser un número primo.
Respuesta: A) Un número primo que divide exactamente al número compuesto.
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¿Por qué el número $1$ no se considera un factor primo de un número compuesto?
Por definición, un número primo debe ser mayor que $1$ y tener exactamente dos divisores. Como el $1$ no es primo, no puede ser un factor primo.
Respuesta: A) Porque el $1$ no es un número primo por definición.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Dada la lista de todos los divisores del número $18$: $\{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$, ¿cuál es el conjunto de sus factores primos?
De la lista de divisores de $18$, los únicos números que son primos son el $2$ y el $3$. Por ende, el conjunto de factores primos es $\{2, 3\}$.
Respuesta: A) $\{2, 3\}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que los únicos factores primos de $30$ son $2$, $3$ y $5$?
Los divisores de $30$ son $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$. De estos, los primos son $2$, $3$ y $5$. Por lo tanto, la afirmación es verdadera.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que $9$ es un factor primo de $27$?
Aunque $9$ es un divisor de $27$ ($27 \div 9 = 3$), el número $9$ no es un número primo (es compuesto, ya que es divisible por $1$, $3$ y $9$). Por tanto, no es un factor primo.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número primo $7$ es un factor primo de $49$?
$7$ es un número primo y divide exactamente a $49$ ($49 \div 7 = 7$). Por lo tanto, es un factor primo de $49$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un granjero tiene un saco con cierta cantidad de naranjas. Si la cantidad de naranjas es un número cuya lista de factores primos contiene únicamente al $3$ y al $5$, ¿cuál de las siguientes opciones podría representar la cantidad de naranjas en el saco?
Para que un número tenga únicamente a $3$ y $5$ como factores primos, no debe ser divisible por ningún otro número primo (como el $2$). Analizando: $75 = 3 \cdot 5^2$ (solo primos $3$ y $5$). Los otros números ($30, 40, 90$) son pares, por lo que tienen al $2$ como factor primo.
Respuesta: A) $75$
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Un número entero positivo $K$ es el producto de tres números primos distintos $p$, $q$ y $r$ tales que $p < q < r$. Si $K$ es un número impar menor que $110$ y uno de sus factores primos es $5$, ¿cuál es el valor de los tres factores primos?
Como $K$ es impar, el primo $2$ no puede ser factor. Probemos la opción A: $3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$, que es impar y menor que $110$. Las otras opciones dan números pares o mayores que $110$ ($3 \cdot 5 \cdot 11 = 165$ y $5 \cdot 7 \cdot 11 = 385$).
Respuesta: A) $p=3, q=5, r=7$
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Si $N$ es un número entero divisible por $14$ y por $15$, ¿cuál de los siguientes conjuntos de números primos está garantizado que contiene solo factores primos de $N$?
Si $N$ es divisible por $14$, tiene los factores primos de $14$, que son $2$ y $7$. Si $N$ es divisible por $15$, tiene los factores primos de $15$, que son $3$ y $5$. Por tanto, $2, 3, 5, 7$ son factores primos garantizados de $N$. El $14$ y $15$ en las opciones B y C no son primos, y el $11$ en D no está garantizado.
Respuesta: A) $\{2, 3, 5, 7\}$