Cálculo de cantidad total de divisores mediante exponentes
Calcular la cantidad total de divisores positivos de un número entero utilizando su descomposición prima.
Introducción
Imagina que tienes una gran colección de figuritas y quieres guardarlas en cajas de tal manera que cada caja tenga exactamente la misma cantidad. Para saber de cuántas maneras distintas puedes organizar tus cajas sin que te sobre ninguna figurita, necesitas conocer la cantidad de divisores que tiene tu total de figuritas.
Si el número es muy grande, como 360, listar todos los divisores uno por uno para contarlos puede tomar mucho tiempo y es fácil que olvides alguno.
¡Por suerte, hay una fórmula matemática mágica! Si conoces la descomposición prima del número, solo necesitas hacer una suma muy simple a los exponentes y multiplicarlos para saber de inmediato cuántos divisores tiene.
Explicación
El cálculo de la cantidad de divisores de un número compuesto se puede simplificar enormemente utilizando el Teorema Fundamental de la Aritmética.
Si tenemos un número entero $N > 1$, y su descomposición en factores primos es:
$$N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot p_3^{a_3} \dots p_k^{a_k}$$
Donde $p_i$ son números primos distintos y $a_i$ son sus respectivos exponentes enteros positivos.
Cualquier divisor positivo de $N$ debe estar formado por los mismos factores primos $p_i$, pero elevados a exponentes que van desde $0$ hasta $a_i$.
Esto significa que para el factor $p_1$ tenemos $(a_1 + 1)$ opciones de exponente (que son $0, 1, 2, \dots, a_1$).
Para el factor $p_2$ tenemos $(a_2 + 1)$ opciones, y así sucesivamente.
Por el principio multiplicativo, la cantidad total de divisores positivos, denotada comúnmente como $d(N)$, es:
$$d(N) = (a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot (a_3 + 1) \dots (a_k + 1)$$
Ejemplo práctico:
Calculemos cuántos divisores tiene el número $12$:
1. Primero obtenemos su descomposición prima: $12 = 2^2 \cdot 3^1$.
2. Los exponentes son $a_1 = 2$ (para el primo $2$) y $a_2 = 1$ (para el primo $3$).
3. Sumamos $1$ a cada exponente:
- $2 + 1 = 3$
- $1 + 1 = 2$
4. Multiplicamos los resultados:
$$d(12) = 3 \cdot 2 = 6$$
El número $12$ tiene exactamente $6$ divisores positivos (los cuales son $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Encuentra la descomposición en factores primos del número dado.
- Paso 2: Identifica todos los exponentes de los factores primos en la descomposición (si un factor primo no tiene exponente escrito, su exponente es 1).
- Paso 3: Suma 1 a cada uno de los exponentes identificados.
- Paso 4: Multiplica todos los resultados obtenidos en el Paso 3. El producto final es la cantidad de divisores del número.
Ejemplos
1 Calcula cuántos divisores positivos tiene el número $18$.
- Paso a: Encontramos la descomposición prima de $18$: $18 = 2^1 \cdot 3^2$.
- Paso b: Identificamos los exponentes, que son $1$ y $2$.
- Paso c: Sumamos $1$ a cada exponente: $1+1 = 2$ y $2+1 = 3$.
- Paso d: Multiplicamos los resultados: $2 \cdot 3 = 6$. El número $18$ tiene $6$ divisores positivos.
2 Determina la cantidad de divisores positivos de $40$.
- Paso a: Obtenemos la descomposición prima de $40$: $40 = 2^3 \cdot 5^1$.
- Paso b: Los exponentes son $3$ y $1$.
- Paso c: Sumamos $1$ a cada exponente: $3+1 = 4$ y $1+1 = 2$.
- Paso d: Multiplicamos: $4 \cdot 2 = 8$. Por lo tanto, $40$ tiene $8$ divisores positivos.
3 ¿Tiene el número $25$ exactamente $3$ divisores positivos?
- Descomponemos $25$ en factores primos: $25 = 5^2$.
- El único exponente es $2$.
- Sumamos $1$ a este exponente: $2 + 1 = 3$.
- Como no hay más exponentes que multiplicar, la cantidad de divisores es $3$ (los cuales son $1$, $5$ y $25$).
4 Si la descomposición prima de un número es $2^2 \cdot 3^2$, ¿significa que tiene exactamente $4$ divisores?
- Los exponentes en la descomposición $2^2 \cdot 3^2$ son $2$ y $2$.
- Sumamos $1$ a cada uno: $2+1 = 3$ y $2+1 = 3$.
- Multiplicamos los resultados: $3 \cdot 3 = 9$ divisores.
- Por lo tanto, la cantidad de divisores es $9$ y no $4$ (el error común es multiplicar los exponentes originales $2 \cdot 2 = 4$ sin sumarles 1).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Multiplicar los exponentes originales directamente sin sumarles 1 primero."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que cuando un factor primo no tiene exponente explícito, este es igual a 1."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar las bases de los factores primos en lugar de sus exponentes modificados."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No descomponer por completo el número antes de aplicar la regla (como usar bases compuestas)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar incluir el divisor 1 y el propio número en el conteo total."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para encontrar la cantidad de divisores de un número, se escribe su descomposición prima $p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \dots p_k^{a_k}$, se le suma $1$ a cada exponente y se multiplican estos resultados: $(a_1 + 1)(a_2 + 1) \dots (a_k + 1)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si la descomposición en factores primos de un número $N$ es $p^a \cdot q^b$, ¿cuál es la fórmula para calcular su cantidad total de divisores positivos?
Para calcular la cantidad de divisores a partir de la descomposición prima, se le suma $1$ a cada exponente de los factores primos y luego se multiplican los resultados.
Respuesta: A) $(a+1)(b+1)$
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Para calcular la cantidad de divisores de un número usando la fórmula de exponentes, ¿qué condición deben cumplir las bases de la descomposición?
La fórmula se basa en la descomposición en factores primos del número compuesto. Por lo tanto, las bases de las potencias deben ser obligatoriamente números primos diferentes.
Respuesta: A) Deben ser todos números primos distintos.
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Si un número entero es primo, ¿cuántos divisores positivos tiene según su descomposición $p^1$ y la fórmula correspondiente?
La descomposición prima de un número primo $p$ es simplemente $p^1$. Aplicando la fórmula de cantidad de divisores: $(1+1) = 2$. Esto coincide con la definición de número primo, que tiene exactamente dos divisores (el $1$ y él mismo).
Respuesta: A) $2$, porque el exponente es $1$ y $(1+1)=2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Dada la descomposición prima del número $72$: $2^3 \cdot 3^2$, ¿cuáles son los exponentes a los que se les debe sumar $1$ para aplicar la fórmula de cantidad de divisores?
Los exponentes en la descomposición de $72 = 2^3 \cdot 3^2$ son $3$ (de la base $2$) y $2$ (de la base $3$). A estos valores se les suma $1$ para aplicar la fórmula: $(3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12$ divisores.
Respuesta: A) $3$ y $2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que para calcular la cantidad de divisores de $10^2$, podemos aplicar directamente la fórmula de exponentes como $(2+1)=3$?
Para aplicar la fórmula, las bases de la descomposición deben ser números primos. La base $10$ en $10^2$ no es prima. Debemos descomponer primero: $10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$. Luego la cantidad de divisores es $(2+1)(2+1) = 3 \cdot 3 = 9$ divisores, no $3$.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número $16 = 2^4$ tiene exactamente $4$ divisores positivos?
La descomposición prima es $2^4$. El exponente es $4$. Aplicando la fórmula, sumamos $1$: $4+1 = 5$ divisores. Los divisores son $\{1, 2, 4, 8, 16\}$. Por lo tanto, la afirmación de que tiene $4$ divisores es falsa.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número $30$, cuya descomposición prima es $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1$, tiene exactamente $8$ divisores positivos?
Los exponentes son $1$, $1$ y $1$. Sumando $1$ a cada uno obtenemos $2$, $2$ y $2$. Multiplicando: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ divisores. Esto es verdadero (los divisores son $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$).
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Sea $N = 2^x \cdot 3^2$ un número entero positivo. Si se sabe que $N$ tiene exactamente $12$ divisores positivos, ¿cuál es el valor de $x$?
Dado que las bases $2$ y $3$ son primos distintos, aplicamos la fórmula de cantidad de divisores: $(x+1)(2+1) = 12 \Rightarrow (x+1) \cdot 3 = 12 \Rightarrow x+1 = 4 \Rightarrow x = 3$. El valor de $x$ debe ser $3$.
Respuesta: A) $3$
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Se define la función $\tau(n)$ como la cantidad de divisores positivos de un entero $n$. ¿Cuál de los siguientes números $n$ cumple con que $\tau(n) = 4$?
Si $n = p^1 \cdot q^1$ con $p, q$ primos distintos, entonces $\tau(n) = (1+1)(1+1) = 4$. Si es primo, $\tau(p) = 2$. Si es $p^4$, $\tau(p^4) = 5$. Si es $2^2$, $\tau(4) = 3$. Por lo tanto, la opción correcta es la A.
Respuesta: A) Un número que es el producto de dos números primos distintos.
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Un coleccionista de cartas quiere organizar sus ítems en álbumes de manera que todos tengan la misma cantidad de cartas. Si tiene $180$ cartas, ¿de cuántas formas distintas puede agruparlas usando grupos de igual tamaño?
Cada forma de agrupar las cartas equivale a encontrar un divisor positivo de $180$. Obtenemos su descomposición prima: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$. Aplicando la fórmula de cantidad de divisores: $d(180) = (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ divisores. Por lo tanto, hay exactamente $18$ formas distintas de agrupar las cartas.
Respuesta: A) $18$ formas