Cálculo de cantidad total de divisores mediante exponentes
Resumen inicial
La cantidad total de divisores positivos de $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \dots p_k^{e_k}$ se calcula sumando 1 a cada exponente y multiplicando los resultados: $N(n) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\dots(e_k + 1)$.
Explicación en palabras simples
Para saber exactamente cuántos divisores positivos tiene un número sin necesidad de buscarlos y contarlos uno por uno, primero escribimos su descomposición prima. Luego le sumamos 1 a cada uno de los exponentes de esa descomposición y multiplicamos todos esos resultados entre sí.
Explicación formal
Sea $n > 1$ con descomposición canónica $n = p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$. La Función Número de Divisores $N(n) = |D(n)|$ se calcula formalmente como:
$$N(n) = (e_1 + 1) \cdot (e_2 + 1) \cdot \ldots \cdot (e_k + 1) = \prod_{i=1}^k (e_i + 1)$$
Desglose de la fórmula:
- $e_i$: Exponente de la potencia del primo $p_i$ en la descomposición canónica.
- $(e_i + 1)$: Número de combinaciones posibles para el primo $p_i$ (desde elegir $p_i^0$ hasta $p_i^{e_i}$).
- $N(n)$: Total de divisores positivos únicos del entero $n$.
Complemento didáctico: Para $12 = 2^2 \cdot 3^1$, los exponentes son $e_1 = 2$ y $e_2 = 1$. Cantidad de divisores: $N(12) = (2+1)(1+1) = 3 \cdot 2 = 6$ divisores.
La alternativa correcta es 'N(n) = (e1 + 1) · (e2 + 1)'.
Definiciones clave
- Fórmula de la cantidad de divisores: Producto $N(n) = \prod (e_i + 1)$ derivado del principio multiplicativo del conteo.
- Combinatoria de factores: Selección independiente del exponente para cada base prima.
Propiedades y relaciones importantes
- Caracterización de cuadrados perfectos: $N(n)$ es impar si y solo si $n$ es un cuadrado perfecto (todos los $e_i$ son pares).
Ejemplo guiado
Calcule la cantidad total de divisores positivos del número $72$ aplicando la fórmula de los exponentes.
- Paso 1: Obtener la descomposición prima de 72: $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$.
- Paso 2: Identificar los exponentes de las bases primas: $e_1 = 3$ (para la base 2) y $e_2 = 2$ (para la base 3).
- Paso 3: Sumar 1 a cada exponente: $(3 + 1) = 4$ y $(2 + 1) = 3$.
- Paso 4: Multiplicar las sumas: $N(72) = 4 \cdot 3 = 12$.
- Conclusión: El número 72 posee exactamente $12$ divisores positivos.
La alternativa correcta es '12 divisores', calculando $(3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12$.
Procedimiento
- Paso 1: Escribir la descomposición prima del número en potencias de primos distintos.
- Paso 2: Identificar los exponentes $e_1, e_2, \dots, e_k$ de cada base prima.
- Paso 3: Sumar 1 a cada exponente y multiplicar los resultados para obtener $N(n)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Olvidar considerar el exponente 1 cuando un primo no lleva exponente explícito. En $20 = 2^2 \cdot 5^1$, no contar el exponente de 5. Cómo corregirlo: Si no hay exponente explícito, el exponente vale 1, sumando $(1+1)=2$.
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Error 2: Sumar 1 a las bases primas en lugar de a los exponentes. Cómo corregirlo: Se suma 1 ÚNICAMENTE a los exponentes $e_i$, no a las bases $p_i$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Exponentes: 1 y 2. Fórmula: $(1+1) \cdot (2+1) = 2 \cdot 3 = 6$ divisores.
- Exponente $e=1$. Fórmula: $(1+1) = 2$ divisores.
- Sí, porque al ser $e_i$ pares, todos los $(e_i+1)$ son impares, dando un producto impar.
- Sí, las bases deben ser primos distintos en descomposición canónica.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Calcular la cantidad total de divisores positivos $\tau(n)$ sin necesidad de listar el conjunto de divisores.
Obteniendo la factorización canónica $n = \prod p_i^{a_i}$ y aplicando el principio multiplicativo $\tau(n) = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \cdots (a_k + 1)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si la descomposición en factores primos de un número $N$ es $p^a \cdot q^b$, ¿cuál es la fórmula para calcular su cantidad total de divisores positivos?
Para calcular la cantidad de divisores a partir de la descomposición prima, se le suma $1$ a cada exponente de los factores primos y luego se multiplican los resultados.
Respuesta: A) $(a+1)(b+1)$
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Para calcular la cantidad de divisores de un número usando la fórmula de exponentes, ¿qué condición deben cumplir las bases de la descomposición?
La fórmula se basa en la descomposición en factores primos del número compuesto. Por lo tanto, las bases de las potencias deben ser obligatoriamente números primos diferentes.
Respuesta: A) Deben ser todos números primos distintos.
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Si un número entero es primo, ¿cuántos divisores positivos tiene según su descomposición $p^1$ y la fórmula correspondiente?
La descomposición prima de un número primo $p$ es simplemente $p^1$. Aplicando la fórmula de cantidad de divisores: $(1+1) = 2$. Esto coincide con la definición de número primo, que tiene exactamente dos divisores (el $1$ y él mismo).
Respuesta: A) $2$, porque el exponente es $1$ y $(1+1)=2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Dada la descomposición prima del número $72$: $2^3 \cdot 3^2$, ¿cuáles son los exponentes a los que se les debe sumar $1$ para aplicar la fórmula de cantidad de divisores?
Los exponentes en la descomposición de $72 = 2^3 \cdot 3^2$ son $3$ (de la base $2$) y $2$ (de la base $3$). A estos valores se les suma $1$ para aplicar la fórmula: $(3+1)(2+1) = 4 \cdot 3 = 12$ divisores.
Respuesta: A) $3$ y $2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que para calcular la cantidad de divisores de $10^2$, podemos aplicar directamente la fórmula de exponentes como $(2+1)=3$?
Para aplicar la fórmula, las bases de la descomposición deben ser números primos. La base $10$ en $10^2$ no es prima. Debemos descomponer primero: $10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$. Luego la cantidad de divisores es $(2+1)(2+1) = 3 \cdot 3 = 9$ divisores, no $3$.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número $16 = 2^4$ tiene exactamente $4$ divisores positivos?
La descomposición prima es $2^4$. El exponente es $4$. Aplicando la fórmula, sumamos $1$: $4+1 = 5$ divisores. Los divisores son $\{1, 2, 4, 8, 16\}$. Por lo tanto, la afirmación de que tiene $4$ divisores es falsa.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número $30$, cuya descomposición prima es $2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1$, tiene exactamente $8$ divisores positivos?
Los exponentes son $1$, $1$ y $1$. Sumando $1$ a cada uno obtenemos $2$, $2$ y $2$. Multiplicando: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ divisores. Esto es verdadero (los divisores son $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$).
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Sea $N = 2^x \cdot 3^2$ un número entero positivo. Si se sabe que $N$ tiene exactamente $12$ divisores positivos, ¿cuál es el valor de $x$?
Dado que las bases $2$ y $3$ son primos distintos, aplicamos la fórmula de cantidad de divisores: $(x+1)(2+1) = 12 \Rightarrow (x+1) \cdot 3 = 12 \Rightarrow x+1 = 4 \Rightarrow x = 3$. El valor de $x$ debe ser $3$.
Respuesta: A) $3$
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Se define la función $\tau(n)$ como la cantidad de divisores positivos de un entero $n$. ¿Cuál de los siguientes números $n$ cumple con que $\tau(n) = 4$?
Si $n = p^1 \cdot q^1$ con $p, q$ primos distintos, entonces $\tau(n) = (1+1)(1+1) = 4$. Si es primo, $\tau(p) = 2$. Si es $p^4$, $\tau(p^4) = 5$. Si es $2^2$, $\tau(4) = 3$. Por lo tanto, la opción correcta es la A.
Respuesta: A) Un número que es el producto de dos números primos distintos.
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Un coleccionista de cartas quiere organizar sus ítems en álbumes de manera que todos tengan la misma cantidad de cartas. Si tiene $180$ cartas, ¿de cuántas formas distintas puede agruparlas usando grupos de igual tamaño?
Cada forma de agrupar las cartas equivale a encontrar un divisor positivo de $180$. Obtenemos su descomposición prima: $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$. Aplicando la fórmula de cantidad de divisores: $d(180) = (2+1)(2+1)(1+1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18$ divisores. Por lo tanto, hay exactamente $18$ formas distintas de agrupar las cartas.
Respuesta: A) $18$ formas