Obtención de múltiplos de un número natural
Calcular los múltiplos de un número natural dado multiplicando por naturales consecutivos y contar cuántos múltiplos caen en un intervalo.
Introducción
Imagina que cada vez que pisas un escalón subes 4 peldaños. Empiezas en 0, luego
estás en 4, después en 8, luego 12, 16... Estás generando los múltiplos de 4
simplemente sumando 4 una y otra vez.
Para obtener los múltiplos de cualquier número, multiplicas ese número por
0, 1, 2, 3, 4... La lista sigue sin parar. Lo útil de esto es que puedes
predecir fácilmente en qué "escalón" estás: el décimo múltiplo de 4 es
$4 \times 10 = 40$, sin tener que contar uno por uno.
Explicación
Los múltiplos de $n$ se generan multiplicando $n$ por cada número natural:
$$M(n) = \{0,\; n,\; 2n,\; 3n,\; 4n,\; \ldots,\; kn,\; \ldots\}$$
Para listar los múltiplos de $n$:
- Se calcula $n \times 0 = 0$, luego $n \times 1 = n$, luego $n \times 2 = 2n$, y así.
- Cada múltiplo se obtiene sumando $n$ al anterior: la diferencia entre
múltiplos consecutivos es siempre $n$.
Para contar múltiplos de $n$ en el intervalo $[1, m]$:
$$\text{cantidad} = \left\lfloor \frac{m}{n} \right\rfloor$$
(la parte entera del cociente $m \div n$, ignorando el resto).
Ejemplo: ¿Cuántos múltiplos de 7 hay entre 1 y 50?
$50 \div 7 = 7$ con resto $1$, luego hay $\lfloor 50/7 \rfloor = 7$ múltiplos:
$\{7, 14, 21, 28, 35, 42, 49\}$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Para listar los primeros $k$ múltiplos positivos, calcular $n \times 1, n \times 2, \ldots, n \times k$.
- Paso 2: Para el $k$-ésimo múltiplo positivo, usar directamente la fórmula $n \times k$.
- Paso 3: Para contar múltiplos de $n$ entre 1 y $m$, calcular $\lfloor m \div n \rfloor$ (cociente entero).
Ejemplos
1 Escribe los primeros 6 múltiplos positivos de 9.
- Se multiplica $9 \times 1 = 9$, $9 \times 2 = 18$, $9 \times 3 = 27$.
- Continúa: $9 \times 4 = 36$, $9 \times 5 = 45$, $9 \times 6 = 54$.
- Los primeros 6 múltiplos positivos de 9 son: $\{9, 18, 27, 36, 45, 54\}$.
2 ¿Cuántos múltiplos de 4 hay entre 1 y 30?
- Se calcula $30 \div 4 = 7$ con resto $2$.
- La parte entera es 7, luego hay 7 múltiplos de 4 en ese rango.
- Verificación: $\{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28\}$ — efectivamente 7 elementos.
3 ¿El 0 pertenece al conjunto de múltiplos de cualquier número natural?
- Para cualquier $n$ natural, $n \times 0 = 0$.
- Por definición de múltiplo, $0 = n \cdot 0$, así que $0 \in M(n)$.
- El 0 es múltiplo de cualquier número natural.
4 ¿Es posible listar TODOS los múltiplos de un número natural?
- Los múltiplos de $n$ son $0, n, 2n, 3n, \ldots$: la secuencia no tiene fin.
- Siempre existe un múltiplo mayor: $n \cdot k < n \cdot (k+1)$ para todo $k$.
- El conjunto $M(n)$ es infinito, por lo que no puede listarse completamente.
Ejemplos Verdadero/Falso
"El primer múltiplo de $n$ es siempre $n$ (ignorando que $0 = n \cdot 0$ también es múltiplo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Los múltiplos de un número impar siempre son impares."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La diferencia entre múltiplos consecutivos de $n$ varía según su posición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Un número solo puede ser múltiplo de un único número natural."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $m$ es múltiplo de $n$, entonces $m + 1$ también es múltiplo de $n$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Los múltiplos de $n$ se obtienen calculando $n \times 0,\; n \times 1,\; n \times 2,\;\ldots$ Para hallar el $k$-ésimo múltiplo (sin contar el 0), se calcula $n \times k$. La cantidad de múltiplos positivos de $n$ que hay entre 1 y $m$ es $\lfloor m/n \rfloor$ (la parte entera del cociente $m \div n$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el 8° múltiplo positivo de 7?
El $k$-ésimo múltiplo positivo de $n$ es $n \cdot k$. El 8° múltiplo positivo de 7 es $7 \cdot 8 = 56$.
Respuesta: 56
-
¿Cuántos múltiplos de 8 hay entre 1 y 80 (incluido)?
$\lfloor 80 \div 8 \rfloor = 10$. Los múltiplos son $\{8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80\}$: exactamente 10.
Respuesta: 10
-
¿Cuál de los siguientes números NO pertenece a $M(6)$?
$24 = 6 \cdot 4$; $30 = 6 \cdot 5$; $42 = 6 \cdot 7$: todos son múltiplos de 6. En cambio, $38 \div 6 = 6$ r$2$: no es múltiplo de 6.
Respuesta: 38
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuáles son los primeros cuatro múltiplos positivos de 11?
$11 \times 1 = 11$; $11 \times 2 = 22$; $11 \times 3 = 33$; $11 \times 4 = 44$. Los demás no son múltiplos de 11.
Respuesta: 11, 22, 33, 44
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que 75 es múltiplo de 15?
$75 \div 15 = 5$ exacto ($15 \cdot 5 = 75$). Por lo tanto, 75 sí es múltiplo de 15.
Respuesta: Verdadero
-
¿Es verdadero que hay exactamente 5 múltiplos de 9 entre 1 y 50?
$\lfloor 50 \div 9 \rfloor = 5$ (ya que $9 \cdot 5 = 45 \leq 50$ y $9 \cdot 6 = 54 > 50$). Los múltiplos son $\{9, 18, 27, 36, 45\}$: exactamente 5.
Respuesta: Verdadero
-
¿Es verdadero que los múltiplos de 5 siempre terminan en 0 o en 5?
$5 \cdot k$ termina en 0 si $k$ es par (ya que $5 \cdot 2 = 10, 5 \cdot 4 = 20, \ldots$) y termina en 5 si $k$ es impar ($5 \cdot 1 = 5, 5 \cdot 3 = 15, \ldots$). Todo múltiplo de 5 termina en 0 o en 5.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 1 y 300 que también sean múltiplos de 5?
Un número es múltiplo de 3 y de 5 simultáneamente cuando es múltiplo de $\text{mcm}(3,5) = 15$. La cantidad de múltiplos de 15 entre 1 y 300 es $300 \div 15 = 20$ exacto. Hay 20 números.
Respuesta: 20
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¿Cuántos números entre 100 y 200 (ambos inclusive) son múltiplos de 7?
Múltiplos de 7 hasta 200: $\lfloor 200/7 \rfloor = 28$ ($7 \cdot 28 = 196$). Múltiplos de 7 hasta 99: $\lfloor 99/7 \rfloor = 14$ ($7 \cdot 14 = 98$). Entre 100 y 200 hay $28 - 14 = 14$ múltiplos: $\{105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196\}$.
Respuesta: 14
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Un autobús pasa cada 12 minutos. Otro pasa cada 18 minutos. Si a las 8:00 pasan juntos, ¿a qué hora coincidirán por primera vez nuevamente?
Se busca el menor múltiplo común de 12 y 18. Múltiplos de 12: 12, 24, 36... Múltiplos de 18: 18, 36... El menor común es 36 minutos. Las 8:00 + 36 min = 8:36.
Respuesta: 8:36