Obtención de múltiplos de un número natural
Resumen inicial
Los múltiplos de $n$ se obtienen multiplicando $n$ secuencialmente por la serie de enteros: $0, n, 2n, 3n, \dots$.
Explicación en palabras simples
Para generar la lista de múltiplos de un número cualquiera, tomamos ese número y lo vamos multiplicando en orden por los enteros $0, 1, 2, 3, 4, 5$, y así sucesivamente. De esta forma construimos la tabla de multiplicar infinita del número de forma ordenada.
Explicación formal
Para un entero dado $n \in \mathbb{Z}$, la Generación Secuencial de Múltiplos se obtiene evaluando el producto por la sucesión de enteros no negativos $\mathbb{N}_0$:
$$M^+(n) = \{ n \cdot k \mid k \in \mathbb{N}_0 \} = \{ 0, n, 2n, 3n, 4n, \ldots \}$$
Desglose de la fórmula:
- $n \cdot 0 = 0$: Primer múltiplo (el elemento nulo).
- $n \cdot 1 = n$: Segundo múltiplo (el propio número base).
- $n \cdot k$: Término general para el $k$-ésimo múltiplo de la sucesión.
Complemento didáctico: La diferencia entre dos múltiplos consecutivos de $n$ es siempre constante e igual a $n$ unidades ($(k+1)n - kn = n$).
La alternativa correcta es 'Multiplicando 6 · 5 = 30'.
Definiciones clave
- Sucesión de múltiplos: Serie ordenada construida al multiplicar la base por la sucesión de enteros.
Propiedades y relaciones importantes
- Patrón aditivo: Cada múltiplo se obtiene sumando la base $n$ al múltiplo anterior ($m_{k+1} = m_k + n$).
Ejemplo guiado
Obtenga los primeros 5 múltiplos no negativos del número $8$.
- Paso 1: Multiplicar 8 por $k = 0$: $8 \cdot 0 = 0$.
- Paso 2: Multiplicar 8 por $k = 1$: $8 \cdot 1 = 8$.
- Paso 3: Multiplicar 8 por $k = 2, 3, 4$: $8 \cdot 2 = 16$, $8 \cdot 3 = 24$, $8 \cdot 4 = 32$.
- Conclusión: La lista de los primeros 5 múltiplos no negativos de 8 es $\{0, 8, 16, 24, 32\}$.
La alternativa correcta es '8 unidades'.
Procedimiento
- Paso 1: Tomar el número base $n$.
- Paso 2: Multiplicar $n$ progresivamente por los enteros $0, 1, 2, 3, 4, \ldots$.
- Paso 3: Ordenar los productos resultantes para formar la lista de múltiplos.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Omitir el número $n$ al listar sus múltiplos. Cómo corregirlo: $n \cdot 1 = n$, por lo que todo número es el segundo múltiplo no negativo de sí mismo.
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Error 2: Sumar números arbitrarios en lugar de multiplicar por la constante $n$. Cómo corregirlo: La secuencia avanza sumando siempre la misma base $n$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $12 \cdot 1 = 12$, $12 \cdot 2 = 24$, $12 \cdot 3 = 36$.
- $7 \cdot 6 = 42$, que pertenece al rango $[40, 50]$.
- Sí, la serie de enteros es infinita.
- No, $25 : 10 = 2.5$, que no es entero.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Generar la sucesión de múltiplos de un número natural y cuantificar múltiplos en intervalos acotados.
Calculando los términos mediante la progresión $M_k = n \cdot k$ y determinando la cantidad de múltiplos en un rango $[A, B]$ mediante la fórmula $\lfloor B/n \rfloor - \lfloor (A-1)/n \rfloor$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el 8° múltiplo positivo de 7?
El $k$-ésimo múltiplo positivo de $n$ es $n \cdot k$. El 8° múltiplo positivo de 7 es $7 \cdot 8 = 56$.
Respuesta: 56
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¿Cuántos múltiplos de 8 hay entre 1 y 80 (incluido)?
$\lfloor 80 \div 8 \rfloor = 10$. Los múltiplos son $\{8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80\}$: exactamente 10.
Respuesta: 10
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¿Cuál de los siguientes números NO pertenece a $M(6)$?
$24 = 6 \cdot 4$; $30 = 6 \cdot 5$; $42 = 6 \cdot 7$: todos son múltiplos de 6. En cambio, $38 \div 6 = 6$ r$2$: no es múltiplo de 6.
Respuesta: 38
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuáles son los primeros cuatro múltiplos positivos de 11?
$11 \times 1 = 11$; $11 \times 2 = 22$; $11 \times 3 = 33$; $11 \times 4 = 44$. Los demás no son múltiplos de 11.
Respuesta: 11, 22, 33, 44
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que 75 es múltiplo de 15?
$75 \div 15 = 5$ exacto ($15 \cdot 5 = 75$). Por lo tanto, 75 sí es múltiplo de 15.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que hay exactamente 5 múltiplos de 9 entre 1 y 50?
$\lfloor 50 \div 9 \rfloor = 5$ (ya que $9 \cdot 5 = 45 \leq 50$ y $9 \cdot 6 = 54 > 50$). Los múltiplos son $\{9, 18, 27, 36, 45\}$: exactamente 5.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que los múltiplos de 5 siempre terminan en 0 o en 5?
$5 \cdot k$ termina en 0 si $k$ es par (ya que $5 \cdot 2 = 10, 5 \cdot 4 = 20, \ldots$) y termina en 5 si $k$ es impar ($5 \cdot 1 = 5, 5 \cdot 3 = 15, \ldots$). Todo múltiplo de 5 termina en 0 o en 5.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 1 y 300 que también sean múltiplos de 5?
Un número es múltiplo de 3 y de 5 simultáneamente cuando es múltiplo de $\text{mcm}(3,5) = 15$. La cantidad de múltiplos de 15 entre 1 y 300 es $300 \div 15 = 20$ exacto. Hay 20 números.
Respuesta: 20
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¿Cuántos números entre 100 y 200 (ambos inclusive) son múltiplos de 7?
Múltiplos de 7 hasta 200: $\lfloor 200/7 \rfloor = 28$ ($7 \cdot 28 = 196$). Múltiplos de 7 hasta 99: $\lfloor 99/7 \rfloor = 14$ ($7 \cdot 14 = 98$). Entre 100 y 200 hay $28 - 14 = 14$ múltiplos: $\{105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196\}$.
Respuesta: 14
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Un autobús pasa cada 12 minutos. Otro pasa cada 18 minutos. Si a las 8:00 pasan juntos, ¿a qué hora coincidirán por primera vez nuevamente?
Se busca el menor múltiplo común de 12 y 18. Múltiplos de 12: 12, 24, 36... Múltiplos de 18: 18, 36... El menor común es 36 minutos. Las 8:00 + 36 min = 8:36.
Respuesta: 8:36