Obtención de divisores de un número natural
Resumen inicial
Los divisores de $n$ se obtienen buscando parejas de factores $(a, b)$ cuyo producto sea igual a $n$: $a \cdot b = n$.
Explicación en palabras simples
Para encontrar todos los divisores de un número de forma ordenada y sin olvidar ninguno, buscamos parejas de números que multiplicados entre sí den como resultado el número original. Cada pareja de factores encontrada nos entrega dos divisores de la lista final.
Explicación formal
Para un entero positivo $n \in \mathbb{N}$, el Conjunto Finito de Divisores $D(n)$ se construye mediante el método de los pares conjugados:
$$D(n) = \{ a \in \mathbb{N} \mid \exists b \in \mathbb{N}, \, a \cdot b = n \} \subseteq \{1, 2, \dots, n\}$$
Desglose de la fórmula:
- $a \cdot b = n$: Par de divisores conjugados donde si $a \in D(n)$, entonces $b = n/a \in D(n)$.
- Cota superior de búsqueda: Basta probar valores de $a$ hasta $a \le \sqrt{n}$.
Complemento didáctico: Para $n = 36$, probamos hasta $\sqrt{36} = 6$. Parejas: $(1,36), (2,18), (3,12), (4,9), (6,6)$. Divisores: $\{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$.
La alternativa correcta es 'Hasta la raíz cuadrada de n (√n)'.
Definiciones clave
- Pares conjugados de divisores: Pareja $(a, b)$ tal que $a \cdot b = n$, entregando dos divisores simultáneamente.
- Cota de la raíz cuadrada: Límite $\sqrt{n}$ que reduce drásticamente las comprobaciones necesarias.
Propiedades y relaciones importantes
- Simetría de factores: Si $a$ divide a $n$, su pareja $n/a$ también divide a $n$.
Ejemplo guiado
Halle todos los divisores del número $18$ buscando sus pares de factores multiplicativos.
- Paso 1: Probar $a = 1$: $1 \cdot 18 = 18 \implies$ Pareja $(1, 18)$.
- Paso 2: Probar $a = 2$: $2 \cdot 9 = 18 \implies$ Pareja $(2, 9)$.
- Paso 3: Probar $a = 3$: $3 \cdot 6 = 18 \implies$ Pareja $(3, 6)$.
- Paso 4: Probar $a = 4, 5$: no producen enteros exactos. Como $4 > \sqrt{18} \approx 4.24$, detendremos la búsqueda.
- Conclusión: El conjunto ordenado de divisores de $18$ es $D(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.
La alternativa correcta es '6 divisores: {1, 2, 3, 6, 9, 18}'.
Procedimiento
- Paso 1: Probar números enteros $a$ comenzando desde 1 hasta $\sqrt{n}$.
- Paso 2: Si la división $n : a$ es exacta, registrar el par $(a, n/a)$.
- Paso 3: Ordenar todos los divisores encontrados de menor a mayor en el conjunto $D(n)$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Olvidar la pareja del número encontrado (ej: anotar el 2 y olvidar el 9 al evaluar 18). Cómo corregirlo: Registrar siempre ambos términos del par $(a, n/a)$.
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Error 2: Continuar probando innecesariamente más allá de $\sqrt{n}$. Cómo corregirlo: La búsqueda se completa al superar la raíz cuadrada del número.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Pares: $(1,12), (2,6), (3,4)$. Divisores: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.
- $D(9) = \{1, 3, 9\}$, que tiene 3 divisores (impar).
- Sí, porque la pareja del número central se repite a sí misma ($a \cdot a = n$).
- Sí, pares: $(1,20), (2,10), (4,5)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Determinar el conjunto completo y ordenado de divisores $D(n)$ de cualquier número natural.
Probando factores enteros en el intervalo acotado $1 \le d \le \lfloor\sqrt{n}\rfloor$ y agregando simultáneamente cada divisor $d$ junto con su par complementario $n/d$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el conjunto completo de divisores de 18?
Se prueban divisores hasta $\sqrt{18} \approx 4{,}2$: $1 \mid 18$ (par: 1 y 18); $2 \mid 18$ (par: 2 y 9); $3 \mid 18$ (par: 3 y 6); $4 \nmid 18$. $D(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.
Respuesta: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
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¿Cuántos divisores tiene el número 25?
$25 = 5^2$ es cuadrado perfecto. $D(25) = \{1, 5, 25\}$: tres divisores. Los cuadrados perfectos tienen un número impar de divisores porque $\sqrt{25} = 5$ forma par consigo mismo.
Respuesta: 3
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Al buscar los divisores de 40, ¿hasta qué número es suficiente probar para encontrarlos todos?
$\sqrt{40} \approx 6{,}3$, así que basta probar divisores hasta 6. Cada divisor $d \leq 6$ que divide a 40 tiene un complementario $40/d \geq 6$, cubriendo todos los pares.
Respuesta: Hasta 6
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuántos divisores tiene el número 16?
$D(16) = \{1, 2, 4, 8, 16\}$: cinco divisores. Como $16 = 4^2$ es cuadrado perfecto, tiene un número impar (5) de divisores.
Respuesta: 5
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número 24 tiene exactamente 8 divisores?
$D(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$. Se verifican pares: $(1,24), (2,12), (3,8), (4,6)$: cuatro pares que dan 8 divisores. $\sqrt{24} \approx 4{,}9$: ningún divisor es igual a su complementario, así que la cantidad es par.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número 49 tiene exactamente 3 divisores?
$49 = 7^2$ es cuadrado perfecto. $D(49) = \{1, 7, 49\}$: tres divisores. La raíz $\sqrt{49} = 7$ es divisor y no tiene complementario distinto de sí mismo.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si $d$ es divisor de $n$, entonces $n/d$ también es divisor de $n$?
Si $d \mid n$, existe $k$ tal que $n = d \cdot k$, lo que significa $k = n/d$. Pero $k \mid n$ (ya que $n = k \cdot d$). Por lo tanto, $n/d$ también es divisor de $n$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuántos divisores tiene el número 60?
Pares de divisores de 60 hasta $\sqrt{60} \approx 7{,}7$: $(1,60),(2,30),(3,20),(4,15),(5,12),(6,10)$: seis pares = 12 divisores. Ninguno es raíz exacta, así que todos los pares son distintos.
Respuesta: 12
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Un número natural $n$ tiene exactamente 3 divisores. ¿Cuál de los siguientes podría ser $n$?
Un número con exactamente 3 divisores es de la forma $p^2$ con $p$ primo ($D = \{1, p, p^2\}$). De las opciones: $9 = 3^2$ cumple ($D(9) = \{1,3,9\}$). Los demás: $D(6)=4$; $D(12)=6$; $D(15)=4$ divisores.
Respuesta: 9
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Se quiere encontrar todos los divisores de 72 usando pares complementarios. ¿Cuántos pares distintos de divisores $(d, 72/d)$ con $d < 72/d$ existen?
$\sqrt{72} \approx 8{,}5$. Divisores de 72 hasta 8: $1,2,3,4,6,8$. Pares: $(1,72),(2,36),(3,24),(4,18),(6,12),(8,9)$: 6 pares distintos con $d < 72/d$. Por tanto, $D(72)$ tiene $6 \times 2 = 12$ divisores en total.
Respuesta: 6