Obtención de divisores de un número natural
Obtener la lista completa de divisores de un número natural usando divisiones sucesivas y la estrategia de pares complementarios.
Introducción
Imagina que tienes 24 baldosas y quieres formar un rectángulo con todas ellas.
¿De cuántas formas distintas puedes hacerlo? Podrías hacer uno de 1 × 24, otro
de 2 × 12, otro de 3 × 8, otro de 4 × 6... Cada combinación usa exactamente
24 baldosas sin que sobre ni una.
Los divisores de 24 son exactamente los números que aparecen en esas combinaciones:
1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24. El truco es que los divisores siempre vienen en parejas
que al multiplicarse dan 24. Eso nos permite encontrarlos todos sin probar todos
los números: solo hay que llegar hasta $\sqrt{24} \approx 4{,}9$, es decir, hasta el 4.
Explicación
El conjunto de todos los divisores de $n$, denotado $D(n)$, se obtiene identificando
todos los naturales que dividen exactamente a $n$.
Estrategia de pares complementarios:
Si $d \mid n$, entonces $n/d$ también es divisor de $n$. Los divisores se organizan en pares
$(d,\; n/d)$ tales que $d \cdot (n/d) = n$. Esto implica que solo es necesario probar
divisores desde 1 hasta $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$:
- Si $d < \sqrt{n}$: el par es $(d,\; n/d)$ con $d \neq n/d$ — dos divisores distintos.
- Si $d = \sqrt{n}$: el par colapsa a $(d, d)$ — un solo divisor que se cuenta una vez.
Consecuencia sobre la cantidad de divisores:
- Si $n$ no es cuadrado perfecto, $|D(n)|$ es un número par (los divisores vienen de a dos).
- Si $n$ es cuadrado perfecto, $|D(n)|$ es un número impar (la raíz forma un par consigo misma).
Ejemplos:
- $D(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$ — 6 divisores (par, pues 12 no es cuadrado perfecto).
- $D(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ — 9 divisores (impar, pues $36 = 6^2$).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcular $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ para conocer hasta dónde probar.
- Paso 2: Probar si 1, 2, 3, ..., $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ dividen exactamente a $n$.
- Paso 3: Por cada divisor $d$ encontrado, agregar también el complementario $n/d$.
- Paso 4: Si $d = \sqrt{n}$, contar ese divisor una sola vez.
- Paso 5: Ordenar todos los divisores encontrados de menor a mayor.
Ejemplos
1 Encuentra todos los divisores de 36.
- $\sqrt{36} = 6$, así que probamos divisores desde 1 hasta 6.
- $1 \mid 36$ (par: 1 y 36); $2 \mid 36$ (par: 2 y 18); $3 \mid 36$ (par: 3 y 12).
- $4 \mid 36$ (par: 4 y 9); $5 \nmid 36$; $6 \mid 36$ ($6 = \sqrt{36}$, un solo divisor).
- $D(36) = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}$ — 9 divisores (impar: 36 es cuadrado perfecto).
2 Encuentra todos los divisores de 48.
- $\sqrt{48} \approx 6{,}9$, así que probamos divisores desde 1 hasta 6.
- $1 \mid 48$ (par: 1 y 48); $2 \mid 48$ (par: 2 y 24); $3 \mid 48$ (par: 3 y 16).
- $4 \mid 48$ (par: 4 y 12); $5 \nmid 48$; $6 \mid 48$ (par: 6 y 8).
- $D(48) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}$ — 10 divisores (par: 48 no es cuadrado perfecto).
3 ¿El número 1 siempre es divisor de cualquier número natural?
- Para cualquier $n$ natural, $n = 1 \cdot n$: la división $n \div 1 = n$ es exacta.
- Por lo tanto, $1 \mid n$ para todo número natural $n$.
- 1 y $n$ son siempre los divisores triviales de $n$.
4 ¿Los cuadrados perfectos tienen un número par de divisores?
- En un cuadrado perfecto $n = k^2$, la raíz $k = \sqrt{n}$ es divisor de $n$.
- Este divisor no tiene un complementario distinto (se empareja consigo mismo).
- Por eso los cuadrados perfectos tienen un número IMPAR de divisores.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Para encontrar todos los divisores de $n$ hay que probar todos los números hasta $n$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El mayor divisor propio de $n$ (distinto de $n$) es siempre $n/2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $n$ es par, todos sus divisores también son pares."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Los cuadrados perfectos tienen un número par de divisores."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Un número con más divisores que otro siempre es el más grande de los dos."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Los divisores de $n$ se obtienen probando si 1, 2, 3, ..., $\sqrt{n}$ dividen exactamente a $n$. Cada divisor $d$ encontrado viene acompañado de su complementario $n/d$. Todo número natural tiene al menos dos divisores: 1 y él mismo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el conjunto completo de divisores de 18?
Se prueban divisores hasta $\sqrt{18} \approx 4{,}2$: $1 \mid 18$ (par: 1 y 18); $2 \mid 18$ (par: 2 y 9); $3 \mid 18$ (par: 3 y 6); $4 \nmid 18$. $D(18) = \{1, 2, 3, 6, 9, 18\}$.
Respuesta: {1, 2, 3, 6, 9, 18}
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¿Cuántos divisores tiene el número 25?
$25 = 5^2$ es cuadrado perfecto. $D(25) = \{1, 5, 25\}$: tres divisores. Los cuadrados perfectos tienen un número impar de divisores porque $\sqrt{25} = 5$ forma par consigo mismo.
Respuesta: 3
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Al buscar los divisores de 40, ¿hasta qué número es suficiente probar para encontrarlos todos?
$\sqrt{40} \approx 6{,}3$, así que basta probar divisores hasta 6. Cada divisor $d \leq 6$ que divide a 40 tiene un complementario $40/d \geq 6$, cubriendo todos los pares.
Respuesta: Hasta 6
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuántos divisores tiene el número 16?
$D(16) = \{1, 2, 4, 8, 16\}$: cinco divisores. Como $16 = 4^2$ es cuadrado perfecto, tiene un número impar (5) de divisores.
Respuesta: 5
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número 24 tiene exactamente 8 divisores?
$D(24) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$. Se verifican pares: $(1,24), (2,12), (3,8), (4,6)$: cuatro pares que dan 8 divisores. $\sqrt{24} \approx 4{,}9$: ningún divisor es igual a su complementario, así que la cantidad es par.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número 49 tiene exactamente 3 divisores?
$49 = 7^2$ es cuadrado perfecto. $D(49) = \{1, 7, 49\}$: tres divisores. La raíz $\sqrt{49} = 7$ es divisor y no tiene complementario distinto de sí mismo.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si $d$ es divisor de $n$, entonces $n/d$ también es divisor de $n$?
Si $d \mid n$, existe $k$ tal que $n = d \cdot k$, lo que significa $k = n/d$. Pero $k \mid n$ (ya que $n = k \cdot d$). Por lo tanto, $n/d$ también es divisor de $n$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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¿Cuántos divisores tiene el número 60?
Pares de divisores de 60 hasta $\sqrt{60} \approx 7{,}7$: $(1,60),(2,30),(3,20),(4,15),(5,12),(6,10)$: seis pares = 12 divisores. Ninguno es raíz exacta, así que todos los pares son distintos.
Respuesta: 12
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Un número natural $n$ tiene exactamente 3 divisores. ¿Cuál de los siguientes podría ser $n$?
Un número con exactamente 3 divisores es de la forma $p^2$ con $p$ primo ($D = \{1, p, p^2\}$). De las opciones: $9 = 3^2$ cumple ($D(9) = \{1,3,9\}$). Los demás: $D(6)=4$; $D(12)=6$; $D(15)=4$ divisores.
Respuesta: 9
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Se quiere encontrar todos los divisores de 72 usando pares complementarios. ¿Cuántos pares distintos de divisores $(d, 72/d)$ con $d < 72/d$ existen?
$\sqrt{72} \approx 8{,}5$. Divisores de 72 hasta 8: $1,2,3,4,6,8$. Pares: $(1,72),(2,36),(3,24),(4,18),(6,12),(8,9)$: 6 pares distintos con $d < 72/d$. Por tanto, $D(72)$ tiene $6 \times 2 = 12$ divisores en total.
Respuesta: 6