Divisibilidad como división exacta
Aplicar la definición de divisibilidad como condición de división exacta para determinar si un número divide a otro.
Introducción
Repartir chocolates entre amigos puede salir perfecto o puede sobrar. Si tienes
20 chocolates y los repartes entre 4 personas, cada una recibe 5 exactos: sin sobras.
Eso es una división exacta. Pero si los repartes entre 6, a cada una le tocan 3 y sobran 2.
La divisibilidad trata justamente de eso: ¿se puede repartir un número en grupos
iguales sin que sobre nada? Si la respuesta es sí, decimos que el primer número
"divide" al segundo. Es un concepto simple pero fundamental para entender los números.
Explicación
La divisibilidad es una relación entre números naturales. Se dice que $a$ divide a $b$,
y se escribe $a \mid b$, cuando existe un número natural $k$ tal que:
$$b = a \cdot k \quad \Longleftrightarrow \quad \text{resto}(b \div a) = 0$$
La notación $a \nmid b$ indica que $a$ no divide a $b$.
Propiedades de la divisibilidad:
- Reflexividad: Todo número se divide a sí mismo: $n \mid n$ (ya que $n = n \cdot 1$).
- Transitividad: Si $a \mid b$ y $b \mid c$, entonces $a \mid c$.
(Ejemplo: $3 \mid 6$ y $6 \mid 18$, entonces $3 \mid 18$.) - No simetría: Si $a \mid b$, no necesariamente $b \mid a$.
(Ejemplo: $4 \mid 12$, pero $12 \nmid 4$.) - División por 1: $1 \mid b$ para todo número natural $b$.
- Relación con el cero: $a \mid 0$ para todo $a \neq 0$ (ya que $0 = a \cdot 0$).
- Linealidad: Si $a \mid b$ y $a \mid c$, entonces $a \mid (b + c)$ y $a \mid (b - c)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Plantear la división $b \div a$.
- Paso 2: Calcular el cociente y el resto.
- Paso 3: Si el resto es 0, entonces $a \mid b$. Si el resto es distinto de 0, $a \nmid b$.
Ejemplos
1 Determina si 12 divide a 96.
- Se calcula $96 \div 12 = 8$ con resto $0$.
- Existe $k = 8$ tal que $96 = 12 \cdot 8$.
- Conclusión: $12 \mid 96$.
2 Determina si 7 divide a 58.
- Se calcula $58 \div 7 = 8$ con resto $2$ (ya que $7 \cdot 8 = 56$ y $58 - 56 = 2$).
- El resto es $2 \neq 0$, así que no existe $k$ natural con $58 = 7 \cdot k$.
- Conclusión: $7 \nmid 58$.
3 ¿Todo número natural divide al 0?
- Para cualquier $a \neq 0$, se tiene $0 = a \cdot 0$.
- El cociente $0 \div a = 0$ con resto 0: la división es exacta.
- Por lo tanto, $a \mid 0$ para todo $a$ natural distinto de 0.
4 ¿La divisibilidad es una relación simétrica?
- Si fuera simétrica, $a \mid b$ implicaría $b \mid a$ siempre.
- Contraejemplo: $3 \mid 15$ (ya que $15 = 3 \cdot 5$), pero $15 \nmid 3$ porque $3 < 15$.
- La divisibilidad es reflexiva y transitiva, pero NO simétrica.
Ejemplos Verdadero/Falso
"El símbolo $a \mid b$ significa $a$ dividido por $b$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $a \mid b$, entonces $b \mid a$ también."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $a \mid b$, el valor de $b$ es siempre mayor que $a$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $a \mid b$ y $a \mid c$, entonces $a$ no divide a $b + c$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"La divisibilidad es una relación simétrica entre números naturales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Se dice que $a$ divide a $b$ (se escribe $a \mid b$) cuando la división $b \div a$ tiene resto igual a 0. Equivalentemente, existe un número natural $k$ tal que $b = a \cdot k$. La divisibilidad es reflexiva ($n \mid n$) y transitiva: si $a \mid b$ y $b \mid c$, entonces $a \mid c$, pero NO es simétrica en general.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes propiedades cumple la divisibilidad entre números naturales?
$n \mid n$ para todo $n$ (ya que $n = n \cdot 1$): la divisibilidad es reflexiva. No es simétrica (contraejemplo: $3 \mid 6$ pero $6 \nmid 3$). Sí es transitiva (no antitransitiva).
Respuesta: Es reflexiva: todo número se divide a sí mismo
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La notación $a \mid b$ significa:
$a \mid b$ se lee '$a$ divide a $b$' e indica que $b \div a$ tiene resto 0. No es una fracción ni una comparación; es una relación de divisibilidad.
Respuesta: $a$ divide a $b$ (la división $b \div a$ es exacta)
-
Si $a \mid b$ y $a \mid c$, ¿qué otra relación se puede afirmar con certeza?
Si $b = a \cdot k_1$ y $c = a \cdot k_2$, entonces $b + c = a(k_1 + k_2)$, que es divisible por $a$. Esta propiedad se llama linealidad de la divisibilidad.
Respuesta: $a \mid (b + c)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes divisiones es exacta?
$72 \div 9 = 8$ con resto 0 ($9 \cdot 8 = 72$). Las demás: $47 \div 5 = 9$ r$2$; $83 \div 7 = 11$ r$6$; $100 \div 13 = 7$ r$9$.
Respuesta: $72 \div 9$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que $6 \mid 90$?
$90 \div 6 = 15$ con resto 0 (ya que $6 \cdot 15 = 90$). Por lo tanto, $6 \mid 90$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si $4 \mid 12$ y $12 \mid 60$, entonces $4 \mid 60$?
La divisibilidad es transitiva: si $a \mid b$ y $b \mid c$, entonces $a \mid c$. Verificación: $60 \div 4 = 15$ exacto. Entonces $4 \mid 60$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si $5 \mid 20$, entonces $20 \mid 5$?
$5 \mid 20$ es verdadero ($20 = 5 \cdot 4$). Pero $20 \nmid 5$ porque $5 < 20$ y $5 \div 20$ no es exacto. La divisibilidad no es simétrica.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un número $n$ cumple que $8 \mid n$ y $n \mid 96$. ¿Cuántos valores distintos puede tomar $n$?
Se buscan múltiplos de 8 que a la vez sean divisores de 96. Divisores de 96 que son múltiplos de 8: $8, 16, 32, 96$. Verificación: $96 \div 8 = 12$; $96 \div 16 = 6$; $96 \div 32 = 3$; $96 \div 96 = 1$: todos exactos. Hay 4 valores.
Respuesta: 4
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Si $a \mid 36$ y $a \mid 48$, ¿cuál es el mayor valor posible de $a$?
Se necesita el mayor número que divide a 36 y a 48 simultáneamente. $D(36) \cap D(48)$: divisores comunes de 36 y 48 son $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. El mayor es 12 (el M.C.D. de 36 y 48).
Respuesta: 12
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En una clase de 30 alumnos se quiere formar grupos con la misma cantidad de integrantes, sin que quede nadie fuera. ¿Cuántas formas distintas hay de organizar los grupos?
El tamaño de cada grupo debe ser un divisor de 30. $D(30) = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$: 8 divisores, es decir, 8 formas distintas de organizar los grupos.
Respuesta: 8