Divisibilidad como división exacta
Resumen inicial
La divisibilidad entre dos enteros exige que la división tenga residuo cero en el algoritmo de Euclides.
Explicación en palabras simples
La divisibilidad es la propiedad que nos indica si un número se deja dividir por otro sin dejar ningún resto sobrante. Cuando al hacer la división formal el resto final es cero, afirmamos que el primer número es divisible por el segundo.
Explicación formal
En el Algoritmo de la División de Euclides, para $a, b \in \mathbb{Z}$ con $b \neq 0$, existen únicos $q, r \in \mathbb{Z}$ tales que:
$$a = b \cdot q + r \quad \text{con } 0 \le r < |b|$$
Definición de Divisibilidad:
$$a \text{ es divisible por } b \iff r = 0 \iff a = b \cdot q$$
Desglose de la fórmula:
- $q$: Cociente entero de la división.
- $r$: Residuo de la división ($r=0 \implies$ divisibilidad exacta).
Complemento didáctico: Si $r > 0$, la división es inexacta y el residuo indica cuánto le falta o sobrepasa la cantidad para ser un múltiplo exacto.
La alternativa correcta es 'r = 0'.
Definiciones clave
- Divisibilidad: Propiedad matemática de producir un residuo nulo ($r = 0$) en el algoritmo euclidiano.
- Residuo ($r$): Cantidad sobrante $0 \le r < |b|$ tras dividir entero entre entero.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: $a$ es divisible por $b \iff a \equiv 0 \pmod b$.
Ejemplo guiado
Determine si $45$ es divisible por $6$ aplicando el algoritmo de la división euclidiana.
- Paso 1: Plantear la división euclidiana: $45 = 6 \cdot q + r$.
- Paso 2: Calcular el cociente entero máximo: $q = 7$ ($6 \cdot 7 = 42$).
- Paso 3: Obtener el residuo: $r = 45 - 42 = 3$.
- Conclusión: Como el residuo $r = 3 \neq 0$, $45$ NO es divisible por $6$.
La alternativa correcta es '3', por lo que no es divisible.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la división de $a$ por $b$ para obtener el cociente $q$ y el resto $r$.
- Paso 2: Evaluar si el resto $r$ es exactamente igual a cero.
- Paso 3: Declarar divisibilidad si $r=0$, o falta de divisibilidad si $r>0$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Confundir divisibilidad con obtener un resultado decimal. Cómo corregirlo: La divisibilidad exige que el cociente sea ENTERO sin decimales y el resto nulo.
-
Error 2: Aceptar residuos negativos en la división euclidiana. Cómo corregirlo: El residuo debe ser estrictamente no negativo ($0 \le r < |b|$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $56 : 8 = 7$ exacto con residuo $r = 0$.
- $29 = 4 \cdot 7 + 1$.
- Sí, por definición de divisibilidad en Euclides.
- No, $33 = 5 \cdot 6 + 3$ (residuo $r = 3 \neq 0$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Reconocer la divisibilidad como la condición necesaria y suficiente de división euclídea exacta.
Aplicando el algoritmo de la división $D = d \cdot c + r$ con la condición estricta $r = 0$, y utilizando relaciones modulares $D \equiv 0 \pmod d$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes propiedades cumple la divisibilidad entre números naturales?
$n \mid n$ para todo $n$ (ya que $n = n \cdot 1$): la divisibilidad es reflexiva. No es simétrica (contraejemplo: $3 \mid 6$ pero $6 \nmid 3$). Sí es transitiva (no antitransitiva).
Respuesta: Es reflexiva: todo número se divide a sí mismo
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La notación $a \mid b$ significa:
$a \mid b$ se lee '$a$ divide a $b$' e indica que $b \div a$ tiene resto 0. No es una fracción ni una comparación; es una relación de divisibilidad.
Respuesta: $a$ divide a $b$ (la división $b \div a$ es exacta)
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Si $a \mid b$ y $a \mid c$, ¿qué otra relación se puede afirmar con certeza?
Si $b = a \cdot k_1$ y $c = a \cdot k_2$, entonces $b + c = a(k_1 + k_2)$, que es divisible por $a$. Esta propiedad se llama linealidad de la divisibilidad.
Respuesta: $a \mid (b + c)$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes divisiones es exacta?
$72 \div 9 = 8$ con resto 0 ($9 \cdot 8 = 72$). Las demás: $47 \div 5 = 9$ r$2$; $83 \div 7 = 11$ r$6$; $100 \div 13 = 7$ r$9$.
Respuesta: $72 \div 9$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si $4 \mid 12$ y $12 \mid 60$, entonces $4 \mid 60$?
La divisibilidad es transitiva: si $a \mid b$ y $b \mid c$, entonces $a \mid c$. Verificación: $60 \div 4 = 15$ exacto. Entonces $4 \mid 60$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si $5 \mid 20$, entonces $20 \mid 5$?
$5 \mid 20$ es verdadero ($20 = 5 \cdot 4$). Pero $20 \nmid 5$ porque $5 < 20$ y $5 \div 20$ no es exacto. La divisibilidad no es simétrica.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que $6 \mid 90$?
$90 \div 6 = 15$ con resto 0 (ya que $6 \cdot 15 = 90$). Por lo tanto, $6 \mid 90$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un número $n$ cumple que $8 \mid n$ y $n \mid 96$. ¿Cuántos valores distintos puede tomar $n$?
Se buscan múltiplos de 8 que a la vez sean divisores de 96. Divisores de 96 que son múltiplos de 8: $8, 16, 32, 96$. Verificación: $96 \div 8 = 12$; $96 \div 16 = 6$; $96 \div 32 = 3$; $96 \div 96 = 1$: todos exactos. Hay 4 valores.
Respuesta: 4
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Si $a \mid 36$ y $a \mid 48$, ¿cuál es el mayor valor posible de $a$?
Se necesita el mayor número que divide a 36 y a 48 simultáneamente. $D(36) \cap D(48)$: divisores comunes de 36 y 48 son $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$. El mayor es 12 (el M.C.D. de 36 y 48).
Respuesta: 12
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En una clase de 30 alumnos se quiere formar grupos con la misma cantidad de integrantes, sin que quede nadie fuera. ¿Cuántas formas distintas hay de organizar los grupos?
El tamaño de cada grupo debe ser un divisor de 30. $D(30) = \{1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\}$: 8 divisores, es decir, 8 formas distintas de organizar los grupos.
Respuesta: 8