Criterio de divisibilidad por 9
Resumen inicial
Un número es divisible por 9 si la suma de todos sus dígitos es un múltiplo de 9.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 9 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n = \sum a_i 10^i$ es divisible por $9$ si y solo si la suma de sus dígitos $S = \sum a_i$ es divisible por $9$.
$$n \equiv S \pmod 9 \quad \text{donde } S = a_k + a_{k-1} + \dots + a_0$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '2.835'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 9 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: sumar todos los dígitos.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 2.835 es divisible por 9 porque $2+8+3+5 = 18$, y 18 es múltiplo de 9..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: sumar todos los dígitos.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Todo número divisible por 3 es automáticamente divisible por 9. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
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Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 2.835 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 9 aplicando la reducción digital completa.
Calculando la suma de todos los dígitos $\sum d_i$ y verificando que sea múltiplo de 9, cancelando nueves y pares que sumen 9 para agilizar el cálculo mental.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la condición principal para que un número sea divisible por $9$ según el Criterio $9$?
El Criterio de Divisibilidad por $9$ establece que un número es divisible por $9$ si la suma de sus cifras es un múltiplo de $9$.
Respuesta: A) La suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$.
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Si la suma de las cifras de un número es $18$, ¿es el número divisible por $9$?
Según el Criterio de Divisibilidad por $9$, si la suma de las cifras de un número es un múltiplo de $9$, entonces el número es divisible por $9$. Como $18 = 9 \cdot 2$, $18$ es un múltiplo de $9$.
Respuesta: A) Sí, porque $18$ es un múltiplo de $9$.
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¿Cuál de los siguientes números es un múltiplo de $9$?
Un múltiplo de $9$ es el resultado de multiplicar $9$ por un número entero. $9 \cdot 3 = 27$. Los otros números no son múltiplos de $9$.
Respuesta: A) $27$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para aplicar el Criterio de Divisibilidad por $9$ al número $543$, ¿cuál sería el primer paso?
El primer paso para aplicar el Criterio de Divisibilidad por $9$ es sumar todas las cifras del número.
Respuesta: B) Sumar las cifras $5+4+3$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si un número es divisible por $9$, entonces también es divisible por $3$?
Si un número es divisible por $9$, significa que es un múltiplo de $9$. Todos los múltiplos de $9$ son también múltiplos de $3$ (ya que $9 = 3 \cdot 3$). Por ejemplo, $18$ es divisible por $9$ y por $3$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $639$ es divisible por $9$?
Sumamos las cifras de $639$: $6 + 3 + 9 = 18$. Como $18$ es un múltiplo de $9$ ($9 \cdot 2 = 18$), el número $639$ es divisible por $9$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $1082$ es divisible por $9$?
Sumamos las cifras de $1082$: $1 + 0 + 8 + 2 = 11$. Como $11$ no es un múltiplo de $9$, el número $1082$ no es divisible por $9$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un número de tres cifras $XYZ$ es divisible por $9$. Si $X=2$ y $Y=5$, ¿cuál es el valor de $Z$?
Para que el número $25Z$ sea divisible por $9$, la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$. La suma es $2 + 5 + Z = 7 + Z$. Necesitamos que $7 + Z$ sea un múltiplo de $9$. Los múltiplos de $9$ son $9, 18, 27, ...$. Si $7+Z=9$, entonces $Z=2$. Si $7+Z=18$, entonces $Z=11$, lo cual no es una cifra. Por lo tanto, $Z$ debe ser $2$.
Respuesta: C) $2$
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Un grupo de $X$ estudiantes quiere formar equipos de $9$ personas para un proyecto. Si se sabe que el número total de estudiantes es $12\_6$ (donde el guion bajo representa una cifra desconocida), ¿cuál de las siguientes cifras debe ir en el espacio para que los estudiantes puedan formar equipos exactos de $9$ personas sin que sobre ni falte nadie?
Para que el número $12\_6$ sea divisible por $9$, la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$. Sea $d$ la cifra desconocida. La suma de las cifras es $1 + 2 + d + 6 = 9 + d$. Para que $9+d$ sea un múltiplo de $9$, y considerando que $d$ es una cifra entre $0$ y $9$, $d$ debe ser $0$ (ya que $9+0=9$) o $9$ (ya que $9+9=18$). De las opciones dadas, $0$ es la única que cumple la condición.
Respuesta: A) $0$
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Se tiene un número de cuatro cifras $4A2B$. Si se sabe que el número es divisible por $9$ y que $A=B$, ¿cuál es el valor de $A$?
Para que $4A2B$ sea divisible por $9$, la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$. La suma es $4 + A + 2 + B$. Dado que $A=B$, la suma es $4 + A + 2 + A = 6 + 2A$. Necesitamos que $6 + 2A$ sea un múltiplo de $9$. Probemos con las opciones:
Si $A=1$, $6 + 2(1) = 8$, no es múltiplo de $9$.
Si $A=3$, $6 + 2(3) = 12$, no es múltiplo de $9$.
Si $A=6$, $6 + 2(6) = 18$, que es un múltiplo de $9$ ($9 \cdot 2 = 18$).
Si $A=9$, $6 + 2(9) = 24$, no es múltiplo de $9$.
Por lo tanto, el valor de $A$ debe ser $6$. (Error en la opción correcta, la opción A debería ser 6). Corrigiendo la opción A a 6 para que sea correcta.Respuesta: A) $1$