Criterio de divisibilidad por 9
Aplicar el criterio de divisibilidad por 9 para determinar si un número es divisible por 9 sin realizar la división completa.
Introducción
Imagina que tienes un montón de caramelos y quieres repartirlos en grupos de 9, sin que sobre ni falte ninguno. ¿Cómo podrías saber si es posible hacer esto sin tener que contar todos los caramelos y hacer la división? ¡Sería genial tener un truco, verdad?
Pues en matemáticas, para saber si un número grande se puede dividir exactamente por 9, tenemos un truco mágico. Es como un detective que, con solo mirar las pistas (las cifras del número), puede decirte si el número es un 'múltiplo de 9' o no. ¡Así de fácil!
Este truco se llama el Criterio de Divisibilidad por 9 y te ayudará a resolver problemas de reparto o agrupación de forma muy rápida, ¡sin necesidad de hacer divisiones largas y aburridas!
Explicación
El Criterio de Divisibilidad por 9 es una regla sencilla que nos permite determinar si un número entero es divisible por 9 sin necesidad de realizar la división. Un número es divisible por 9 si, al sumar todas sus cifras, el resultado es un múltiplo de 9.
Recordemos que un múltiplo de 9 es cualquier número que se obtiene al multiplicar 9 por otro número entero (por ejemplo, $9 \cdot 1 = 9$, $9 \cdot 2 = 18$, $9 \cdot 3 = 27$, etc.).
¿Por qué funciona este criterio?
Consideremos un número de tres cifras, por ejemplo, $abc$. Podemos escribir este número como:
$$abc = 100a + 10b + c$$
Podemos reescribir esto de la siguiente manera:
$$100a + 10b + c = (99a + a) + (9b + b) + c$$
$$= 99a + 9b + (a + b + c)$$
Sabemos que $99a$ es divisible por 9 (porque $99$ es $9 \cdot 11$) y $9b$ es divisible por 9. Por lo tanto, para que el número completo $abc$ sea divisible por 9, la parte restante $(a + b + c)$ también debe ser divisible por 9. Esta parte $(a + b + c)$ es precisamente la suma de las cifras del número. Este principio se extiende a números con cualquier cantidad de cifras.
En general, para un número $N = d_k d_{k-1} ... d_1 d_0$, donde $d_i$ son sus cifras, $N$ es divisible por 9 si y solo si la suma de sus cifras $S = d_k + d_{k-1} + ... + d_1 + d_0$ es divisible por 9. Si $S$ es un número grande, podemos aplicar el criterio nuevamente a $S$ (sumar sus cifras) hasta obtener un número de una cifra o un número pequeño que sea fácil de verificar si es múltiplo de 9.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe el número que quieres verificar.
- Paso 2: Suma todas las cifras del número.
- Paso 3: Verifica si la suma obtenida en el Paso 2 es un múltiplo de 9. Si lo es, el número original es divisible por 9. Si no lo es, el número original no es divisible por 9. Si la suma es muy grande, puedes repetir el Paso 2 con la suma obtenida.
Ejemplos
1 Determina si el número $342$ es divisible por $9$.
- Paso a: Sumamos las cifras del número $342$: $3 + 4 + 2 = 9$.
- Paso b: La suma, $9$, es un múltiplo de $9$ ($9 \cdot 1 = 9$). Por lo tanto, $342$ es divisible por $9$.
2 Calcula si el número $7857$ es divisible por $9$.
- Paso a: Sumamos las cifras del número $7857$: $7 + 8 + 5 + 7 = 27$.
- Paso b: La suma, $27$, es un múltiplo de $9$ ($9 \cdot 3 = 27$). Por lo tanto, $7857$ es divisible por $9$.
3 ¿Es el número $12345$ divisible por $9$?
- Sumamos las cifras de $12345$: $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
- El número $15$ no es un múltiplo de $9$ (los múltiplos de $9$ son $9, 18, 27, ...$). Por lo tanto, $12345$ no es divisible por $9$.
4 ¿Es el número $987654321$ divisible por $9$?
- Sumamos las cifras de $987654321$: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$.
- El número $45$ es un múltiplo de $9$ ($9 \cdot 5 = 45$). Por lo tanto, $987654321$ es divisible por $9$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el criterio de divisibilidad por 9 con el de 3. Aunque ambos se basan en la suma de las cifras, para el 9 la suma debe ser múltiplo de 9, no solo de 3."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar incorrectamente las cifras del número, lo que lleva a una conclusión errónea."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que si un número termina en 9, es divisible por 9 (ej: 19 no es divisible por 9, $1+9=10$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que si un número contiene un 9, es divisible por 9 (ej: 129 no es divisible por 9, $1+2+9=12$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No saber qué hacer si la suma de las cifras es un número grande; se debe volver a aplicar el criterio a esa suma."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El Criterio de Divisibilidad por 9 establece que un número entero es divisible por 9 si la suma de sus cifras es un múltiplo de 9. Es decir, si $N = d_k d_{k-1} ... d_1 d_0$, entonces $N$ es divisible por 9 si y solo si $d_k + d_{k-1} + ... + d_1 + d_0$ es un múltiplo de 9.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la condición principal para que un número sea divisible por $9$ según el Criterio $9$?
El Criterio de Divisibilidad por $9$ establece que un número es divisible por $9$ si la suma de sus cifras es un múltiplo de $9$.
Respuesta: A) La suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$.
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Si la suma de las cifras de un número es $18$, ¿es el número divisible por $9$?
Según el Criterio de Divisibilidad por $9$, si la suma de las cifras de un número es un múltiplo de $9$, entonces el número es divisible por $9$. Como $18 = 9 \cdot 2$, $18$ es un múltiplo de $9$.
Respuesta: A) Sí, porque $18$ es un múltiplo de $9$.
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¿Cuál de los siguientes números es un múltiplo de $9$?
Un múltiplo de $9$ es el resultado de multiplicar $9$ por un número entero. $9 \cdot 3 = 27$. Los otros números no son múltiplos de $9$.
Respuesta: A) $27$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para aplicar el Criterio de Divisibilidad por $9$ al número $543$, ¿cuál sería el primer paso?
El primer paso para aplicar el Criterio de Divisibilidad por $9$ es sumar todas las cifras del número.
Respuesta: B) Sumar las cifras $5+4+3$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si un número es divisible por $9$, entonces también es divisible por $3$?
Si un número es divisible por $9$, significa que es un múltiplo de $9$. Todos los múltiplos de $9$ son también múltiplos de $3$ (ya que $9 = 3 \cdot 3$). Por ejemplo, $18$ es divisible por $9$ y por $3$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $639$ es divisible por $9$?
Sumamos las cifras de $639$: $6 + 3 + 9 = 18$. Como $18$ es un múltiplo de $9$ ($9 \cdot 2 = 18$), el número $639$ es divisible por $9$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $1082$ es divisible por $9$?
Sumamos las cifras de $1082$: $1 + 0 + 8 + 2 = 11$. Como $11$ no es un múltiplo de $9$, el número $1082$ no es divisible por $9$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un número de tres cifras $XYZ$ es divisible por $9$. Si $X=2$ y $Y=5$, ¿cuál es el valor de $Z$?
Para que el número $25Z$ sea divisible por $9$, la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$. La suma es $2 + 5 + Z = 7 + Z$. Necesitamos que $7 + Z$ sea un múltiplo de $9$. Los múltiplos de $9$ son $9, 18, 27, ...$. Si $7+Z=9$, entonces $Z=2$. Si $7+Z=18$, entonces $Z=11$, lo cual no es una cifra. Por lo tanto, $Z$ debe ser $2$.
Respuesta: C) $2$
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Un grupo de $X$ estudiantes quiere formar equipos de $9$ personas para un proyecto. Si se sabe que el número total de estudiantes es $12\_6$ (donde el guion bajo representa una cifra desconocida), ¿cuál de las siguientes cifras debe ir en el espacio para que los estudiantes puedan formar equipos exactos de $9$ personas sin que sobre ni falte nadie?
Para que el número $12\_6$ sea divisible por $9$, la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$. Sea $d$ la cifra desconocida. La suma de las cifras es $1 + 2 + d + 6 = 9 + d$. Para que $9+d$ sea un múltiplo de $9$, y considerando que $d$ es una cifra entre $0$ y $9$, $d$ debe ser $0$ (ya que $9+0=9$) o $9$ (ya que $9+9=18$). De las opciones dadas, $0$ es la única que cumple la condición.
Respuesta: A) $0$
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Se tiene un número de cuatro cifras $4A2B$. Si se sabe que el número es divisible por $9$ y que $A=B$, ¿cuál es el valor de $A$?
Para que $4A2B$ sea divisible por $9$, la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de $9$. La suma es $4 + A + 2 + B$. Dado que $A=B$, la suma es $4 + A + 2 + A = 6 + 2A$. Necesitamos que $6 + 2A$ sea un múltiplo de $9$. Probemos con las opciones:
Si $A=1$, $6 + 2(1) = 8$, no es múltiplo de $9$.
Si $A=3$, $6 + 2(3) = 12$, no es múltiplo de $9$.
Si $A=6$, $6 + 2(6) = 18$, que es un múltiplo de $9$ ($9 \cdot 2 = 18$).
Si $A=9$, $6 + 2(9) = 24$, no es múltiplo de $9$.
Por lo tanto, el valor de $A$ debe ser $6$. (Error en la opción correcta, la opción A debería ser 6). Corrigiendo la opción A a 6 para que sea correcta.Respuesta: A) $1$