Criterio de divisibilidad por 8
Resumen inicial
Un número es divisible por 8 si sus tres últimas cifras forman un múltiplo de 8 o son 000.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 8 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n$ es divisible por $8$ si el número formado por sus tres últimas cifras $100 a_2 + 10 a_1 + a_0$ es divisible por $8$.
$$100 a_2 + 10 a_1 + a_0 \equiv 0 \pmod 8$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '3.120'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 8 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: evaluar las tres últimas cifras.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 3.120 es divisible por 8 porque 120 es múltiplo de 8 ($120 = 8 \cdot 15$)..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: evaluar las tres últimas cifras.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Un número es divisible por 8 si termina en la cifra 8. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
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Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 3.120 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 8 analizando las tres últimas cifras numéricas.
Comprobando que el bloque de centenas, decenas y unidades forme un múltiplo de 8 o termine en '000', o aplicando la combinación lineal rápida $4c + 2d + u \in M(8)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué condición deben cumplir las últimas cifras de un número para que este sea divisible por $8$?
El criterio de divisibilidad por $8$ establece que un número es divisible por $8$ si sus últimas tres cifras son $000$ o forman un múltiplo de $8$.
Respuesta: A) Sus tres últimas cifras deben ser cero o formar un número divisible por $8$.
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Si un número termina en $000$, ¿por cuál de los siguientes números es siempre divisible?
Dado que $1000 = 8 \cdot 125$, cualquier número que termine en $000$ es un múltiplo de $1000$ y, por ende, es siempre divisible por $8$.
Respuesta: A) $8$
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¿Por qué es suficiente analizar las tres últimas cifras para saber si un número es divisible por $8$?
Cualquier número entero se puede expresar como $1000a + b$, donde $b$ representa las últimas tres cifras. Dado que $1000$ es divisible por $8$, el término $1000a$ siempre es divisible por $8$, dejando que la divisibilidad dependa solo de $b$.
Respuesta: A) Porque $1000$ es divisible por $8$, por lo que la parte de los miles en adelante siempre es divisible por $8$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para evaluar si el número $37,128$ es divisible por $8$, ¿qué parte del número debemos aislar y analizar?
De acuerdo con el criterio de divisibilidad por $8$, se deben aislar las últimas tres cifras, que en el número $37,128$ corresponden a $128$.
Respuesta: A) $128$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $5,064$ es divisible por $8$?
Aislamos las últimas tres cifras: $064$ (es decir, $64$). Como $64 = 8 \cdot 8$, el número $64$ es divisible por $8$, lo que significa que $5,064$ es divisible por $8$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $14,218$ es divisible por $8$?
Las últimas tres cifras de $14,218$ son $218$. Al dividir $218$ por $8$: $218 \div 8 = 27$ con un resto de $2$. Dado que la división no es exacta, el número no es divisible por $8$.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que si un número es divisible por $8$, también es divisible por $4$?
Dado que $8$ es múltiplo de $4$ ($8 = 4 \cdot 2$), cualquier número que sea divisible por $8$ también es divisible por $4$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un sistema informático genera códigos numéricos de $6$ cifras de la forma $753,2AB$. Si el código debe ser divisible por $8$ y además se sabe que las cifras finales $A$ y $B$ son iguales, ¿cuál de los siguientes pares es el valor de $A$ y $B$?
Las últimas tres cifras son $2AB$. Como $A=B$, el número de tres cifras es $2AA$. Probemos las opciones:
- Si $A=8$: $288$. $288 \div 8 = 36$ (división exacta).
- Si $A=4$: $244$. $244 \div 8 = 30.5$.
- Si $A=2$: $222$. $222 \div 8 = 27.75$.
- Si $A=6$: $266$. $266 \div 8 = 33.25$.
Entonces la única opción correcta es $8$.Respuesta: A) $8$
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Se quiere cortar una cinta de $8,304$ centímetros en trozos iguales de $8$ centímetros cada uno. ¿Cuántos trozos se obtendrán y quedará algún trozo sobrante?
Primero aplicamos el criterio por $8$ en $8,304$. Sus tres últimas cifras son $304$. $304 \div 8 = 38$ (exacto), por lo que es divisible por $8$ y no sobrará nada. Al realizar la división total: $8304 \div 8 = 1038$ trozos sin sobrante.
Respuesta: A) Se obtendrán $1038$ trozos y no sobrará nada.
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Una distribuidora de bebidas tiene un lote de $12,4X8$ botellas (donde $X$ es una cifra). Si se desea empaquetar estas botellas en cajas de $8$ unidades sin que sobre ninguna, ¿cuál de las siguientes opciones representa un valor posible para $X$?
El número de botellas es $12,4X8$. Para que sea divisible por $8$, el número formado por las tres últimas cifras, $4X8$, debe ser divisible por $8$. Probemos las alternativas:
- Si $X=4$, el número es $448$. $448 \div 8 = 56$ (exacto).
- Si $X=3$, el número es $438$. $438 \div 8 = 54.75$.
- Si $X=1$, el número es $418$. $418 \div 8 = 52.25$.
- Si $X=5$, el número es $458$. $458 \div 8 = 57.25$.
Por tanto, el valor correcto de $X$ es $4$.Respuesta: A) $4$