Criterio de divisibilidad por 8
Aplicar el criterio de divisibilidad por 8 para determinar si un número es divisible por 8 analizando sus tres últimas cifras.
Introducción
Imagínate que tienes un número gigantesco, como por ejemplo 154,240, y quieres saber si puedes agruparlo exactamente en grupos de 8. ¡Hacer una división tan larga tomaría mucho tiempo!
Por suerte, el 8 tiene un secreto guardado: no le importa cuán largo sea el número, solo le interesan sus tres últimas cifras. Si esas tres cifras forman un número que se puede dividir por 8, ¡todo el número gigante también puede!
Este truco se llama el Criterio de Divisibilidad por 8 y es súper útil para lidiar con números grandes de forma rápida.
Explicación
El Criterio de Divisibilidad por 8 es una herramienta útil para números grandes. Se basa en que $1000$ es divisible por $8$ ($1000 = 8 \cdot 125$). Por lo tanto, cualquier múltiplo de $1000$ también es divisible por $8$.
Si escribimos un número grande como la suma de sus miles y sus últimas tres cifras (por ejemplo, $35,248 = 35,000 + 248$), la parte de los miles siempre será divisible por $8$. Así, la divisibilidad de todo el número depende exclusivamente de si el número formado por las tres últimas cifras (en este caso, $248$) es divisible por $8$.
Las condiciones son:
1. Que las últimas tres cifras sean $000$ (por ejemplo, $5,000$).
2. Que el número de tres cifras formado al final sea un múltiplo de $8$ (por ejemplo, en $1,128$, las últimas cifras son $128$, y $128 \div 8 = 16$).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las tres últimas cifras del número a evaluar.
- Paso 2: Si las tres últimas cifras son 000, el número es divisible por 8. Si no, forma un número de tres cifras con ellas.
- Paso 3: Divide ese número de tres cifras por 8. Si la división es exacta (resto 0), el número original es divisible por 8. De lo contrario, no lo es.
Ejemplos
1 Determina si el número $5,120$ es divisible por $8$.
- Paso a: Identificamos las últimas tres cifras del número $5,120$, que son $120$.
- Paso b: Realizamos la división de las tres últimas cifras por $8$: $120 \div 8 = 15$, de manera exacta.
- Paso c: Como las tres últimas cifras forman un número divisible por $8$, entonces $5,120$ es divisible por $8$.
2 Verifica si el número $3,006$ es divisible por $8$.
- Paso a: Identificamos las últimas tres cifras de $3,006$, que son $006$ (es decir, el número $6$).
- Paso b: Analizamos si el número $6$ es divisible por $8$. Como $6$ es menor que $8$ y no es cero, no es divisible por $8$.
- Paso c: Concluimos que $3,006$ no es divisible por $8$.
3 ¿Es el número $12,000$ divisible por $8$?
- Observamos las tres últimas cifras del número $12,000$.
- Las tres cifras finales son ceros ($000$).
- De acuerdo con el criterio, cualquier número entero que termine en tres ceros es divisible por $8$. Por ende, $12,000$ es divisible por $8$.
4 ¿Es el número $7,118$ divisible por $8$?
- Tomamos las tres últimas cifras de $7,118$, que forman el número $118$.
- Dividimos $118$ por $8$: $118 \div 8 = 14$ con un residuo de $6$ (ya que $8 \cdot 14 = 112$).
- Al no ser una división exacta, concluimos que $7,118$ no es divisible por $8$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el criterio de divisibilidad del 8 con el del 4, analizando solo las últimas dos cifras en lugar de las últimas tres."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"{'Pensar que si un número termina en 8 o es par, automáticamente es divisible por 8 (ej': '18 termina en 8 y es par, pero no es divisible por 8).'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No considerar el caso especial de que un número terminado en 000 es siempre divisible por 8."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Cometer errores de cálculo en la división mental de las tres últimas cifras por 8."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Creer que un número de menos de tres cifras no se puede analizar con este criterio (para números de una o dos cifras se verifica la división directa)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El Criterio de Divisibilidad por 8 establece que un número entero es divisible por 8 si sus últimas tres cifras forman un número divisible por 8, o si las tres últimas cifras son ceros (000).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué condición deben cumplir las últimas cifras de un número para que este sea divisible por $8$?
El criterio de divisibilidad por $8$ establece que un número es divisible por $8$ si sus últimas tres cifras son $000$ o forman un múltiplo de $8$.
Respuesta: A) Sus tres últimas cifras deben ser cero o formar un número divisible por $8$.
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Si un número termina en $000$, ¿por cuál de los siguientes números es siempre divisible?
Dado que $1000 = 8 \cdot 125$, cualquier número que termine en $000$ es un múltiplo de $1000$ y, por ende, es siempre divisible por $8$.
Respuesta: A) $8$
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¿Por qué es suficiente analizar las tres últimas cifras para saber si un número es divisible por $8$?
Cualquier número entero se puede expresar como $1000a + b$, donde $b$ representa las últimas tres cifras. Dado que $1000$ es divisible por $8$, el término $1000a$ siempre es divisible por $8$, dejando que la divisibilidad dependa solo de $b$.
Respuesta: A) Porque $1000$ es divisible por $8$, por lo que la parte de los miles en adelante siempre es divisible por $8$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para evaluar si el número $37,128$ es divisible por $8$, ¿qué parte del número debemos aislar y analizar?
De acuerdo con el criterio de divisibilidad por $8$, se deben aislar las últimas tres cifras, que en el número $37,128$ corresponden a $128$.
Respuesta: A) $128$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $5,064$ es divisible por $8$?
Aislamos las últimas tres cifras: $064$ (es decir, $64$). Como $64 = 8 \cdot 8$, el número $64$ es divisible por $8$, lo que significa que $5,064$ es divisible por $8$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $14,218$ es divisible por $8$?
Las últimas tres cifras de $14,218$ son $218$. Al dividir $218$ por $8$: $218 \div 8 = 27$ con un resto de $2$. Dado que la división no es exacta, el número no es divisible por $8$.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que si un número es divisible por $8$, también es divisible por $4$?
Dado que $8$ es múltiplo de $4$ ($8 = 4 \cdot 2$), cualquier número que sea divisible por $8$ también es divisible por $4$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un sistema informático genera códigos numéricos de $6$ cifras de la forma $753,2AB$. Si el código debe ser divisible por $8$ y además se sabe que las cifras finales $A$ y $B$ son iguales, ¿cuál de los siguientes pares es el valor de $A$ y $B$?
Las últimas tres cifras son $2AB$. Como $A=B$, el número de tres cifras es $2AA$. Probemos las opciones:
- Si $A=8$: $288$. $288 \div 8 = 36$ (división exacta).
- Si $A=4$: $244$. $244 \div 8 = 30.5$.
- Si $A=2$: $222$. $222 \div 8 = 27.75$.
- Si $A=6$: $266$. $266 \div 8 = 33.25$.
Entonces la única opción correcta es $8$.Respuesta: A) $8$
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Se quiere cortar una cinta de $8,304$ centímetros en trozos iguales de $8$ centímetros cada uno. ¿Cuántos trozos se obtendrán y quedará algún trozo sobrante?
Primero aplicamos el criterio por $8$ en $8,304$. Sus tres últimas cifras son $304$. $304 \div 8 = 38$ (exacto), por lo que es divisible por $8$ y no sobrará nada. Al realizar la división total: $8304 \div 8 = 1038$ trozos sin sobrante.
Respuesta: A) Se obtendrán $1038$ trozos y no sobrará nada.
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Una distribuidora de bebidas tiene un lote de $12,4X8$ botellas (donde $X$ es una cifra). Si se desea empaquetar estas botellas en cajas de $8$ unidades sin que sobre ninguna, ¿cuál de las siguientes opciones representa un valor posible para $X$?
El número de botellas es $12,4X8$. Para que sea divisible por $8$, el número formado por las tres últimas cifras, $4X8$, debe ser divisible por $8$. Probemos las alternativas:
- Si $X=4$, el número es $448$. $448 \div 8 = 56$ (exacto).
- Si $X=3$, el número es $438$. $438 \div 8 = 54.75$.
- Si $X=1$, el número es $418$. $418 \div 8 = 52.25$.
- Si $X=5$, el número es $458$. $458 \div 8 = 57.25$.
Por tanto, el valor correcto de $X$ es $4$.Respuesta: A) $4$