Criterio de divisibilidad por 6
Aplicar el criterio de divisibilidad por 6 para determinar si un número es divisible por 6 sin realizar la división completa.
Introducción
¿Has intentado alguna vez repartir una cantidad de juguetes en 6 cajas de forma exacta? Para saber si puedes hacerlo sin que sobre ninguno, hay un truco genial. Imagina que el 6 es un número que tiene dos llaves mágicas: la llave del 2 y la llave del 3. Si un número puede abrir ambas puertas, ¡entonces también puede abrir la puerta del 6!
En el mundo de las matemáticas, esto significa que si un número se puede dividir por 2 y también por 3 al mismo tiempo, entonces es divisible por 6. ¡Es como tener un pase doble!
Este truco se llama el Criterio de Divisibilidad por 6 y te ahorrará mucho tiempo cuando tengas que resolver problemas de repartos o agrupaciones de seis en seis.
Explicación
El Criterio de Divisibilidad por 6 combina las reglas de los números 2 y 3. Dado que $6 = 2 \cdot 3$, y los números 2 y 3 son primos relativos, cualquier número que sea múltiplo de ambos será obligatoriamente múltiplo de 6.
Para verificar si un número es divisible por 6, se deben cumplir dos condiciones al mismo tiempo:
1. Divisibilidad por 2: El número debe ser par (su última cifra debe ser $0$, $2$, $4$, $6$ u $8$).
2. Divisibilidad por 3: La suma de todas sus cifras debe ser un múltiplo de $3$ (es decir, estar en la tabla del 3: $3$, $6$, $9$, $12$, etc.).
Si falla cualquiera de estas dos condiciones, el número no es divisible por 6.
Por ejemplo, para ver si $744$ es divisible por 6:
- Es par porque termina en $4$ (divisible por 2).
- La suma de sus cifras es $7 + 4 + 4 = 15$, que es divisible por 3.
- Como cumple ambas condiciones, $744$ es divisible por 6.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Observa la última cifra del número para verificar si es par. Si termina en 0, 2, 4, 6 u 8, continúa al Paso 2. Si es impar, el número no es divisible por 6 y el proceso termina.
- Paso 2: Suma todas las cifras del número.
- Paso 3: Verifica si la suma del Paso 2 es un múltiplo de 3. Si lo es, el número es divisible por 6. De lo contrario, no lo es.
Ejemplos
1 Determina si el número $162$ es divisible por $6$.
- Paso a: Verificamos si el número es par. Termina en $2$, por lo tanto, es par y divisible por $2$.
- Paso b: Sumamos sus cifras: $1 + 6 + 2 = 9$. Como $9$ es un múltiplo de $3$ ($3 \cdot 3 = 9$), el número es divisible por $3$.
- Paso c: Al cumplir ambas condiciones, concluimos que $162$ es divisible por $6$.
2 Comprueba si el número $215$ es divisible por $6$.
- Paso a: Verificamos si el número es par. Termina en $5$, por lo tanto, es impar.
- Paso b: Como no cumple la condición de ser divisible por $2$, no es necesario sumar las cifras. Concluimos inmediatamente que $215$ no es divisible por $6$.
3 ¿Es el número $528$ divisible por $6$?
- El número $528$ termina en $8$, por lo que es par (divisible por $2$).
- Sumamos sus cifras: $5 + 2 + 8 = 15$. Dado que $15$ es un múltiplo de $3$ ($3 \cdot 5 = 15$), es divisible por $3$.
- Como es divisible por $2$ y por $3$ a la vez, entonces $528$ es divisible por $6$.
4 ¿Es el número $742$ divisible por $6$?
- El número $742$ es par porque termina en $2$.
- Sumamos sus cifras: $7 + 4 + 2 = 13$. Como $13$ no es un múltiplo de $3$, el número no es divisible por $3$.
- Dado que no cumple la divisibilidad por $3$, $742$ no es divisible por $6$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"{'Pensar que basta con que el número sea par para que sea divisible por 6 (ej': '8 es par pero no es divisible por 6).'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"{'Creer que basta con que la suma de las cifras sea múltiplo de 3 (ej': '15 es divisible por 3, pero es impar y por tanto no es divisible por 6).'}"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar incorrectamente las cifras, lo que altera el resultado de la divisibilidad por 3."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que se deben cumplir simultáneamente ambas condiciones (ser divisible por 2 y por 3)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar aplicar el criterio a números decimales; los criterios de divisibilidad se aplican exclusivamente a números enteros."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El Criterio de Divisibilidad por 6 establece que un número entero es divisible por 6 si es divisible por 2 y por 3 simultáneamente. Esto significa que el número debe ser par (terminar en 0, 2, 4, 6 u 8) y que la suma de sus cifras debe ser un múltiplo de 3.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si un número $N$ es impar, ¿qué se puede afirmar con seguridad sobre su divisibilidad por $6$?
Un número divisible por $6$ debe ser divisible por $2$, lo cual implica que debe ser par. Por lo tanto, si un número es impar, no puede ser divisible por $6$.
Respuesta: A) No puede ser divisible por $6$.
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¿Cuál de las siguientes condiciones define correctamente el criterio de divisibilidad por $6$?
Para que un número sea divisible por $6$, debe ser divisible por $2$ (ser par) y por $3$ (la suma de sus cifras debe ser múltiplo de $3$) al mismo tiempo, ya que $6 = 2 \cdot 3$.
Respuesta: A) Debe ser divisible por $2$ y por $3$ simultáneamente.
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Si un número par tiene una suma de cifras igual a $15$, ¿es divisible por $6$?
El número es par (divisible por $2$) y la suma de sus cifras es $15$, que es un múltiplo de $3$ ($3 \cdot 5 = 15$). Al cumplir ambas condiciones, el número es divisible por $6$.
Respuesta: A) Sí, porque es par y $15$ es un múltiplo de $3$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al verificar si el número $438$ es divisible por $6$, ¿cuál es el procedimiento inicial recomendado?
El procedimiento del criterio por $6$ requiere primero comprobar la divisibilidad por $2$ (ver que termina en par: $8$) y luego sumar sus cifras ($4+3+8=15$) para comprobar si es divisible por $3$.
Respuesta: A) Comprobar que termina en cifra par y luego sumar sus cifras ($4+3+8$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $516$ es divisible por $6$?
El número $516$ termina en $6$, por lo que es par (divisible por $2$). Sumamos sus cifras: $5 + 1 + 6 = 12$. Como $12$ es múltiplo de $3$, cumple ambos criterios y es divisible por $6$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $321$ es divisible por $6$?
El número $321$ termina en $1$, que es una cifra impar. Por lo tanto, no es divisible por $2$, lo que impide inmediatamente que sea divisible por $6$.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número $284$ es divisible por $6$?
El número $284$ termina en $4$ (es par, divisible por $2$). Sumamos sus cifras: $2 + 8 + 4 = 14$. Como $14$ no es divisible por $3$, el número no es divisible por $6$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un comerciante tiene $57\_2$ lápices (donde el guion representa una cifra desconocida) y desea guardarlos en cajas de $6$ unidades cada una. Si no quiere que le sobre ningún lápiz, ¿cuál de los siguientes valores puede tomar la cifra desconocida?
El número $57\_2$ termina en $2$, que es par, así que es divisible por $2$. Para que sea divisible por $6$, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de $3$. Sumamos las cifras: $5 + 7 + d + 2 = 14 + d$. Si $d=1$, la suma es $15$, que es múltiplo de $3$. Si $d=2$ (suma $16$), $d=3$ (suma $17$), $d=5$ (suma $19$), ninguno es múltiplo de $3$. Por lo tanto, la cifra es $1$.
Respuesta: A) $1$
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Se sabe que el número de cinco cifras $23X4Y$ es divisible por $6$. Si $X = 1$, ¿cuál es el mayor valor posible para la cifra $Y$?
El número es $2314Y$. Para ser divisible por $6$, la cifra $Y$ debe ser par ($0, 2, 4, 6, 8$) y la suma de sus cifras $2 + 3 + 1 + 4 + Y = 10 + Y$ debe ser múltiplo de $3$. Las cifras pares $Y$ que hacen que $10+Y$ sea múltiplo de $3$ son:
- Si $Y=2$: $10+2=12$ (múltiplo de $3$).
- Si $Y=8$: $10+8=18$ (múltiplo de $3$).
El mayor valor posible de $Y$ que es par y cumple la condición es $8$.Respuesta: A) $8$
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Si un número de la forma $4AA$ (donde $A$ representa la misma cifra) es divisible por $6$, ¿cuál de las siguientes opciones representa el valor de $A$?
Para que $4AA$ sea divisible por $6$, debe ser par, por lo que la última cifra $A$ debe ser par ($0, 2, 4, 6, 8$). Además, la suma de las cifras $4 + A + A = 4 + 2A$ debe ser múltiplo de $3$. Probemos las opciones:
- Si $A=4$: $4+2(4)=12$, que es divisible por $3$.
- Si $A=2$: $4+2(2)=8$ (no divisible por $3$).
- Si $A=6$: $4+2(6)=16$ (no divisible por $3$).
- Si $A=8$: $4+2(8)=20$ (no divisible por $3$).
Por lo tanto, $A$ debe ser $4$.Respuesta: A) $4$