Criterio de divisibilidad por 6
Resumen inicial
Un número es divisible por 6 si es divisible simultáneamente por 2 y por 3.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 6 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n$ es divisible por $6$ si y solo si $2 \mid n \land 3 \mid n$, dado que $\operatorname{mcm}(2,3) = 6$.
$$2 \mid n \land 3 \mid n \iff 6 \mid n$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '432'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 6 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: comprobar los criterios del 2 y del 3.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 432 es divisible por 6 porque es par (termina en 2) y $4+3+2=9$ (múltiplo de 3)..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: comprobar los criterios del 2 y del 3.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Un número es divisible por 6 si termina en la cifra 6. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
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Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 432 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 6 aplicando el criterio para números compuestos coprimos.
Verificando en dos etapas independientes y obligatorias: 1° que el número sea par ($2 \mid n$) y 2° que la suma de sus dígitos sea múltiplo de 3 ($3 \mid n$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si un número $N$ es impar, ¿qué se puede afirmar con seguridad sobre su divisibilidad por $6$?
Un número divisible por $6$ debe ser divisible por $2$, lo cual implica que debe ser par. Por lo tanto, si un número es impar, no puede ser divisible por $6$.
Respuesta: A) No puede ser divisible por $6$.
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¿Cuál de las siguientes condiciones define correctamente el criterio de divisibilidad por $6$?
Para que un número sea divisible por $6$, debe ser divisible por $2$ (ser par) y por $3$ (la suma de sus cifras debe ser múltiplo de $3$) al mismo tiempo, ya que $6 = 2 \cdot 3$.
Respuesta: A) Debe ser divisible por $2$ y por $3$ simultáneamente.
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Si un número par tiene una suma de cifras igual a $15$, ¿es divisible por $6$?
El número es par (divisible por $2$) y la suma de sus cifras es $15$, que es un múltiplo de $3$ ($3 \cdot 5 = 15$). Al cumplir ambas condiciones, el número es divisible por $6$.
Respuesta: A) Sí, porque es par y $15$ es un múltiplo de $3$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al verificar si el número $438$ es divisible por $6$, ¿cuál es el procedimiento inicial recomendado?
El procedimiento del criterio por $6$ requiere primero comprobar la divisibilidad por $2$ (ver que termina en par: $8$) y luego sumar sus cifras ($4+3+8=15$) para comprobar si es divisible por $3$.
Respuesta: A) Comprobar que termina en cifra par y luego sumar sus cifras ($4+3+8$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $516$ es divisible por $6$?
El número $516$ termina en $6$, por lo que es par (divisible por $2$). Sumamos sus cifras: $5 + 1 + 6 = 12$. Como $12$ es múltiplo de $3$, cumple ambos criterios y es divisible por $6$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $321$ es divisible por $6$?
El número $321$ termina en $1$, que es una cifra impar. Por lo tanto, no es divisible por $2$, lo que impide inmediatamente que sea divisible por $6$.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el número $284$ es divisible por $6$?
El número $284$ termina en $4$ (es par, divisible por $2$). Sumamos sus cifras: $2 + 8 + 4 = 14$. Como $14$ no es divisible por $3$, el número no es divisible por $6$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un comerciante tiene $57\_2$ lápices (donde el guion representa una cifra desconocida) y desea guardarlos en cajas de $6$ unidades cada una. Si no quiere que le sobre ningún lápiz, ¿cuál de los siguientes valores puede tomar la cifra desconocida?
El número $57\_2$ termina en $2$, que es par, así que es divisible por $2$. Para que sea divisible por $6$, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de $3$. Sumamos las cifras: $5 + 7 + d + 2 = 14 + d$. Si $d=1$, la suma es $15$, que es múltiplo de $3$. Si $d=2$ (suma $16$), $d=3$ (suma $17$), $d=5$ (suma $19$), ninguno es múltiplo de $3$. Por lo tanto, la cifra es $1$.
Respuesta: A) $1$
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Se sabe que el número de cinco cifras $23X4Y$ es divisible por $6$. Si $X = 1$, ¿cuál es el mayor valor posible para la cifra $Y$?
El número es $2314Y$. Para ser divisible por $6$, la cifra $Y$ debe ser par ($0, 2, 4, 6, 8$) y la suma de sus cifras $2 + 3 + 1 + 4 + Y = 10 + Y$ debe ser múltiplo de $3$. Las cifras pares $Y$ que hacen que $10+Y$ sea múltiplo de $3$ son:
- Si $Y=2$: $10+2=12$ (múltiplo de $3$).
- Si $Y=8$: $10+8=18$ (múltiplo de $3$).
El mayor valor posible de $Y$ que es par y cumple la condición es $8$.Respuesta: A) $8$
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Si un número de la forma $4AA$ (donde $A$ representa la misma cifra) es divisible por $6$, ¿cuál de las siguientes opciones representa el valor de $A$?
Para que $4AA$ sea divisible por $6$, debe ser par, por lo que la última cifra $A$ debe ser par ($0, 2, 4, 6, 8$). Además, la suma de las cifras $4 + A + A = 4 + 2A$ debe ser múltiplo de $3$. Probemos las opciones:
- Si $A=4$: $4+2(4)=12$, que es divisible por $3$.
- Si $A=2$: $4+2(2)=8$ (no divisible por $3$).
- Si $A=6$: $4+2(6)=16$ (no divisible por $3$).
- Si $A=8$: $4+2(8)=20$ (no divisible por $3$).
Por lo tanto, $A$ debe ser $4$.Respuesta: A) $4$