Criterio de divisibilidad por 5
Resumen inicial
Un número es divisible por 5 si su última cifra es 0 o 5.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 5 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n$ es divisible por $5$ si y solo si su dígito de las unidades $a_0 \in \{0, 5\}$.
$$a_0 \in \{0, 5\} \iff n \equiv 0 \pmod 5$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '735'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 5 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: verificar la última cifra.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 735 es divisible por 5 porque termina en 5..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: verificar la última cifra.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: La divisibilidad por 5 exige que todos los dígitos del número sean 5. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
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Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 735 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 5 e identificar el resto modular correspondiente.
Comprobando que la cifra de las unidades sea exactamente 0 o 5 ($u \in \{0, 5\}$), y extrayendo el residuo directo $u \bmod 5$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué cifras de las unidades caracterizan a los números divisibles por 5?
Un número es divisible por 5 si y solo si termina en la cifra 0 o en la cifra 5.
Respuesta: 0 o 5
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre los números divisibles por 5 es correcta?
Los números divisibles por 5 que terminan en 0 son pares (como 10, 20, 30), y los que terminan en 5 son impares (como 15, 25, 35). Por lo tanto, pueden ser pares o impares.
Respuesta: Pueden ser pares o impares
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Si un número natural $N$ es divisible por 10, ¿qué podemos concluir sobre su divisibilidad por 5?
Si $N$ es divisible por 10, termina en 0. Como todos los números que terminan en 0 cumplen con el criterio del 5, $N$ siempre es divisible por 5. ($10k = 5 \cdot (2k)$).
Respuesta: Siempre es divisible por 5
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de los siguientes números es divisible por 5?
La cifra de las unidades de 84.925 es 5, por lo que es divisible por 5. Los otros terminan en 2, 3 y 9.
Respuesta: 84.925
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número 900.005 es divisible por 5?
La última cifra del número 900.005 es 5. Como cumple con terminar en 0 o 5, es divisible por 5.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número 4.380 es divisible por 5?
La última cifra del número 4.380 es 0. Como el criterio de divisibilidad por 5 incluye terminar en 0, el número es divisible por 5.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número 7.896 es divisible por 5?
La última cifra es 6. Dado que no termina en 0 ni en 5, el número no es divisible por 5.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $n$ es un número natural divisible por 5, ¿cuál de los siguientes números es siempre divisible por 10?
Como $n$ es divisible por 5, lo expresamos como $n = 5k$. Entonces $2n = 2(5k) = 10k$, lo cual es siempre divisible por 10. Si tomamos $n=5$, vemos que $n+5=10$ (sí), pero si $n=10$, $n+5=15$ (no). En cambio, $2n$ siempre es múltiplo de 10.
Respuesta: $2n$
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Un granjero recoge huevos y los organiza en bandejas de 5 unidades. Si al final de la jornada tiene un total de $7.28x$ huevos (donde $x$ es el dígito de las unidades) y no le sobra ningún huevo, ¿cuál es el conjunto de valores que puede tomar $x$?
Para que los huevos se agrupen exactamente en bandejas de 5 sin que sobre ninguno, el número total de huevos $7.28x$ debe ser divisible por 5. Esto se cumple únicamente si la última cifra $x$ es 0 o 5.
Respuesta: {0, 5}
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Un camión transporta cajas que pesan 5 kilogramos cada una. Si el peso total de la carga está dado por un número de tres cifras que termina en $5$, ¿se puede repartir la carga en dos camiones más pequeños en partes exactamente iguales expresadas en números enteros?
La carga termina en la cifra 5. Por lo tanto, el peso total es un número impar. Los números impares no son divisibles por 2 de forma exacta en el conjunto de los enteros, lo que hace imposible dividir la carga en dos partes enteras iguales.
Respuesta: No, porque el número termina en 5 y por lo tanto es impar (no divisible por 2)