Criterio de divisibilidad por 4
Identificar si un número natural es divisible por 4 aplicando el criterio de sus dos últimas cifras.
Introducción
Imagina que estás organizando un torneo de videojuegos y necesitas agrupar a los jugadores
en equipos de exactamente 4 personas. Si llegan 512 jugadores, ¿podrás armar los equipos
sin que nadie se quede fuera?
Para saberlo rápidamente, solo necesitas fijarte en las últimas dos cifras del número.
Si esas dos últimas cifras forman un número que se puede dividir de forma exacta por 4
(o si terminan en dos ceros, como 100), entonces el número completo también se puede
dividir por 4. En el caso de 512, las últimas dos cifras son 12. Como 12 está en la tabla
del 4 ($4 \cdot 3 = 12$), ¡sabemos que sí se pueden armar equipos de 4 exactos!
Explicación
El criterio de divisibilidad por 4 establece que un número es divisible por 4 si el número
formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4, o si termina en 00.
Explicación matemática:
Cualquier número natural de tres o más cifras se puede descomponer separando sus centenas
del resto del número. Por ejemplo, el número $N = abcde$ se puede escribir como:
$$N = abcd \cdot 100 + de$$
Como $100$ es divisible por $4$ ($100 = 4 \cdot 25$), el término $abcd \cdot 100$ siempre
será divisible por 4, independientemente de cuáles sean los valores de $a, b, c, d$.
Por lo tanto, la divisibilidad de todo el número $N$ depende únicamente del número $de$
formado por las últimas dos cifras.
Si $de$ es múltiplo de 4 (es decir, $00, 04, 08, 12, 16, 20, \ldots, 96$), entonces el número
completo es divisible por 4.
Ejemplos:
- $1.324$: termina en $24$, que es divisible por 4 ($4 \cdot 6 = 24$). Sí es divisible.
- $500$: termina en $00$. Sí es divisible.
- $7.015$: termina en $15$, que no es divisible por 4. No es divisible.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identificar las dos últimas cifras de la derecha del número dado.
- Paso 2: Si las dos últimas cifras son 00, el número es divisible por 4.
- Paso 3: Si no son 00, comprobar si el número de dos cifras que forman es múltiplo de 4. Si lo es, el número completo es divisible por 4.
Ejemplos
1 Determina si el número 3.828 es divisible por 4.
- Fijamos la atención en las dos últimas cifras de 3.828, que son $28$.
- Comprobamos si 28 es divisible por 4: $28 \div 4 = 7$ con resto 0.
- Dado que 28 es múltiplo de 4, concluimos que 3.828 es divisible por 4.
2 Determina si el número 9.418 es divisible por 4.
- Fijamos la atención en las dos últimas cifras de 9.418, que son $18$.
- Comprobamos si 18 es divisible por 4: $18 \div 4 = 4$ con resto 2 (ya que $4 \cdot 4 = 16$).
- Como el resto no es 0, concluimos que 9.418 no es divisible por 4.
3 ¿Es divisible por 4 el número 7.200?
- Identificamos las dos últimas cifras de 7.200, que son $00$.
- Por el criterio de divisibilidad, cualquier número que termine en doble cero (00) es divisible por 4.
- Conclusión: 7.200 es divisible por 4.
4 ¿Es divisible por 4 el número 1.050?
- Identificamos las dos últimas cifras de 1.050, que son $50$.
- Comprobamos si 50 es divisible por 4. Al dividir $50 \div 4$ obtenemos $12$ con resto $2$.
- Dado que 50 no es múltiplo de 4, concluimos que 1.050 no es divisible por 4.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que basta con que la última cifra sea par para ser divisible por 4 (por ejemplo, 14 termina en 4 pero no es divisible por 4)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el término '00' cumple con el criterio y dividir innecesariamente números como 500 o 1.200."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir el criterio del 4 con el del 2 y pensar que todo número par es divisible por 4."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tratar de sumar las cifras (criterio del 3) en lugar de tomar las últimas dos cifras juntas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que un número impar podría ser divisible por 4 si sus dos últimas cifras son especiales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un número natural es divisible por 4 si y solo si sus dos últimas cifras de la derecha forman un número que es múltiplo de 4, o bien si ambas cifras son iguales a cero (00). Esto simplifica la evaluación de números grandes a verificar números menores de 100.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Por qué la divisibilidad por 4 de un número de muchas cifras depende solo de sus últimas dos cifras?
Un número $N$ se puede expresar como $A \cdot 100 + B$. Como 100 es divisible por 4, el término $A \cdot 100$ siempre lo es, por lo que la divisibilidad depende solo de las últimas dos cifras, representadas por $B$.
Respuesta: Porque 100 y todas sus potencias mayores son divisibles por 4
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¿Cuál es el criterio de divisibilidad por 4?
El criterio de divisibilidad por 4 se enfoca únicamente en las últimas dos cifras (unidades y decenas). Si este número es divisible por 4 o es '00', todo el número es divisible por 4.
Respuesta: Que el número formado por sus dos últimas cifras sea divisible por 4, o que termine en 00
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Si un número natural $N$ es divisible por 4, ¿qué se puede afirmar con seguridad sobre su divisibilidad por 2?
Como 4 es múltiplo de 2, todo número divisible por 4 también es divisible por 2. ($N = 4k = 2 \cdot (2k)$).
Respuesta: Siempre es divisible por 2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de los siguientes números es divisible por 4?
Las últimas dos cifras de 1.416 son 16, que es divisible por 4 ($4 \cdot 4 = 16$). Para los otros, 18, 02 y 10 no son divisibles por 4.
Respuesta: 1.416
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número 75.300 es divisible por 4?
Las dos últimas cifras de 75.300 son 00. Según el criterio de divisibilidad, cualquier número que termina en 00 es divisible por 4.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número 9.834 es divisible por 4?
Las dos últimas cifras son 34. Al dividir $34 \div 4$ obtenemos 8 con resto 2. Como no es exacto, 9.834 no es divisible por 4.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que todo número par es divisible por 4?
Existen números pares que no son divisibles por 4, como el 6, el 10, el 14 o el 18. Para ser divisible por 4, debe ser divisible por 2 dos veces consecutivas.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $n$ es un número entero divisible por 4, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número divisible por 4?
Como $n$ es divisible por 4, se puede escribir como $4k$. Entonces, $n + 8 = 4k + 8 = 4(k + 2)$, lo cual es siempre divisible por 4. Las otras opciones no garantizan la divisibilidad por 4 (por ejemplo, si $n=4$, $n+2=6$, $n/2=2$, $2n+2=10$).
Respuesta: $n + 8$
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Un número de cuatro cifras tiene la forma $3.5d2$, donde $d$ es la cifra de las decenas. Si el número es divisible por 4, ¿cuál de las siguientes opciones muestra todos los valores posibles de $d$?
Las últimas dos cifras forman el número $d2$. Evaluamos para qué dígitos $d$ el número $d2$ es divisible por 4: 12 (sí), 32 (sí), 52 (sí), 72 (sí), 92 (sí). Para dígitos pares (02, 22, 42, 62, 82) no es divisible por 4. Por lo tanto, los valores posibles son los dígitos impares: 1, 3, 5, 7, 9.
Respuesta: 1, 3, 5, 7, 9
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Un terreno rectangular tiene una superficie total de $5.672$ metros cuadrados. Si queremos dividirlo en parcelas de igual tamaño entero de metros cuadrados, ¿cuál de las siguientes superficies permite esta subdivisión sin que sobre terreno?
Evaluamos la divisibilidad de 5.672. Las últimas dos cifras son 72, que es divisible por 4 ($72 \div 4 = 18$). Por lo tanto, se puede dividir de manera exacta en parcelas de 4 metros cuadrados. La suma de las cifras es $5+6+7+2=20$ (no divisible por 3) y no termina en 0 o 5 (no divisible por 5 o 10).
Respuesta: 4 metros cuadrados