Criterio de divisibilidad por 4
Resumen inicial
Un número es divisible por 4 si sus dos últimas cifras forman un número múltiplo de 4 o son 00.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 4 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n$ es divisible por $4$ si el número formado por sus dos últimas cifras $a_1 a_0 = 10 a_1 + a_0$ es divisible por $4$.
$$10 a_1 + a_0 \equiv 0 \pmod 4$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '524'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 4 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: evaluar las dos últimas cifras.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 524 es divisible por 4 porque 24 es múltiplo de 4 ($24 = 4 \cdot 6$)..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: evaluar las dos últimas cifras.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Un número es divisible por 4 si termina en la cifra 4. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
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Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 524 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 4 analizando el bloque final del número.
Verificando que las dos últimas cifras formen un número múltiplo de 4 ($10d_1 + d_0 \in M(4)$ o $2d_1 + d_0 \in M(4)$) o terminen en doble cero '00'.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Por qué la divisibilidad por 4 de un número de muchas cifras depende solo de sus últimas dos cifras?
Un número $N$ se puede expresar como $A \cdot 100 + B$. Como 100 es divisible por 4, el término $A \cdot 100$ siempre lo es, por lo que la divisibilidad depende solo de las últimas dos cifras, representadas por $B$.
Respuesta: Porque 100 y todas sus potencias mayores son divisibles por 4
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¿Cuál es el criterio de divisibilidad por 4?
El criterio de divisibilidad por 4 se enfoca únicamente en las últimas dos cifras (unidades y decenas). Si este número es divisible por 4 o es '00', todo el número es divisible por 4.
Respuesta: Que el número formado por sus dos últimas cifras sea divisible por 4, o que termine en 00
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Si un número natural $N$ es divisible por 4, ¿qué se puede afirmar con seguridad sobre su divisibilidad por 2?
Como 4 es múltiplo de 2, todo número divisible por 4 también es divisible por 2. ($N = 4k = 2 \cdot (2k)$).
Respuesta: Siempre es divisible por 2
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de los siguientes números es divisible por 4?
Las últimas dos cifras de 1.416 son 16, que es divisible por 4 ($4 \cdot 4 = 16$). Para los otros, 18, 02 y 10 no son divisibles por 4.
Respuesta: 1.416
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número 75.300 es divisible por 4?
Las dos últimas cifras de 75.300 son 00. Según el criterio de divisibilidad, cualquier número que termina en 00 es divisible por 4.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número 9.834 es divisible por 4?
Las dos últimas cifras son 34. Al dividir $34 \div 4$ obtenemos 8 con resto 2. Como no es exacto, 9.834 no es divisible por 4.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que todo número par es divisible por 4?
Existen números pares que no son divisibles por 4, como el 6, el 10, el 14 o el 18. Para ser divisible por 4, debe ser divisible por 2 dos veces consecutivas.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Si $n$ es un número entero divisible por 4, ¿cuál de las siguientes expresiones representa siempre un número divisible por 4?
Como $n$ es divisible por 4, se puede escribir como $4k$. Entonces, $n + 8 = 4k + 8 = 4(k + 2)$, lo cual es siempre divisible por 4. Las otras opciones no garantizan la divisibilidad por 4 (por ejemplo, si $n=4$, $n+2=6$, $n/2=2$, $2n+2=10$).
Respuesta: $n + 8$
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Un número de cuatro cifras tiene la forma $3.5d2$, donde $d$ es la cifra de las decenas. Si el número es divisible por 4, ¿cuál de las siguientes opciones muestra todos los valores posibles de $d$?
Las últimas dos cifras forman el número $d2$. Evaluamos para qué dígitos $d$ el número $d2$ es divisible por 4: 12 (sí), 32 (sí), 52 (sí), 72 (sí), 92 (sí). Para dígitos pares (02, 22, 42, 62, 82) no es divisible por 4. Por lo tanto, los valores posibles son los dígitos impares: 1, 3, 5, 7, 9.
Respuesta: 1, 3, 5, 7, 9
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Un terreno rectangular tiene una superficie total de $5.672$ metros cuadrados. Si queremos dividirlo en parcelas de igual tamaño entero de metros cuadrados, ¿cuál de las siguientes superficies permite esta subdivisión sin que sobre terreno?
Evaluamos la divisibilidad de 5.672. Las últimas dos cifras son 72, que es divisible por 4 ($72 \div 4 = 18$). Por lo tanto, se puede dividir de manera exacta en parcelas de 4 metros cuadrados. La suma de las cifras es $5+6+7+2=20$ (no divisible por 3) y no termina en 0 o 5 (no divisible por 5 o 10).
Respuesta: 4 metros cuadrados