Criterio de divisibilidad por 3
Identificar si un número natural es divisible por 3 aplicando la suma de sus cifras.
Introducción
Imagina que tienes caramelos y quieres repartirlos en 3 bolsas idénticas sin que sobre
ninguno. ¿Cómo saber si puedes hacerlo con 156 caramelos sin tener que dividirlos uno
por uno?
Existe un truco sorprendente: si sumas las cifras individuales del número y el resultado
se puede dividir por 3 de forma exacta, ¡el número completo también se puede dividir por 3!
Por ejemplo, para 156 sumamos $1 + 5 + 6 = 12$. Como 12 está en la tabla del 3 ($3 \cdot 4 = 12$),
sabemos inmediatamente que sí podemos repartir los 156 caramelos en 3 grupos exactos.
Explicación
El criterio de divisibilidad por 3 establece que un número es divisible por 3 si la suma de
sus cifras es un múltiplo de 3.
Explicación matemática:
Cualquier número de tres cifras, por ejemplo $abc$, se puede escribir en forma desarrollada
utilizando potencias de 10:
$$N = 100a + 10b + c$$
Podemos reescribir $100$ como $99 + 1$ y $10$ como $9 + 1$:
$$N = (99 + 1)a + (9 + 1)b + c$$
$$N = 99a + a + 9b + b + c$$
$$N = (99a + 9b) + (a + b + c)$$
El término $(99a + 9b)$ es claramente divisible por 3, porque tanto $99$ como $9$ lo son.
Por lo tanto, para que todo el número $N$ sea divisible por 3, la suma restante
$(a + b + c)$ (que es la suma de las cifras) debe ser divisible por 3.
Este razonamiento es válido para números de cualquier cantidad de cifras.
Ejemplos:
- $228$: la suma de sus cifras es $2 + 2 + 8 = 12$, que es divisible por 3 ($3 \cdot 4 = 12$). Sí es divisible.
- $1.405$: la suma de sus cifras es $1 + 4 + 0 + 5 = 10$, que no es divisible por 3. No es divisible.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Sumar todos los dígitos que forman el número.
- Paso 2: Si el resultado es un número de varias cifras, se puede volver a sumar sus dígitos para simplificar.
- Paso 3: Verificar si el resultado final es un múltiplo de 3 (como 0, 3, 6 o 9). Si lo es, el número original es divisible por 3.
Ejemplos
1 Determina si el número 8.415 es divisible por 3.
- Sumamos las cifras de 8.415: $8 + 4 + 1 + 5 = 18$.
- Comprobamos si 18 es múltiplo de 3. Sí, ya que $3 \cdot 6 = 18$ (o sumando de nuevo: $1 + 8 = 9$).
- Conclusión: El número 8.415 es divisible por 3.
2 Determina si el número 704 es divisible por 3.
- Sumamos las cifras de 704: $7 + 0 + 4 = 11$.
- Comprobamos si 11 es múltiplo de 3. No, los múltiplos de 3 cercanos son 9 y 12.
- Conclusión: El número 704 no es divisible por 3.
3 ¿Es divisible por 3 el número 111.111?
- Sumamos las cifras del número: $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6$.
- Dado que 6 es divisible por 3 ($3 \cdot 2 = 6$), la suma cumple la propiedad.
- Conclusión: 111.111 es divisible por 3.
4 ¿Es divisible por 3 el número 253?
- Sumamos las cifras de 253: $2 + 5 + 3 = 10$.
- Como 10 no es divisible por 3 (al dividir por 3 sobra 1), la suma no cumple el criterio.
- Conclusión: 253 no es divisible por 3.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que un número es divisible por 3 solo porque termina en 3, 6 o 9 (por ejemplo, 13 no es divisible por 3)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que un número que contiene cifras que no son múltiplos de 3 no puede ser divisible por 3 (como 252, donde 2 y 5 no son divisibles por 3 pero el número sí lo es)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar mal los dígitos por hacer la operación demasiado rápido."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que se puede repetir la suma de cifras si el primer resultado sigue siendo grande (por ejemplo, de 9.999 pasar a 36 y luego a 9)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Confundir este criterio con el del 9 y pensar que si la suma es divisible por 3, también debe ser divisible por 9 obligatoriamente."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un número natural es divisible por 3 si y solo si la suma de todas sus cifras es un múltiplo de 3 (es decir, pertenece a la secuencia $0, 3, 6, 9, 12, 15, \ldots$). Este método simplifica la verificación reduciendo números grandes a sumas muy sencillas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si la suma de las cifras de un número $N$ es 18, ¿qué se puede concluir con certeza sobre $N$?
Dado que 18 es un múltiplo de 3 ($3 \cdot 6 = 18$), el número $N$ es divisible por 3 sin importar su valor o sus cifras individuales.
Respuesta: Es divisible por 3
-
Si un número natural $N$ es divisible por 9, ¿qué se puede concluir sobre su divisibilidad por 3?
Si $N$ es divisible por 9, entonces la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Como todo múltiplo de 9 también es múltiplo de 3 ($9k = 3 \cdot (3k)$), el número siempre será divisible por 3.
Respuesta: Siempre es divisible por 3
-
¿Qué condición debe cumplir un número natural para ser divisible por 3?
El criterio de divisibilidad por 3 exige que al sumar todas sus cifras se obtenga un múltiplo de 3. Terminar en 3, 6 o 9 no garantiza la divisibilidad (por ejemplo, 13 o 16 no son divisibles por 3).
Respuesta: La suma de sus cifras debe ser un múltiplo de 3
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
¿Cuál de los siguientes números es divisible por 3?
La suma de las cifras de 4.152 es $4+1+5+2 = 12$, que es múltiplo de 3. Para los otros: 209 ($2+0+9=11$), 8.104 ($8+1+0+4=13$) y 773 ($7+7+3=17$), ninguna suma es múltiplo de 3.
Respuesta: 4.152
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Es verdadero que el número 1.234.567 es divisible por 3?
La suma de las cifras es $1+2+3+4+5+6+7 = 28$. Como 28 no es divisible por 3 ($28 \div 3 = 9$ con resto 1), el número no es divisible por 3.
Respuesta: Falso
-
¿Es verdadero que el número 88.002 es divisible por 3?
La suma de las cifras es $8+8+0+0+2 = 18$. Como 18 es divisible por 3 ($18 \div 3 = 6$), el número es divisible por 3.
Respuesta: Verdadero
-
¿Es verdadero que si cambiamos el orden de las cifras de un número divisible por 3, el nuevo número sigue siendo divisible por 3?
La suma de las cifras no cambia al alterar el orden de los dígitos (la adición es conmutativa). Por tanto, la suma sigue siendo múltiplo de 3 y el número sigue siendo divisible por 3.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un número de tres cifras de la forma $4a5$ es divisible por 3. ¿Cuál es el menor valor posible para el dígito $a$?
La suma de las cifras de $4a5$ es $4 + a + 5 = 9 + a$. Para que sea divisible por 3, la suma $9+a$ debe ser múltiplo de 3. Si $a = 0$, la suma es 9, que es divisible por 3. Por lo tanto, el menor valor de $a$ es 0.
Respuesta: 0
-
Un profesor de matemáticas compra 120 lápices y quiere repartirlos equitativamente entre $k$ estudiantes sin que sobre ninguno. Si $k$ es un número entre 20 y 30, y es divisible por 3, ¿cuántos alumnos podrían recibir lápices si además se sabe que $k$ debe dividir exactamente a 120?
Los números entre 20 y 30 divisibles por 3 son 21, 24, 27. Evaluamos cuál de ellos divide exactamente a 120: $120 \div 21$ no es entero; $120 \div 27$ no es entero; $120 \div 24 = 5$ exacto. Por lo tanto, la cantidad de alumnos es 24.
Respuesta: 24
-
Sean $d_1, d_2, d_3$ tres dígitos consecutivos crecientes (por ejemplo 1, 2, 3). Si formamos el número de tres cifras $N = d_1d_2d_3$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera con respecto a $N$?
Como los dígitos son consecutivos crecientes, los podemos escribir como $x$, $x+1$, y $x+2$. La suma de las cifras de $N$ es $x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3 = 3(x+1)$, lo cual es siempre divisible por 3.
Respuesta: $N$ es siempre divisible por 3