Criterio de divisibilidad por 3
Resumen inicial
Un número es divisible por 3 si la suma de todos sus dígitos es un múltiplo de 3.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 3 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n = \sum_{i=0}^k a_i 10^i$ es divisible por $3$ si y solo si la suma de sus dígitos $S = \sum a_i$ es divisible por $3$.
$$n \equiv S \pmod 3 \quad \text{donde } S = a_k + a_{k-1} + \dots + a_0$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '471'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 3 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: sumar todos los dígitos.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 471 es divisible por 3 porque $4+7+1=12$, y 12 es múltiplo de 3..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: sumar todos los dígitos.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
-
Error 1: Un número es divisible por 3 si su última cifra es un 3. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
-
Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 471 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 3 en números naturales aplicando la regla de la suma digital.
Sumando todos los dígitos del número $\sum_{i=0}^k d_i$ y verificando que el resultado sea múltiplo de 3, reduciendo iterativamente hasta obtener una sola cifra.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Si la suma de las cifras de un número $N$ es 18, ¿qué se puede concluir con certeza sobre $N$?
Dado que 18 es un múltiplo de 3 ($3 \cdot 6 = 18$), el número $N$ es divisible por 3 sin importar su valor o sus cifras individuales.
Respuesta: Es divisible por 3
-
Si un número natural $N$ es divisible por 9, ¿qué se puede concluir sobre su divisibilidad por 3?
Si $N$ es divisible por 9, entonces la suma de sus cifras es múltiplo de 9. Como todo múltiplo de 9 también es múltiplo de 3 ($9k = 3 \cdot (3k)$), el número siempre será divisible por 3.
Respuesta: Siempre es divisible por 3
-
¿Qué condición debe cumplir un número natural para ser divisible por 3?
El criterio de divisibilidad por 3 exige que al sumar todas sus cifras se obtenga un múltiplo de 3. Terminar en 3, 6 o 9 no garantiza la divisibilidad (por ejemplo, 13 o 16 no son divisibles por 3).
Respuesta: La suma de sus cifras debe ser un múltiplo de 3
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
¿Cuál de los siguientes números es divisible por 3?
La suma de las cifras de 4.152 es $4+1+5+2 = 12$, que es múltiplo de 3. Para los otros: 209 ($2+0+9=11$), 8.104 ($8+1+0+4=13$) y 773 ($7+7+3=17$), ninguna suma es múltiplo de 3.
Respuesta: 4.152
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Es verdadero que el número 1.234.567 es divisible por 3?
La suma de las cifras es $1+2+3+4+5+6+7 = 28$. Como 28 no es divisible por 3 ($28 \div 3 = 9$ con resto 1), el número no es divisible por 3.
Respuesta: Falso
-
¿Es verdadero que el número 88.002 es divisible por 3?
La suma de las cifras es $8+8+0+0+2 = 18$. Como 18 es divisible por 3 ($18 \div 3 = 6$), el número es divisible por 3.
Respuesta: Verdadero
-
¿Es verdadero que si cambiamos el orden de las cifras de un número divisible por 3, el nuevo número sigue siendo divisible por 3?
La suma de las cifras no cambia al alterar el orden de los dígitos (la adición es conmutativa). Por tanto, la suma sigue siendo múltiplo de 3 y el número sigue siendo divisible por 3.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un número de tres cifras de la forma $4a5$ es divisible por 3. ¿Cuál es el menor valor posible para el dígito $a$?
La suma de las cifras de $4a5$ es $4 + a + 5 = 9 + a$. Para que sea divisible por 3, la suma $9+a$ debe ser múltiplo de 3. Si $a = 0$, la suma es 9, que es divisible por 3. Por lo tanto, el menor valor de $a$ es 0.
Respuesta: 0
-
Un profesor de matemáticas compra 120 lápices y quiere repartirlos equitativamente entre $k$ estudiantes sin que sobre ninguno. Si $k$ es un número entre 20 y 30, y es divisible por 3, ¿cuántos alumnos podrían recibir lápices si además se sabe que $k$ debe dividir exactamente a 120?
Los números entre 20 y 30 divisibles por 3 son 21, 24, 27. Evaluamos cuál de ellos divide exactamente a 120: $120 \div 21$ no es entero; $120 \div 27$ no es entero; $120 \div 24 = 5$ exacto. Por lo tanto, la cantidad de alumnos es 24.
Respuesta: 24
-
Sean $d_1, d_2, d_3$ tres dígitos consecutivos crecientes (por ejemplo 1, 2, 3). Si formamos el número de tres cifras $N = d_1d_2d_3$, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es siempre verdadera con respecto a $N$?
Como los dígitos son consecutivos crecientes, los podemos escribir como $x$, $x+1$, y $x+2$. La suma de las cifras de $N$ es $x + (x+1) + (x+2) = 3x + 3 = 3(x+1)$, lo cual es siempre divisible por 3.
Respuesta: $N$ es siempre divisible por 3