Criterio de divisibilidad por 25
Resumen inicial
Un número es divisible por 25 si sus dos últimas cifras son 00, 25, 50 o 75.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 25 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n$ es divisible por $25$ si las dos últimas cifras $a_1 a_0 \in \{00, 25, 50, 75\}$.
$$10 a_1 + a_0 \in \{0, 25, 50, 75\} \iff n \equiv 0 \pmod{25}$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '1.375'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 25 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: verificar las dos últimas cifras.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 1.375 es divisible por 25 porque sus dos últimas cifras son 75..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: verificar las dos últimas cifras.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Un número es divisible por 25 si termina en la cifra 5. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
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Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 1.375 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 25 inspeccionando las dos últimas cifras.
Verificando que las dos últimas cifras del número pertenezcan al conjunto finito de terminaciones divisibles $\{'00', '25', '50', '75'\}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuáles son las terminaciones de dos cifras que debe tener un número entero para ser divisible por $25$?
Un número es divisible por $25$ si sus dos últimas cifras son ceros ($00$) o forman un múltiplo de $25$, que son $25$, $50$ o $75$.
Respuesta: A) $00$, $25$, $50$ o $75$.
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Si un número es divisible por $25$, ¿por qué otro número es siempre divisible?
Dado que $25$ es un múltiplo de $5$ ($25 = 5 \cdot 5$), cualquier número divisible por $25$ también es divisible por $5$.
Respuesta: A) $5$
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Si un número termina en la cifra $5$, ¿podemos asegurar que es divisible por $25$?
Terminar en $5$ solo garantiza la divisibilidad por $5$. Para ser divisible por $25$, las dos últimas cifras deben ser específicamente $25$ o $75$ (dentro de las que terminan en 5).
Respuesta: A) No, porque solo es divisible por $25$ si termina en $25$ o $75$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al verificar la divisibilidad por $25$ del número $14,950$, ¿qué cifras debemos examinar?
El criterio de divisibilidad por $25$ indica que solo debemos analizar las últimas dos cifras del número, que en este caso son $50$.
Respuesta: A) Las dos últimas cifras ($50$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $3,075$ es divisible por $25$?
Las dos últimas cifras de $3,075$ son $75$. Como $75$ es un múltiplo de $25$ ($25 \cdot 3 = 75$), el número es divisible por $25$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $8,145$ es divisible por $25$?
Las dos últimas cifras de $8,145$ son $45$. Dado que $45$ no es $00$, $25$, $50$ ni $75$, el número no es divisible por $25$.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que si un número es divisible por $100$, entonces también es divisible por $25$?
Un número divisible por $100$ termina en $00$. Al terminar en $00$, cumple con el criterio de divisibilidad por $25$, lo que es lógico ya que $100 = 25 \cdot 4$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un comerciante compra sacos de arroz que pesan $25$ kg cada uno. Si el peso total de la compra en la factura borrosa figura como $1,8AB$ kg, y se sabe que la compra fue exacta, ¿cuál de las siguientes opciones puede representar el valor de las cifras $A$ y $B$ respectivamente?
Para que el peso total $1,8AB$ sea divisible por $25$, las últimas dos cifras $AB$ deben terminar en $00$, $25$, $50$ o $75$. Comparando con las opciones:
- A) $A=7, B=5$ da la terminación $75$ (correcto).
- B) $A=2, B=0$ da $20$ (incorrecto).
- C) $A=5, B=5$ da $55$ (incorrecto).
- D) $A=0, B=5$ da $05$ (incorrecto).Respuesta: A) $A=7$, $B=5$
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En un concurso matemático se pide encontrar un número de cuatro cifras de la forma $53XY$ que sea divisible por $3$ y por $25$ a la vez. ¿Cuál de las siguientes combinaciones de $X$ e $Y$ cumple con ambas condiciones?
Para ser divisible por $25$, el número $53XY$ debe terminar en $00$, $25$, $50$ o $75$. Además, para ser divisible por $3$, la suma de sus cifras $5 + 3 + X + Y = 8 + X + Y$ debe ser múltiplo de $3$:
- Si $X=2, Y=5$: la suma es $8+2+5=15$ (divisible por $3$).
- Si $X=7, Y=5$: suma $= 20$ (no).
- Si $X=5, Y=0$: suma $= 13$ (no).
- Si $X=0, Y=0$: suma $= 8$ (no).
Por lo tanto, la combinación correcta es $X=2, Y=5$.Respuesta: C) $X=2$, $Y=5$
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Un cajero automático solo entrega dinero en fajos que contienen $25$ billetes cada uno. Si una empresa solicita que le envíen $3,4X0$ billetes en total, ¿qué valor debe tomar la cifra $X$ para que el envío se pueda realizar en fajos completos sin que sobre ningún billete?
El número total de billetes es $3,4X0$. Para que se puedan agrupar en fajos exactos de $25$, el número debe ser divisible por $25$, por lo que sus dos últimas cifras $X0$ deben ser $00$ o $50$. De las opciones dadas, la única cifra que hace esto posible es $5$ (dando la terminación $50$) o $0$ (dando la terminación $00$, pero no figura en opciones).
Respuesta: A) $5$