Criterio de divisibilidad por 11
Aplicar el criterio de divisibilidad por 11 mediante la resta de sumas alternas de cifras en posiciones pares e impares.
Introducción
Imagínate que las cifras de un número están haciendo un juego de tira y afloja. Las cifras que están en las posiciones impares (la 1ª, la 3ª, la 5ª...) tiran para un lado y sumamos sus fuerzas. Las cifras en las posiciones pares (la 2ª, la 4ª, la 6ª...) tiran para el otro lado y también sumamos sus fuerzas.
Al final, restamos ambas fuerzas. Si el resultado es cero o un número que esté en la tabla del 11 (como 11, 22, 33...), entonces ¡todo el número es divisible por 11!
Este truco se llama el Criterio de Divisibilidad por 11 y es genial para descubrir múltiplos de 11 sin tener que dividir.
Explicación
El Criterio de Divisibilidad por 11 es una regla de alternancia de signos. Un número de la forma $N = d_k d_{k-1} ... d_1 d_0$ es divisible por 11 si y solo si la suma alternada de sus cifras es un múltiplo de 11.
Formalmente:
$$S = (d_0 + d_2 + d_4 + ...) - (d_1 + d_3 + d_5 + ...)$$
Si el valor absoluto de $S$ (es decir, sin importar el signo) es divisible por 11, entonces el número original $N$ es divisible por 11. Los múltiplos de 11 más comunes que pueden resultar de esta operación son $0$, $11$, $22$, etc.
¿Por qué funciona?
Esto se debe a las propiedades aritméticas de las potencias de 10 en módulo 11:
- $10^0 \equiv 1 \pmod{11}$
- $10^1 \equiv -1 \pmod{11}$
- $10^2 \equiv 1 \pmod{11}$
- $10^3 \equiv -1 \pmod{11}$
- Y en general, $10^n \equiv (-1)^n \pmod{11}$.
Por lo tanto, al expresar el número en su desarrollo decimal, cada cifra queda multiplicada por $1$ o $-1$ de forma alternada, lo que da origen a la regla.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Suma las cifras que ocupan las posiciones impares del número (1ª cifra, 3ª cifra, 5ª cifra, etc., contando de derecha a izquierda o de izquierda a derecha).
- Paso 2: Suma las cifras que ocupan las posiciones pares del número (2ª cifra, 4ª cifra, etc.).
- Paso 3: Resta el menor de los dos resultados obtenidos al mayor (o calcula la diferencia entre ambos).
- Paso 4: Si el resultado de la resta es 0 o un múltiplo de 11 (como 11, 22, 33...), el número es divisible por 11. En caso contrario, no lo es.
Ejemplos
1 Determina si el número $121$ es divisible por $11$.
- Paso a: Identificamos las posiciones de las cifras de derecha a izquierda: la 1ª cifra (impar) es $1$, la 2ª cifra (par) es $2$, y la 3ª cifra (impar) es $1$.
- Paso b: Sumamos las cifras en posiciones impares: $1 + 1 = 2$. La única cifra en posición par es $2$.
- Paso c: Restamos ambos valores: $2 - 2 = 0$. Como el resultado es $0$, el número $121$ es divisible por $11$.
2 Comprueba si el número $8,294$ es divisible por $11$.
- Paso a: Sumamos las cifras en posiciones impares (1ª y 3ª desde la derecha): $4 + 2 = 6$.
- Paso b: Sumamos las cifras en posiciones pares (2ª y 4ª desde la derecha): $9 + 8 = 17$.
- Paso c: Restamos el menor del mayor: $17 - 6 = 11$. Como $11$ es múltiplo de $11$, concluimos que $8,294$ es divisible por $11$.
3 ¿Es el número $3,185$ divisible por $11$?
- Sumamos las cifras en posiciones impares (5 y 1): $5 + 1 = 6$.
- Sumamos las cifras en posiciones pares (8 y 3): $8 + 3 = 11$.
- Restamos los resultados: $11 - 6 = 5$.
- Como $5$ no es $0$ ni múltiplo de $11$, el número $3,185$ no es divisible por $11$.
4 ¿Es el número $918,082$ divisible por $11$?
- Sumamos las cifras en posiciones impares contando desde la derecha ($2$, $0$, $1$): $2 + 0 + 1 = 3$.
- Sumamos las cifras en posiciones pares contando desde la derecha ($8$, $8$, $9$): $8 + 8 + 9 = 25$.
- Restamos la suma menor de la suma mayor: $25 - 3 = 22$.
- Como $22$ es múltiplo de $11$ ($11 \cdot 2 = 22$), el número $918,082$ es divisible por $11$.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir las posiciones pares e impares con el valor par o impar de las cifras (por ejemplo, sumar cifras que son números pares en lugar de cifras en posiciones pares)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Contar de manera desordenada las posiciones, mezclando cifras contiguas."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Realizar mal la resta final o confundirse con el signo (recordar que se puede tomar la diferencia positiva o el valor absoluto)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar que el 0 es un resultado válido que demuestra la divisibilidad por 11."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Pensar que este criterio solo sirve para números de tres o cuatro cifras; se puede aplicar a números de cualquier longitud."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El Criterio de Divisibilidad por 11 establece que un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras en posiciones impares y la suma de las cifras en posiciones pares (en valor absoluto) es 0 o un múltiplo de 11.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la regla principal del criterio de divisibilidad por $11$?
El criterio de divisibilidad por $11$ requiere sumar las cifras en posiciones impares por un lado, las de posiciones pares por otro, y restar ambas sumas. Si la diferencia es $0$ o un múltiplo de $11$, el número es divisible por $11$.
Respuesta: A) La diferencia entre la suma de las cifras en posiciones impares y pares debe ser $0$ o un múltiplo de $11$.
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Si al aplicar el criterio de divisibilidad por $11$ a un número obtenemos una diferencia de $22$, ¿qué podemos concluir?
Cualquier diferencia que sea un múltiplo de $11$ (positivo, negativo o cero, como $0, 11, 22$, etc.) indica que el número original es divisible por $11$.
Respuesta: A) Que el número es divisible por $11$, porque $22$ es un múltiplo de $11$.
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En un número de tres cifras de la forma $ABA$, ¿qué condición se debe cumplir para que sea divisible por $11$?
Para el número $ABA$, las cifras en posiciones impares son las dos $A$ (suma $= 2A$) y la cifra en posición par es $B$ (suma $= B$). La diferencia es $2A - B$. Si $2A = B$, la diferencia es $0$ y el número es divisible por $11$. También funciona si $2A - B$ es $11$.
Respuesta: A) Que la suma $A+A$ sea igual a $B$, o bien que la diferencia sea múltiplo de $11$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para aplicar el criterio por $11$ al número $1,353$, ¿cómo se agrupan las cifras en posiciones impares y pares (contando de derecha a izquierda)?
Contando de derecha a izquierda en $1,353$:
- 1ª cifra (impar) es $3$.
- 2ª cifra (par) es $5$.
- 3ª cifra (impar) es $3$.
- 4ª cifra (par) es $1$.
Así, las cifras impares son $\{3, 3\}$ y las pares son $\{5, 1\}$.Respuesta: A) Impares: $\{3, 3\}$; Pares: $\{5, 1\}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $1,452$ es divisible por $11$?
En $1,452$, sumamos las cifras en posiciones impares: $2 + 4 = 6$. Sumamos las cifras en posiciones pares: $5 + 1 = 6$. La diferencia es $6 - 6 = 0$. Como es $0$, el número es divisible por $11$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que cualquier número capicúa de cuatro cifras (de la forma $ABBA$) es divisible por $11$?
Para el número $ABBA$, las cifras en posiciones impares son $A$ y $B$ (suma $= A+B$), y en posiciones pares son $B$ y $A$ (suma $= B+A$). La diferencia de las sumas es $(A+B) - (B+A) = 0$. Al ser la diferencia $0$, siempre es divisible por $11$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $8,192$ es divisible por $11$?
En $8,192$, sumamos posiciones impares: $2 + 1 = 3$. Sumamos posiciones pares: $9 + 8 = 17$. La diferencia es $17 - 3 = 14$. Como $14$ no es múltiplo de $11$, el número no es divisible por $11$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un número de cuatro cifras tiene la forma $5A2B$. Si sabemos que es divisible por $10$ y también por $11$, ¿cuál es el valor de la cifra $A$?
Dado que el número $5A2B$ es divisible por $10$, su última cifra $B$ debe ser $0$. Así, el número es $5A20$.
Para que sea divisible por $11$, aplicamos el criterio:
- Suma de cifras en posiciones impares: $0 + A = A$.
- Suma de cifras en posiciones pares: $2 + 5 = 7$.
La diferencia es $7 - A$. Para que esta diferencia sea $0$, debemos tener $7 - A = 0 \Rightarrow A = 7$. Por lo tanto, $A=7$.Respuesta: A) $7$
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Un auditor fiscal analiza un número de cuenta de transferencia bancaria que tiene el formato $2X5,413$. Le informan que este número de 6 cifras es divisible por $11$. ¿Cuál es el valor de la cifra $X$?
En el número $2X5,413$:
- Suma de cifras en posiciones impares (desde la derecha): $3 + 4 + X = 7 + X$.
- Suma de cifras en posiciones pares (desde la derecha): $1 + 5 + 2 = 8$.
La diferencia es $(7 + X) - 8 = X - 1$. Para que la diferencia sea $0$, $X$ debe ser $1$. Si $X=1$, el número es $215,413$, el cual es divisible por $11$ ($215413 \div 11 = 19583$).Respuesta: A) $1$
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Un estudiante escribe un número de tres cifras $4Y3$. Si este número es divisible por $11$, ¿cuál es el valor de la cifra $Y$?
Para el número $4Y3$:
- Suma de cifras en posiciones impares: $3 + 4 = 7$.
- Suma de cifras en posiciones pares: $Y$.
La diferencia es $7 - Y$. Para que sea divisible por $11$, como $Y$ es una cifra entre $0$ y $9$, la única posibilidad es que la diferencia sea $0$. Por lo tanto, $7 - Y = 0 \Rightarrow Y = 7$. El número es $473$.Respuesta: A) $7$