Criterio de divisibilidad por 11
Resumen inicial
Un número es divisible por 11 si la diferencia entre la suma de las cifras de posición par e impar es 0 o un múltiplo de 11.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 11 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n$ es divisible por $11$ si y solo si la suma alterna de sus dígitos $S_a = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots$ es divisible por $11$.
$$S_a = \sum_{i=0}^k (-1)^i a_i \equiv 0 \pmod{11}$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '2.816'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 11 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: calcular la suma alterna de cifras.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 2.816 es divisible por 11 porque $(6 + 8) - (1 + 2) = 14 - 3 = 11$, y 11 es múltiplo de 11..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: calcular la suma alterna de cifras.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Un número es divisible por 11 si sus dos últimas cifras son 11. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
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Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 2.816 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 11 mediante el algoritmo de suma con signos alternados.
Calculando la diferencia entre la suma de cifras de posición impar y la suma de cifras de posición par (desde la derecha) y verificando que el resultado sea 0 o múltiplo de 11.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es la regla principal del criterio de divisibilidad por $11$?
El criterio de divisibilidad por $11$ requiere sumar las cifras en posiciones impares por un lado, las de posiciones pares por otro, y restar ambas sumas. Si la diferencia es $0$ o un múltiplo de $11$, el número es divisible por $11$.
Respuesta: A) La diferencia entre la suma de las cifras en posiciones impares y pares debe ser $0$ o un múltiplo de $11$.
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Si al aplicar el criterio de divisibilidad por $11$ a un número obtenemos una diferencia de $22$, ¿qué podemos concluir?
Cualquier diferencia que sea un múltiplo de $11$ (positivo, negativo o cero, como $0, 11, 22$, etc.) indica que el número original es divisible por $11$.
Respuesta: A) Que el número es divisible por $11$, porque $22$ es un múltiplo de $11$.
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En un número de tres cifras de la forma $ABA$, ¿qué condición se debe cumplir para que sea divisible por $11$?
Para el número $ABA$, las cifras en posiciones impares son las dos $A$ (suma $= 2A$) y la cifra en posición par es $B$ (suma $= B$). La diferencia es $2A - B$. Si $2A = B$, la diferencia es $0$ y el número es divisible por $11$. También funciona si $2A - B$ es $11$.
Respuesta: A) Que la suma $A+A$ sea igual a $B$, o bien que la diferencia sea múltiplo de $11$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para aplicar el criterio por $11$ al número $1,353$, ¿cómo se agrupan las cifras en posiciones impares y pares (contando de derecha a izquierda)?
Contando de derecha a izquierda en $1,353$:
- 1ª cifra (impar) es $3$.
- 2ª cifra (par) es $5$.
- 3ª cifra (impar) es $3$.
- 4ª cifra (par) es $1$.
Así, las cifras impares son $\{3, 3\}$ y las pares son $\{5, 1\}$.Respuesta: A) Impares: $\{3, 3\}$; Pares: $\{5, 1\}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $1,452$ es divisible por $11$?
En $1,452$, sumamos las cifras en posiciones impares: $2 + 4 = 6$. Sumamos las cifras en posiciones pares: $5 + 1 = 6$. La diferencia es $6 - 6 = 0$. Como es $0$, el número es divisible por $11$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que cualquier número capicúa de cuatro cifras (de la forma $ABBA$) es divisible por $11$?
Para el número $ABBA$, las cifras en posiciones impares son $A$ y $B$ (suma $= A+B$), y en posiciones pares son $B$ y $A$ (suma $= B+A$). La diferencia de las sumas es $(A+B) - (B+A) = 0$. Al ser la diferencia $0$, siempre es divisible por $11$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $8,192$ es divisible por $11$?
En $8,192$, sumamos posiciones impares: $2 + 1 = 3$. Sumamos posiciones pares: $9 + 8 = 17$. La diferencia es $17 - 3 = 14$. Como $14$ no es múltiplo de $11$, el número no es divisible por $11$.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un número de cuatro cifras tiene la forma $5A2B$. Si sabemos que es divisible por $10$ y también por $11$, ¿cuál es el valor de la cifra $A$?
Dado que el número $5A2B$ es divisible por $10$, su última cifra $B$ debe ser $0$. Así, el número es $5A20$.
Para que sea divisible por $11$, aplicamos el criterio:
- Suma de cifras en posiciones impares: $0 + A = A$.
- Suma de cifras en posiciones pares: $2 + 5 = 7$.
La diferencia es $7 - A$. Para que esta diferencia sea $0$, debemos tener $7 - A = 0 \Rightarrow A = 7$. Por lo tanto, $A=7$.Respuesta: A) $7$
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Un auditor fiscal analiza un número de cuenta de transferencia bancaria que tiene el formato $2X5,413$. Le informan que este número de 6 cifras es divisible por $11$. ¿Cuál es el valor de la cifra $X$?
En el número $2X5,413$:
- Suma de cifras en posiciones impares (desde la derecha): $3 + 4 + X = 7 + X$.
- Suma de cifras en posiciones pares (desde la derecha): $1 + 5 + 2 = 8$.
La diferencia es $(7 + X) - 8 = X - 1$. Para que la diferencia sea $0$, $X$ debe ser $1$. Si $X=1$, el número es $215,413$, el cual es divisible por $11$ ($215413 \div 11 = 19583$).Respuesta: A) $1$
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Un estudiante escribe un número de tres cifras $4Y3$. Si este número es divisible por $11$, ¿cuál es el valor de la cifra $Y$?
Para el número $4Y3$:
- Suma de cifras en posiciones impares: $3 + 4 = 7$.
- Suma de cifras en posiciones pares: $Y$.
La diferencia es $7 - Y$. Para que sea divisible por $11$, como $Y$ es una cifra entre $0$ y $9$, la única posibilidad es que la diferencia sea $0$. Por lo tanto, $7 - Y = 0 \Rightarrow Y = 7$. El número es $473$.Respuesta: A) $7$