Criterio de divisibilidad por 10
Resumen inicial
Un número es divisible por 10 si su última cifra es exactamente 0.
Explicación en palabras simples
El criterio de divisibilidad por 10 nos permite determinar rápidamente si un número entero se puede dividir exactamente por dicho valor sin necesidad de realizar la división larga completa. Aplicamos una regla sobre las cifras del número.
Explicación formal
Un entero $n$ es divisible por $10$ si y solo si su dígito de las unidades $a_0 = 0$.
$$a_0 = 0 \iff n \equiv 0 \pmod{10}$$
Complemento didáctico: Los criterios de divisibilidad son simplificaciones algebraicas basadas en la aritmética modular sobre las potencias de 10.
La alternativa correcta es '1.450'.
Definiciones clave
- Criterio de divisibilidad: Regla rápida sobre las cifras de un número para verificar si la división es exacta.
Propiedades y relaciones importantes
- Aritmética modular: Simplificación de cálculos al trabajar con residuos de potencias de 10.
Ejemplo guiado
Aplique el criterio de divisibilidad por 10 para verificar si la cifra dada cumple la condición.
- Paso 1: Identificar el procedimiento del criterio: verificar que termine en 0.
- Paso 2: Aplicar la prueba: 1.450 es divisible por 10 porque su última cifra es 0..
- Conclusión: El número cumple el criterio de divisibilidad.
La alternativa correcta es 'Determinar la divisibilidad exacta sin necesidad de hacer la división larga'.
Procedimiento
- Paso 1: Aplicar la regla específica del criterio: verificar que termine en 0.
- Paso 2: Evaluar el resultado simplificado obtenido.
- Paso 3: Concluir que el número es divisible si el resultado simplificado cumple la norma.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Un número es divisible por 10 si la suma de sus dígitos es 10. Cómo corregirlo: Aplicar estrictamente la regla del criterio sobre las cifras especificadas en la definición formal.
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Error 2: Confundir los criterios de distintos números. Cómo corregirlo: Memorizar la regla específica de cada divisor.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Aplicando el criterio se verifica que 1.450 cumple la propiedad.
- Se aplica el criterio para corroborar la validez de la proposición.
- Sí, los criterios simplifican el proceso de verificación de divisibilidad.
- No, el criterio del 2 evalúa únicamente la última cifra par, no la suma de dígitos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Evaluar la divisibilidad por 10 y potencias de diez en el sistema decimal posicional.
Verificando que la cifra de las unidades sea cero ($u = 0$) para divisibilidad por 10, y generalizando a $k$ ceros finales para divisibilidad por $10^k$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes condiciones es necesaria y suficiente para que un número entero sea divisible por $10$?
Un número entero es divisible por $10$ si y solo si su última cifra es $0$.
Respuesta: A) Su última cifra debe ser $0$.
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Si un número es divisible por $10$, ¿por qué otros dos números es siempre divisible?
Dado que $10 = 2 \cdot 5$, cualquier número que sea divisible por $10$ es obligatoriamente divisible por sus factores primos, es decir, por $2$ y por $5$.
Respuesta: A) Por $2$ y por $5$.
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Si un número entero no termina en $0$, ¿qué ocurre al dividirlo por $10$?
Al dividir un número entero por $10$, la cifra de las unidades representa el residuo de la división. Por ejemplo, $257 \div 10 = 25$ con resto $7$.
Respuesta: A) La división no es exacta y el residuo es igual a su última cifra.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para determinar si el número $982,340$ es divisible por $10$, ¿en cuál de las siguientes cifras debemos fijar nuestra atención?
El criterio de divisibilidad por $10$ se basa únicamente en observar la cifra de las unidades (la última cifra), que en este caso es $0$.
Respuesta: A) La última cifra ($0$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el número $785$ es divisible por $10$?
La última cifra de $785$ es $5$. Como no termina en $0$, no es divisible por $10$ (es divisible por $5$, pero no por $10$).
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que si un número es divisible por $2$ y por $5$ simultáneamente, entonces es divisible por $10$?
Como $2$ y $5$ son primos relativos y su producto es $10$, cualquier número divisible por ambos es también divisible por $10$.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que el número $3,000$ es divisible por $10$?
El número $3,000$ termina en $0$, por lo tanto, es divisible por $10$ ($3000 \div 10 = 300$).
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Se tiene un número de tres cifras $3AB$. Se sabe que es divisible por $9$ y por $10$. ¿Cuáles son los valores de $A$ y $B$?
Como el número $3AB$ es divisible por $10$, su última cifra $B$ debe ser $0$. El número queda como $3A0$. Además, es divisible por $9$, lo que significa que la suma de sus cifras $3 + A + 0 = 3 + A$ debe ser un múltiplo de $9$. Para que $3+A=9$ (con $A$ entre $0$ y $9$), $A$ debe ser $6$. Por lo tanto, $A=6$ y $B=0$.
Respuesta: A) $A=6$, $B=0$
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En una tómbola hay tarjetas numeradas del $1$ al $150$. ¿Cuántas de estas tarjetas tienen un número divisible por $10$?
Los números divisibles por $10$ en el rango del $1$ al $150$ son aquellos que terminan en $0$, es decir: $10, 20, 30, ..., 150$. Para saber cuántos son, dividimos el límite superior por $10$: $150 \div 10 = 15$. Hay exactamente $15$ números.
Respuesta: A) $15$
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Un agricultor recolecta manzanas y desea empacarlas en cajas de $10$ unidades cada una. Si el número total de manzanas es $45X$ (donde $X$ es la última cifra), ¿cuál debe ser el valor de $X$ para que no quede ninguna manzana suelta?
Para que el total de manzanas $45X$ se pueda empacar en cajas de $10$ sin que sobre ninguna, el número de manzanas debe ser divisible por $10$. Esto exige que la última cifra $X$ sea obligatoriamente $0$.
Respuesta: A) $0$