Concepto de múltiplo de un número natural
Identificar qué es un múltiplo de un número natural y verificar si un número dado es múltiplo de otro.
Introducción
Imagina que estás acomodando naranjas en cajas donde caben exactamente 6.
La primera caja tiene 6, la segunda 12, la tercera 18... Todos esos números
(6, 12, 18, 24, 30...) son múltiplos de 6: puedes llenar cajas completas sin
que sobre ni una naranja.
Un múltiplo de un número es el resultado de multiplicarlo por 0, 1, 2, 3 y así
sucesivamente. Los múltiplos de 6 serían: 0, 6, 12, 18, 24... y la lista nunca
termina. Si te preguntan "¿es 48 múltiplo de 6?", solo tienes que preguntarte:
¿puedo llenar cajas de 6 exactas con 48 naranjas? Sí: $48 \div 6 = 8$ exacto.
Explicación
Dado un número natural $a$, se dice que $b$ es múltiplo de $a$ si existe un número
natural $k$ (incluyendo el cero) tal que:
$$b = a \cdot k$$
El conjunto de todos los múltiplos de $a$ se denota $M(a)$ y es infinito:
$$M(a) = \{0,\; a,\; 2a,\; 3a,\; 4a,\; \ldots\}$$
Propiedades clave:
- El cero es múltiplo de cualquier número natural: $a \cdot 0 = 0$.
- Todo número es múltiplo de sí mismo: $a \cdot 1 = a$.
- Todo número es múltiplo de 1: $1 \cdot b = b$.
- Los múltiplos están igualmente espaciados en la recta numérica (cada $a$ unidades).
- El conjunto $M(a)$ es infinito: no existe un múltiplo máximo.
Para verificar si $b$ es múltiplo de $a$, se divide $b \div a$ y se comprueba que el
resto sea 0. Si $b \div a = k$ exacto, entonces $b = a \cdot k$, confirmando que $b \in M(a)$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Dividir $b \div a$ y observar el resto.
- Paso 2: Si el resto es 0, existe $k$ tal que $b = a \cdot k$: $b$ es múltiplo de $a$.
- Paso 3: Si el resto es distinto de 0, $b$ no es múltiplo de $a$.
Ejemplos
1 Determina si 56 es múltiplo de 8.
- Se divide: $56 \div 8 = 7$ con resto $0$.
- El cociente es exacto, luego existe $k = 7$ tal que $56 = 8 \cdot 7$.
- Conclusión: 56 sí es múltiplo de 8.
2 Determina si 45 es múltiplo de 6.
- Se divide: $45 \div 6 = 7$ con resto $3$ (ya que $6 \cdot 7 = 42$ y $45 - 42 = 3$).
- El resto es $3 \neq 0$, así que no existe $k$ natural con $45 = 6 \cdot k$.
- Conclusión: 45 no es múltiplo de 6.
3 ¿Es 0 múltiplo de 7?
- Se busca $k$ tal que $0 = 7 \cdot k$.
- Tomando $k = 0$: $7 \cdot 0 = 0$. La igualdad se cumple.
- El 0 es múltiplo de 7 (y de cualquier número natural).
4 ¿El conjunto de múltiplos de un número natural tiene un valor máximo?
- Los múltiplos de $a$ son $0, a, 2a, 3a, \ldots$: la secuencia no tiene fin.
- Para cualquier múltiplo $a \cdot k$ que se elija, siempre existe uno mayor: $a \cdot (k+1)$.
- El conjunto $M(a)$ es infinito y no tiene elemento máximo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Un múltiplo de $n$ siempre es mayor que $n$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El número 0 no es múltiplo de ningún número natural."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $b$ es múltiplo de $a$, entonces $a$ también es múltiplo de $b$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Los múltiplos de un número impar siempre son impares."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El conjunto de múltiplos de cualquier número natural es finito."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un número $b$ es múltiplo de $a$ cuando existe un número natural $k$ tal que $b = a \cdot k$. Para verificar si $b$ es múltiplo de $a$, divide $b \div a$: si el cociente es exacto (resto = 0), entonces $b$ es múltiplo de $a$. El 0 siempre es múltiplo de cualquier número.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de los siguientes es un múltiplo de 7?
$56 = 7 \cdot 8$, por lo que 56 es múltiplo de 7. Los demás: $50 \div 7 = 7$ r$1$; $60 \div 7 = 8$ r$4$; $65 \div 7 = 9$ r$2$.
Respuesta: 56
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¿Cuál de las siguientes afirmaciones describe correctamente qué es un múltiplo de $n$?
Un múltiplo de $n$ se define como $n \cdot k$ para algún $k \in \mathbb{N}_0$. Las demás opciones describen divisores, o simplemente son incorrectas.
Respuesta: Es cualquier número obtenido al multiplicar $n$ por un número natural (incluido el 0)
-
¿Cuál de estas propiedades tienen los múltiplos de un número natural $n$?
$M(n) = \{0, n, 2n, 3n, \ldots\}$ es infinito. El 0 sí pertenece (es $n \cdot 0$), y el menor múltiplo positivo es $n$ mismo (no mayor que $n$).
Respuesta: El conjunto de múltiplos de $n$ es infinito
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El número 0 es múltiplo de 5 porque:
Por definición, $b$ es múltiplo de $a$ si existe $k$ natural con $b = a \cdot k$. Con $k = 0$: $5 \cdot 0 = 0$. Por lo tanto, 0 es múltiplo de 5.
Respuesta: $0 = 5 \cdot 0$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que 84 es múltiplo de 12?
$84 \div 12 = 7$ con resto 0, ya que $12 \cdot 7 = 84$. Por lo tanto, 84 sí es múltiplo de 12.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que todo número natural es múltiplo de 1?
Para cualquier número natural $n$, se tiene $n = 1 \cdot n$. Por lo tanto, todo número natural es múltiplo de 1.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que 50 es múltiplo de 8?
$50 \div 8 = 6$ con resto $2$ (ya que $8 \cdot 6 = 48$ y $50 - 48 = 2$). Como el resto es distinto de 0, 50 no es múltiplo de 8.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una fábrica se empacan tornillos en bolsas de 9 unidades. Si se producen 1000 tornillos en un día, ¿cuántos tornillos sobrarán sin poder ser empacados?
Se calcula $1000 \div 9 = 111$ con resto $1$ (ya que $9 \cdot 111 = 999$). El múltiplo de 9 más cercano a 1000 es 999, y sobran $1000 - 999 = 1$ tornillo.
Respuesta: 1
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¿Cuántos múltiplos de 6 hay entre 1 y 100?
$\lfloor 100 \div 6 \rfloor = 16$ (ya que $6 \cdot 16 = 96$ y $6 \cdot 17 = 102 > 100$). Los múltiplos van de 6 a 96, y hay exactamente 16.
Respuesta: 16
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Un número natural $n$ es múltiplo de 4 y de 6 simultáneamente. ¿Cuál es el menor valor positivo posible de $n$?
Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16... Los múltiplos de 6 son 6, 12, 18... El menor múltiplo común es 12: $12 = 4 \cdot 3 = 6 \cdot 2$.
Respuesta: 12