Concepto de divisor de un número natural
Resumen inicial
Un entero $d$ es divisor de $n$ ($d \mid n$) si la división $n : d$ es exacta sin residuo.
Explicación en palabras simples
Un número es divisor de otro cuando cabe en él una cantidad exacta de veces sin que sobre nada. Decimos que 3 es divisor de 12 porque podemos repartir 12 objetos en grupos de 3 de forma perfecta, sin que quede ningún elemento suelto.
Explicación formal
Dados dos enteros $d, n \in \mathbb{Z}$ con $d \neq 0$, se dice que $d$ es Divisor de $n$ (denotado por $d \mid n$) si existe un entero $k \in \mathbb{Z}$ tal que:
$$n = d \cdot k \quad \iff \quad n \equiv 0 \pmod d$$
Desglose de la fórmula:
- $d \mid n$: Notación de divisibilidad ' $d$ divide a $n$ '.
- $k \in \mathbb{Z}$: Cociente entero de la división exacta $n : d = k$.
- $n \equiv 0 \pmod d$: Residuo cero en el algoritmo de la división.
Complemento didáctico: El 1 es divisor de todos los números enteros ($1 \mid n$), y todo número entero $n \neq 0$ es divisor de sí mismo ($n \mid n$).
La alternativa correcta es 'Que d divide exactamente a n sin dejar residuo'.
Definiciones clave
- Divisor de un número: Entero $d$ que divide exactamente a $n$ dejando residuo cero.
- Notación de divisibilidad ($d \mid n$): Símbolo vertical que indica que $d$ divide a $n$.
Propiedades y relaciones importantes
- Finitud del conjunto: El conjunto de divisores de un entero no nulo es siempre finito y acotado por $[-|n|, |n|]$.
Ejemplo guiado
Verifique si el número $6$ es divisor del entero $24$ aplicando la condición de división exacta.
- Paso 1: Realizar la división $24 : 6 = 4$.
- Paso 2: Comprobar el residuo: el cociente es $4$ entero exacto y el residuo es $0$.
- Conclusión: Como el residuo es $0$, $6$ es un divisor de $24$ ($6 \mid 24$).
La alternativa correcta es 'Porque 24 : 6 = 4 es una división exacta con residuo cero'.
Procedimiento
- Paso 1: Dividir el entero $n$ entre el supuesto divisor $d$.
- Paso 2: Comprobar si el residuo de la división es estrictamente cero.
- Paso 3: Concluir que $d$ es divisor de $n$ si la división es exacta.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Afirmar que el cero es divisor de los números. Cómo corregirlo: La división por cero no está definida; el cero NUNCA puede ser divisor.
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Error 2: Pensar que los divisores de un número son infinitos. Cómo corregirlo: Los divisores son acotados y finitos (ej: divisores de 12 son solo {1, 2, 3, 4, 6, 12}).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $20 : 3 = 6$ con residuo 2 (no exacta), por ende 3 no es divisor de 20.
- Todo número entero mayor que 1 es divisible al menos por 1 y por sí mismo.
- Sí, $n : 1 = n$ exactamente.
- No, la división por cero no está definida.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Identificar y verificar formalmente los divisores (factores) de un número natural.
Comprobando que la relación $d \mid a$ se satisface mediante división exacta $a = d \cdot c$ con $c \in \mathbb{N}$ y $a \bmod d = 0$, acotando los divisores en $1 \le d \le a$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué condición debe cumplir $a$ para ser divisor de $b$?
Por definición, $a \mid b$ cuando existe $k$ natural con $b = a \cdot k$, equivalente a que $b \div a$ tiene resto 0. Las demás condiciones no tienen relación con la divisibilidad.
Respuesta: Que $b \div a$ sea una división exacta (resto = 0)
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¿Cuál de los siguientes es un divisor de 36?
$36 \div 9 = 4$ exacto ($9 \cdot 4 = 36$), así que 9 es divisor de 36. Los demás: $36 \div 8 = 4$ r$4$; $36 \div 7 = 5$ r$1$; $36 \div 11 = 3$ r$3$.
Respuesta: 9
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¿Cuál de estas afirmaciones sobre los divisores de un número natural $n$ es correcta?
Siempre $1 \mid n$ (pues $n = 1 \cdot n$) y $n \mid n$ (pues $n = n \cdot 1$). El mayor divisor de $n$ es $n$ mismo, no $n/2$. El conjunto de divisores es finito. El 0 no puede ser divisor (no se divide por 0).
Respuesta: Todo número natural tiene al menos dos divisores: 1 y $n$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuántos divisores tiene el número 12?
$D(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$: seis divisores. Se verifica: $12 \div 1 = 12$; $12 \div 2 = 6$; $12 \div 3 = 4$; $12 \div 4 = 3$; $12 \div 6 = 2$; $12 \div 12 = 1$.
Respuesta: 6
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que todo número natural es divisor de sí mismo?
Para cualquier $n$ natural, $n \div n = 1$ exacto (ya que $n = n \cdot 1$). Por lo tanto, todo número es divisor de sí mismo.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que 7 es divisor de 63?
$63 \div 7 = 9$ con resto 0 (ya que $7 \cdot 9 = 63$). Por lo tanto, 7 sí es divisor de 63.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que 8 es divisor de 100?
$100 \div 8 = 12$ con resto $4$ (ya que $8 \cdot 12 = 96$ y $100 - 96 = 4$). Como el resto es distinto de 0, 8 no es divisor de 100.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una cuerda de 48 m se quiere cortar en trozos iguales, sin que sobre nada. ¿Cuántas opciones distintas de longitud de trozo (en metros enteros) existen?
Las longitudes posibles son los divisores de 48: $D(48) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}$. Hay exactamente 10 divisores, así que hay 10 opciones distintas.
Respuesta: 10
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Un número natural $n$ tiene exactamente 4 divisores. ¿Cuál de los siguientes podría ser $n$?
$D(9)=\{1,3,9\}$ (3 divisores); $D(15)=\{1,3,5,15\}$ (4 divisores); $D(16)=\{1,2,4,8,16\}$ (5 divisores); $D(25)=\{1,5,25\}$ (3 divisores). Solo 15 tiene exactamente 4.
Respuesta: 15
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Si $a$ es divisor de 30 y también es divisor de 45, ¿cuál es el mayor valor posible de $a$?
$D(30) = \{1,2,3,5,6,10,15,30\}$ y $D(45) = \{1,3,5,9,15,45\}$. Los divisores comunes son $\{1, 3, 5, 15\}$. El mayor es 15.
Respuesta: 15