Concepto de divisor de un número natural
Identificar qué es un divisor de un número natural y verificar si un número dado es divisor de otro.
Introducción
¿Alguna vez has repartido dulces entre amigos intentando que a todos les toque
la misma cantidad y no sobre ninguno? Si tienes 12 dulces y los repartes entre
3 amigos, a cada uno le tocan 4 exactos. Eso significa que 3 es divisor de 12.
Un divisor de un número es cualquier número natural que lo divide exactamente,
sin dejar nada sobrando. El 12 tiene varios divisores: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
A diferencia de los múltiplos (que son infinitos), los divisores de un número
siempre son finitos — hay una cantidad limitada de formas de repartir exacto.
Explicación
Se dice que $a$ es divisor de $b$ (o que $a$ divide a $b$, notación $a \mid b$) cuando
existe un número natural $k$ tal que:
$$b = a \cdot k \quad \Longleftrightarrow \quad b \div a \text{ es exacto (resto} = 0\text{)}$$
El conjunto de todos los divisores de $b$ se denota $D(b)$, por ejemplo:
$$D(12) = \{1,\; 2,\; 3,\; 4,\; 6,\; 12\}$$
Propiedades fundamentales:
- 1 es divisor de todo número natural: $b = 1 \cdot b$.
- Todo número es divisor de sí mismo: $b = b \cdot 1$.
- Todo divisor de $b$ es menor o igual que $b$: si $a \mid b$, entonces $a \leq b$.
- El conjunto $D(b)$ es finito: a diferencia de los múltiplos, los divisores son limitados.
- Si $a \mid b$, el número $b/a$ también es divisor de $b$ (divisores complementarios).
El número de divisores de $b$ depende de su estructura de factores primos. Los números
primos tienen exactamente 2 divisores: 1 y el propio número.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Dividir $b \div a$ y calcular el resto.
- Paso 2: Si el resto es 0, entonces $a$ es divisor de $b$ ($a \mid b$).
- Paso 3: Si el resto es distinto de 0, $a$ no divide a $b$ ($a \nmid b$).
Ejemplos
1 Determina si 9 es divisor de 72.
- Se calcula $72 \div 9 = 8$ con resto $0$.
- El cociente es exacto y $72 = 9 \cdot 8$.
- Conclusión: 9 sí es divisor de 72, es decir, $9 \mid 72$.
2 Determina si 8 es divisor de 50.
- Se calcula $50 \div 8 = 6$ con resto $2$ (ya que $8 \cdot 6 = 48$ y $50 - 48 = 2$).
- El resto es $2 \neq 0$.
- Conclusión: 8 no es divisor de 50, es decir, $8 \nmid 50$.
3 ¿El número 1 es divisor de todo número natural?
- Para cualquier $b$ natural, se cumple $b = 1 \cdot b$.
- Esto significa que $b \div 1 = b$ con resto 0.
- Por lo tanto, 1 divide a cualquier número natural.
4 ¿Si $a$ divide a $b$, entonces $b$ también divide a $a$?
- Contraejemplo: $3 \mid 12$ porque $12 = 3 \cdot 4$. Pero $12 \nmid 3$ porque $3 < 12$.
- En general, si $a < b$ y $a \mid b$, entonces $b$ no puede dividir a $a$.
- La divisibilidad no es una relación simétrica en general.
Ejemplos Verdadero/Falso
"El mayor divisor de $n$ (distinto de $n$) es siempre $n/2$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Si $a$ divide a $b$ y $b$ divide a $c$, entonces $a$ no divide a $c$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"El número 0 es divisor de cualquier número natural."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Un número primo tiene exactamente un divisor."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Todos los divisores de un número son siempre menores que ese número."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Un número $a$ es divisor de $b$ cuando $b \div a$ da cociente exacto (resto = 0). Equivalentemente, existe $k$ natural tal que $b = a \cdot k$. Todo número natural tiene al menos dos divisores: el 1 y el propio número.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué condición debe cumplir $a$ para ser divisor de $b$?
Por definición, $a \mid b$ cuando existe $k$ natural con $b = a \cdot k$, equivalente a que $b \div a$ tiene resto 0. Las demás condiciones no tienen relación con la divisibilidad.
Respuesta: Que $b \div a$ sea una división exacta (resto = 0)
-
¿Cuál de los siguientes es un divisor de 36?
$36 \div 9 = 4$ exacto ($9 \cdot 4 = 36$), así que 9 es divisor de 36. Los demás: $36 \div 8 = 4$ r$4$; $36 \div 7 = 5$ r$1$; $36 \div 11 = 3$ r$3$.
Respuesta: 9
-
¿Cuál de estas afirmaciones sobre los divisores de un número natural $n$ es correcta?
Siempre $1 \mid n$ (pues $n = 1 \cdot n$) y $n \mid n$ (pues $n = n \cdot 1$). El mayor divisor de $n$ es $n$ mismo, no $n/2$. El conjunto de divisores es finito. El 0 no puede ser divisor (no se divide por 0).
Respuesta: Todo número natural tiene al menos dos divisores: 1 y $n$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuántos divisores tiene el número 12?
$D(12) = \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$: seis divisores. Se verifica: $12 \div 1 = 12$; $12 \div 2 = 6$; $12 \div 3 = 4$; $12 \div 4 = 3$; $12 \div 6 = 2$; $12 \div 12 = 1$.
Respuesta: 6
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Es verdadero que todo número natural es divisor de sí mismo?
Para cualquier $n$ natural, $n \div n = 1$ exacto (ya que $n = n \cdot 1$). Por lo tanto, todo número es divisor de sí mismo.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que 7 es divisor de 63?
$63 \div 7 = 9$ con resto 0 (ya que $7 \cdot 9 = 63$). Por lo tanto, 7 sí es divisor de 63.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que 8 es divisor de 100?
$100 \div 8 = 12$ con resto $4$ (ya que $8 \cdot 12 = 96$ y $100 - 96 = 4$). Como el resto es distinto de 0, 8 no es divisor de 100.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Una cuerda de 48 m se quiere cortar en trozos iguales, sin que sobre nada. ¿Cuántas opciones distintas de longitud de trozo (en metros enteros) existen?
Las longitudes posibles son los divisores de 48: $D(48) = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\}$. Hay exactamente 10 divisores, así que hay 10 opciones distintas.
Respuesta: 10
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Si $a$ es divisor de 30 y también es divisor de 45, ¿cuál es el mayor valor posible de $a$?
$D(30) = \{1,2,3,5,6,10,15,30\}$ y $D(45) = \{1,3,5,9,15,45\}$. Los divisores comunes son $\{1, 3, 5, 15\}$. El mayor es 15.
Respuesta: 15
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Un número natural $n$ tiene exactamente 4 divisores. ¿Cuál de los siguientes podría ser $n$?
$D(9)=\{1,3,9\}$ (3 divisores); $D(15)=\{1,3,5,15\}$ (4 divisores); $D(16)=\{1,2,4,8,16\}$ (5 divisores); $D(25)=\{1,5,25\}$ (3 divisores). Solo 15 tiene exactamente 4.
Respuesta: 15