Resolución de problemas de coincidencia o encuentro con m.c.m.
Resolver problemas cotidianos que involucren situaciones de coincidencia o periodicidad mediante el cálculo del Mínimo Común Múltiplo (MCM).
Introducción
¿Te has fijado en que las luces de emergencia o las alarmas a veces parpadean al mismo tiempo y luego se desfasan, para después volver a brillar juntas al cabo de unos segundos? O tal vez has tomado medicamentos que debes tomar cada 6 horas y otros cada 8 horas, y te preguntas: ¿cuándo me tocará tomarlos juntos otra vez?
Este tipo de preguntas sobre eventos que ocurren a diferentes ritmos y coinciden en el futuro se resuelven de forma exacta usando el Mínimo Común Múltiplo (MCM).
El MCM nos permite calcular el menor tiempo o distancia en que dos o más eventos periódicos volverán a encontrarse en el mismo punto de partida. ¡Es súper útil para organizar horarios, rutas de transporte y música!
Explicación
En los problemas de coincidencia temporal o espacial, tenemos elementos que repiten un ciclo de manera periódica.
Supongamos que un evento $A$ ocurre cada $t_A$ unidades de tiempo, y un evento $B$ ocurre cada $t_B$ unidades de tiempo. Si ambos eventos ocurren simultáneamente en el momento inicial ($t = 0$), las siguientes ocurrencias de cada uno serán:
- Evento $A$: $t_A, 2t_A, 3t_A, 4t_A, \dots$ (los múltiplos de $t_A$).
- Evento $B$: $t_B, 2t_B, 3t_B, 4t_B, \dots$ (los múltiplos de $t_B$).
Los instantes en que ambos eventos coinciden nuevamente corresponden a los múltiplos comunes de $t_A$ y $t_B$. La primera coincidencia futura (después de $t=0$) ocurrirá precisamente en el menor de estos múltiplos comunes, es decir, en el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los intervalos:
$$t_{\text{coincidencia}} = \text{MCM}(t_A, t_B)$$
Palabras clave en los enunciados que sugieren el uso del MCM:
- ¿Cuándo volverán a coincidir / encontrarse / partir juntos?
- Ocurre cada $x$ días, semanas, minutos...
- Eventos simultáneos repetitivos.
- La menor distancia / el menor tiempo posible para un reencuentro.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica las magnitudes del problema y los intervalos de periodicidad o frecuencia de cada evento.
- Paso 2: Extrae los números correspondientes a estos intervalos regulares (por ejemplo, cada 4 días y cada 6 días).
- Paso 3: Calcula el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de los números identificados.
- Paso 4: Interpreta el resultado del MCM en el contexto de la pregunta, sumándolo al momento inicial o respondiendo directamente la cantidad de unidades necesarias para la coincidencia.
Ejemplos
1 Dos buses salen del terminal. El bus A sale cada $12$ minutos y el bus B cada $18$ minutos. Si salieron juntos a las 08:00, ¿a qué hora volverán a salir juntos por primera vez?
- Paso a: Identificamos los intervalos de tiempo: $12$ minutos y $18$ minutos.
- Paso b: Buscamos el MCM de $12$ y $18$. Descomponiendo: $12 = 2^2 \cdot 3^1$ y $18 = 2^1 \cdot 3^2$. El MCM es $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$ minutos.
- Paso c: Sumamos los $36$ minutos a la hora inicial (08:00).
- Paso d: Concluimos que volverán a salir juntos a las 08:36.
2 Un faro emite una luz roja cada $8$ segundos y otra verde cada $12$ segundos. Si acaban de brillar juntas, ¿cuántos segundos pasarán para que coincidan de nuevo?
- Paso a: Extraemos los intervalos de parpadeo: $8$ segundos y $12$ segundos.
- Paso b: Calculamos el MCM de $8$ y $12$. Los múltiplos de $8$ son $\{8, 16, 24, 32, \dots\}$. Los múltiplos de $12$ son $\{12, 24, 36, \dots\}$.
- Paso c: El menor múltiplo común es $24$.
- Paso d: Por lo tanto, pasarán exactamente $24$ segundos para que vuelvan a coincidir.
3 ¿Si tres atletas entrenan en una pista circular y tardan $60$, $75$ y $90$ segundos respectivamente en dar una vuelta completa, volverán a cruzar juntos la línea de partida a los $900$ segundos si parten al mismo tiempo?
- Debemos calcular el MCM de los tiempos de vuelta: $60$, $75$ y $90$ segundos.
- La descomposición de los números es: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $75 = 3 \cdot 5^2$ y $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$.
- El MCM es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 4 \cdot 9 \cdot 25 = 900$ segundos.
- Por ende, coincidirán por primera vez a los $900$ segundos (equivalente a 15 minutos).
4 ¿Si riegas una planta cada $4$ días y otra cada $5$ días, y las regaste hoy juntas, volverán a coincidir en $10$ días?
- Calculamos el MCM de los intervalos de riego: $4$ días y $5$ días.
- Como $4$ y $5$ son coprimos, su MCM es el producto de ambos: $4 \cdot 5 = 20$ días.
- Por lo tanto, la coincidencia ocurrirá en $20$ días, no en $10$ días.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Utilizar el MCD en lugar del MCM, lo cual da como resultado un número menor que los intervalos individuales y no tiene sentido lógico."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Multiplicar directamente todos los números involucrados sin calcular el MCM real (esto solo es correcto si son coprimos)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No convertir adecuadamente las unidades de tiempo (por ejemplo, mezclar minutos con horas en el cálculo directo)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar sumar el intervalo del MCM a la hora inicial dada para responder con la hora exacta de la coincidencia."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sumar los intervalos de tiempo ($12 + 18 = 30$) en vez de calcular el mínimo común múltiplo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Los problemas de coincidencia o periodicidad involucran eventos independientes que ocurren a intervalos regulares de tiempo, distancia o frecuencia. Se resuelven calculando el Mínimo Común Múltiplo (MCM) de dichos intervalos, el cual determina el menor valor en el que los eventos volverán a ocurrir al mismo tiempo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si tres luces parpadean cada $a$, $b$ y $c$ segundos respectivamente, y acaban de brillar juntas, ¿cuál es la fórmula para saber cuántos segundos pasarán para su próxima coincidencia?
El intervalo de coincidencia es el mínimo común múltiplo de los periodos individuales, es decir, $\text{MCM}(a, b, c)$.
Respuesta: $\text{MCM}(a, b, c)$
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¿Qué herramienta matemática se debe seleccionar para determinar cuándo volverán a coincidir en el tiempo varios eventos periódicos que tienen frecuencias diferentes?
La coincidencia de eventos periódicos futuros se modela mediante los múltiplos comunes de sus intervalos. La primera coincidencia ocurre en el menor múltiplo común positivo (MCM).
Respuesta: El Mínimo Común Múltiplo (MCM).
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En un problema de coincidencia de buses, si el resultado del cálculo del MCM entre las frecuencias de salida de las líneas A y B es 40 minutos, ¿qué significa este valor en el contexto real?
El MCM representa el intervalo regular de coincidencia de ambos buses; por ende, saldrán al mismo tiempo cada 40 minutos.
Respuesta: Que las líneas A y B saldrán juntas cada 40 minutos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes situaciones cotidianas se resuelve calculando el Mínimo Común Múltiplo (MCM)?
Las visitas periódicas son eventos repetitivos en el futuro, por lo que su coincidencia se determina encontrando el MCM de los intervalos de días.
Respuesta: Determinar cuándo coincidirán dos personas que visitan a un familiar cada 6 y 9 días respectivamente.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si dos campanas suenan cada 10 y 15 minutos respectivamente, y suenan juntas a las 10:00, volverán a sonar juntas a las 10:30?
El MCM de 10 y 15 es 30. Por lo tanto, volverán a sonar juntas 30 minutos después de las 10:00, es decir, a las 10:30.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si un planeta tarda 2 años en dar una vuelta al Sol y otro tarda 5 años, si están alineados hoy, tardarán 7 años en volver a alinearse?
El tiempo para la siguiente alineación se obtiene con el MCM de 2 y 5. Como son coprimos, $\text{MCM}(2, 5) = 2 \cdot 5 = 10$ años, no 7.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el MCM de 4, 6 y 8 es 24, lo que significa que tres eventos que ocurren cada 4, 6 y 8 horas coinciden cada 24 horas?
Los múltiplos de 8 son 8, 16, 24... y 24 es divisible por 4 y 6. Por tanto, el MCM es 24, y los eventos coincidirán cada 24 horas.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una parada de buses, la línea 1 pasa cada $15\text{ minutos}$ y la línea 2 cada $20\text{ minutos}$. Si un pasajero observa que ambas líneas coinciden a las 12:00, ¿cuántas veces coincidirán los buses en esa parada entre las 12:01 y las 15:01 del mismo día?
Primero calculamos el MCM de 15 y 20: $\text{MCM}(15, 20) = 60\text{ minutos}$ (1 hora). Las coincidencias ocurren cada 1 hora: a las 13:00, 14:00 y 15:00. Entre las 12:01 y las 15:01, coinciden exactamente 3 veces.
Respuesta: 3 veces
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Un paciente debe tomar una dosis de un antibiótico A cada $8\text{ horas}$ y una dosis de un desinflamatorio B cada $12\text{ horas}$. Si se toma ambos medicamentos juntos por primera vez el lunes a las 08:00, ¿en qué día y a qué hora volverá a tomar ambos medicamentos juntos por segunda vez?
Calculamos el MCM de 8 y 12: $\text{MCM}(8, 12) = 24\text{ horas}$. Así, coinciden cada 24 horas. Si la primera toma conjunta fue el lunes a las 08:00, la segunda toma conjunta ocurrirá 24 horas después, es decir, el martes a las 08:00.
Respuesta: Martes a las 08:00
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Tres atletas corren en una pista circular partiendo simultáneamente desde la misma línea. El primero tarda $45\text{ segundos}$ en dar una vuelta completa, el segundo tarda $60\text{ segundos}$ y el tercero tarda $90\text{ segundos}$. ¿Cuánto tiempo (en minutos) debe transcurrir para que se encuentren los tres por primera vez en la línea de partida?
Buscamos el MCM de 45, 60 y 90 segundos. Descomponiendo: $45 = 3^2 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. El MCM es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180\text{ segundos}$. Convertimos a minutos: $180 \div 60 = 3\text{ minutos}$.
Respuesta: 3 minutos