Resolución de problemas de coincidencia o encuentro con m.c.m.
Resumen inicial
Los problemas de coincidencia periódica o repetición en el tiempo se resuelven calculando el m.c.m. de las frecuencias.
Explicación en palabras simples
Cuando enfrentamos un problema verbal que involucra eventos que se repiten periódicamente a distintos intervalos de tiempo (como buses que salen cada ciertos minutos, luces que parpadean o fármacos tomados cada ciertas horas), la clave para hallar el momento en que coincidirán es calcular el mínimo común múltiplo.
Explicación formal
En la Modelación de Coincidencia Periódica, si $k$ procesos poseen ciclos de período $t_1, t_2, \dots, t_k$, el Intervalo de Coincidencia Simultánea $T_{\text{coincidencia}}$ se define por:
$$T_{\text{coincidencia}} = \operatorname{mcm}(t_1, t_2, \dots, t_k)$$
Desglose de la fórmula:
- $t_i$: Período del ciclo $i$.
- $T_{\text{coincidencia}}$: Tiempo transcurrido hasta la primera coincidencia simultánea desde el origen común $t=0$.
Complemento didáctico: Palabras clave en el enunciado como 'coincidir', 'volver a encontrarse', 'juntos al mismo tiempo' o 'repetición simultánea' señalan el uso del m.c.m.
La alternativa correcta es 'El mínimo común múltiplo (m.c.m.)'.
Definiciones clave
- Problema de coincidencia: Contexto de aplicación donde varios ciclos de distinta frecuencia se sincronizan.
- Sincronización periódica: Momento en que dos o más eventos periódicos ocurren simultáneamente.
Ejemplo guiado
Un medicamento A se toma cada 6 horas y un medicamento B cada 8 horas. Si se toman juntos a las 8:00 AM, ¿en cuántas horas volverán a tomarse juntos?
- Paso 1: Identificar que es un problema de coincidencia periódica en el tiempo.
- Paso 2: Calcular el mínimo común múltiplo de las frecuencias: $\operatorname{mcm}(6, 8)$.
- Paso 3: Obtenemos $6 = 2 \cdot 3$ y $8 = 2^3 \implies \operatorname{mcm}(6, 8) = 2^3 \cdot 3 = 24$.
- Conclusión: Volverán a tomarse juntos dentro de $24$ horas (a las 8:00 AM del día siguiente).
La alternativa correcta es '24 horas'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar los períodos o frecuencias numéricas del enunciado.
- Paso 2: Calcular el mínimo común múltiplo de dichos períodos.
- Paso 3: Interpretar el resultado obtenido como el tiempo o la distancia hasta la coincidencia.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Calcular el M.C.D. en lugar del m.c.m. en problemas de coincidencia. Cómo corregirlo: Si los eventos se repiten hacia adelante en el tiempo, el resultado debe ser mayor (m.c.m.).
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Error 2: Sumar los períodos en lugar de calcular el m.c.m. Cómo corregirlo: La coincidencia exige divisibilidad común de las frecuencias.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\operatorname{mcm}(10, 15, 20) = 60$ minutos = 1 hora. Coinciden a las 13:00.
- $\operatorname{mcm}(40, 60) = 120$ segundos.
- Sí, es la aplicación clásica del m.c.m.
- No, para coincidencias futuras se aplica el m.c.m.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Resolver problemas contextualizados de coincidencia periódica y encuentro simultáneo de eventos temporales.
Identificando los períodos cíclicos individuales, homogeneizando sus unidades temporales, calculando el $ ext{mcm}(t_1, t_2, \dots)$ y sumando dicho intervalo al tiempo de inicio.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si tres luces parpadean cada $a$, $b$ y $c$ segundos respectivamente, y acaban de brillar juntas, ¿cuál es la fórmula para saber cuántos segundos pasarán para su próxima coincidencia?
El intervalo de coincidencia es el mínimo común múltiplo de los periodos individuales, es decir, $\text{MCM}(a, b, c)$.
Respuesta: $\text{MCM}(a, b, c)$
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¿Qué herramienta matemática se debe seleccionar para determinar cuándo volverán a coincidir en el tiempo varios eventos periódicos que tienen frecuencias diferentes?
La coincidencia de eventos periódicos futuros se modela mediante los múltiplos comunes de sus intervalos. La primera coincidencia ocurre en el menor múltiplo común positivo (MCM).
Respuesta: El Mínimo Común Múltiplo (MCM).
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En un problema de coincidencia de buses, si el resultado del cálculo del MCM entre las frecuencias de salida de las líneas A y B es 40 minutos, ¿qué significa este valor en el contexto real?
El MCM representa el intervalo regular de coincidencia de ambos buses; por ende, saldrán al mismo tiempo cada 40 minutos.
Respuesta: Que las líneas A y B saldrán juntas cada 40 minutos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes situaciones cotidianas se resuelve calculando el Mínimo Común Múltiplo (MCM)?
Las visitas periódicas son eventos repetitivos en el futuro, por lo que su coincidencia se determina encontrando el MCM de los intervalos de días.
Respuesta: Determinar cuándo coincidirán dos personas que visitan a un familiar cada 6 y 9 días respectivamente.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que si dos campanas suenan cada 10 y 15 minutos respectivamente, y suenan juntas a las 10:00, volverán a sonar juntas a las 10:30?
El MCM de 10 y 15 es 30. Por lo tanto, volverán a sonar juntas 30 minutos después de las 10:00, es decir, a las 10:30.
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que si un planeta tarda 2 años en dar una vuelta al Sol y otro tarda 5 años, si están alineados hoy, tardarán 7 años en volver a alinearse?
El tiempo para la siguiente alineación se obtiene con el MCM de 2 y 5. Como son coprimos, $\text{MCM}(2, 5) = 2 \cdot 5 = 10$ años, no 7.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que el MCM de 4, 6 y 8 es 24, lo que significa que tres eventos que ocurren cada 4, 6 y 8 horas coinciden cada 24 horas?
Los múltiplos de 8 son 8, 16, 24... y 24 es divisible por 4 y 6. Por tanto, el MCM es 24, y los eventos coincidirán cada 24 horas.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una parada de buses, la línea 1 pasa cada $15\text{ minutos}$ y la línea 2 cada $20\text{ minutos}$. Si un pasajero observa que ambas líneas coinciden a las 12:00, ¿cuántas veces coincidirán los buses en esa parada entre las 12:01 y las 15:01 del mismo día?
Primero calculamos el MCM de 15 y 20: $\text{MCM}(15, 20) = 60\text{ minutos}$ (1 hora). Las coincidencias ocurren cada 1 hora: a las 13:00, 14:00 y 15:00. Entre las 12:01 y las 15:01, coinciden exactamente 3 veces.
Respuesta: 3 veces
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Un paciente debe tomar una dosis de un antibiótico A cada $8\text{ horas}$ y una dosis de un desinflamatorio B cada $12\text{ horas}$. Si se toma ambos medicamentos juntos por primera vez el lunes a las 08:00, ¿en qué día y a qué hora volverá a tomar ambos medicamentos juntos por segunda vez?
Calculamos el MCM de 8 y 12: $\text{MCM}(8, 12) = 24\text{ horas}$. Así, coinciden cada 24 horas. Si la primera toma conjunta fue el lunes a las 08:00, la segunda toma conjunta ocurrirá 24 horas después, es decir, el martes a las 08:00.
Respuesta: Martes a las 08:00
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Tres atletas corren en una pista circular partiendo simultáneamente desde la misma línea. El primero tarda $45\text{ segundos}$ en dar una vuelta completa, el segundo tarda $60\text{ segundos}$ y el tercero tarda $90\text{ segundos}$. ¿Cuánto tiempo (en minutos) debe transcurrir para que se encuentren los tres por primera vez en la línea de partida?
Buscamos el MCM de 45, 60 y 90 segundos. Descomponiendo: $45 = 3^2 \cdot 5$, $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$, $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$. El MCM es $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180\text{ segundos}$. Convertimos a minutos: $180 \div 60 = 3\text{ minutos}$.
Respuesta: 3 minutos