Decisión de cuándo usar m.c.m. o M.C.D. en un problema
Resumen inicial
La decisión entre m.c.m. o M.C.D. depende de si el problema requiere amplificar ciclos futuros (m.c.m.) o fragmentar en partes máximas (M.C.D.).
Explicación en palabras simples
Para decidir correctamente si un problema de la vida real se resuelve con m.c.m. o con M.C.D., debemos hacernos una pregunta simple: ¿buscamos un resultado más grande donde las cantidades se repitan hacia adelante (m.c.m.), o buscamos dividir o acortar las cantidades en partes iguales más pequeñas (M.C.D.)?
Explicación formal
La Criterio de Selección de Herramienta analiza la orientación del modelo algebraico:
$$\text{Objetivo} = \begin{cases} \text{Amplificación / Coincidencia periódica } \implies \text{Usar } \operatorname{mcm} \ge \max(a_i) \\ \text{Fraccionamiento / Reparto máximo común } \implies \text{Usar } \operatorname{MCD} \le \min(a_i) \end{cases}$$
Desglose de la fórmula:
- Si el resultado esperado debe ser mayor o igual que las cantidades originales $\implies \operatorname{mcm}$.
- Si el resultado esperado debe ser menor o igual que las cantidades originales $\implies \operatorname{MCD}$.
Complemento didáctico: Analizar si el resultado del problema debe ser más grande que los datos (m.c.m.) o más pequeño que los datos (M.C.D.) es la estrategia más infalible.
La alternativa correcta es 'Usar m.c.m. si se busca una coincidencia/acumulación futura mayor; usar M.C.D. si se busca dividir en partes máximas menores'.
Definiciones clave
- Criterio de escala: Regla que compara el resultado buscado respecto a la magnitud de los datos de entrada.
Ejemplo guiado
Analice el problema: 'Un carpintero tiene listones de 120 cm y 180 cm y desea cortarlos en trozos iguales sin desperdiciar nada y del mayor tamaño posible'. Determine si se usa m.c.m. o M.C.D.
- Paso 1: Analizar la acción requerida: 'cortar en trozos sin desperdiciar'.Paso 2: Analizar la restricción: 'del mayor tamaño posible'.Paso 3: Evaluar la magnitud del resultado: el trozo cortado debe ser MENOR que 120 cm y 180 cm.
- Conclusión: Se trata de un problema de división máxima, por lo que se debe usar el M.C.D.
La alternativa correcta es 'Porque el problema requiere cortar/dividir en trozos menores del mayor tamaño posible'.
Procedimiento
- Paso 1: Leer el enunciado e identificar la pregunta principal.
- Paso 2: Determinar si se busca repetir/coincidir hacia adelante (m.c.m.) o dividir/repartir hacia abajo (M.C.D.).
- Paso 3: Aplicar el algoritmo correspondiente para resolver el problema.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
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Error 1: Guiarse solo por la palabra 'máximo' para aplicar M.C.D. sin entender la acción. Cómo corregirlo: Si pide 'máxima coincidencia en tiempo', se usa m.c.m.; la palabra debe analizarse en el contexto de la acción (dividir vs repetir).
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Error 2: Aplicar cualquier técnica al azar. Cómo corregirlo: Comparar si el resultado esperado es mayor que los datos (m.c.m.) o menor que los datos (M.C.D.).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Coincidencia de repetición periódica $\implies$ m.c.m.
- Menor cantidad de baldosas $\implies$ mayor tamaño por baldosa $\implies$ M.C.D.
- Sí, los múltiplos son de mayor o igual magnitud.
- Sí, cortar en partes es una división $\implies$ M.C.D.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Diagnosticar con precisión y rapidez si un problema contextualizado debe modelarse y resolverse mediante el MCM o el MCD.
Evaluando la magnitud física requerida: si se busca una escala superior acumulativa o de coincidencia futura se aplica $ ext{mcm} \ge \max(a, b)$, mientras que si se busca fragmentar o distribuir en porciones comunes se aplica $ ext{mcd} \le \min(a, b)$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si un problema nos pide cortar dos varillas de metal de diferentes longitudes en pedazos idénticos y lo más largos posible, ¿qué concepto debemos elegir para resolverlo?
Cortar varillas en pedazos es una acción de división. Buscar el mayor largo posible requiere hallar el Máximo Común Divisor (MCD).
Respuesta: El Máximo Común Divisor (MCD).
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Si un problema pregunta por el menor tiempo necesario para que tres alarmas vuelvan a sonar al mismo tiempo, ¿cuál es la herramienta adecuada?
Sonar al mismo tiempo en el futuro es una coincidencia periódica, lo que requiere encontrar el menor múltiplo común (MCM) de las frecuencias.
Respuesta: El Mínimo Común Múltiplo (MCM).
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Para seleccionar correctamente si un problema se resuelve con el MCM o el MCD, ¿cuál es la pista fundamental que diferencia a ambos conceptos?
Esa es la distinción clave: el MCM se usa para ampliar y encontrar múltiplos comunes, mientras que el MCD se usa para fragmentar y encontrar divisores comunes.
Respuesta: El MCM busca un múltiplo común futuro (coincidencia), mientras que el MCD busca dividir cantidades en partes comunes (reparto).
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifique cuál de los siguientes problemas se debe resolver utilizando el Mínimo Común Múltiplo (MCM):
Este problema trata de un reencuentro o coincidencia de dos ciclos periódicos, por lo que requiere calcular el MCM.
Respuesta: Dos trenes parten a la vez de una estación; uno pasa cada 8 días y el otro cada 12 días. ¿Cuándo volverán a encontrarse?
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Es verdadero que el problema '¿Cuál es el tamaño máximo de baldosa cuadrada para cubrir un patio de 30 m de largo por 45 m de ancho?' se resuelve utilizando el MCM?
Para cubrir un patio con baldosas cuadradas idénticas sin cortar ninguna, el tamaño de la baldosa debe dividir exactamente a las dimensiones del patio. Por tanto, se debe usar el MCD, no el MCM.
Respuesta: Falso
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¿Es verdadero que los problemas que contienen la acción de agrupar o envasar elementos diferentes en contenedores iguales de capacidad máxima se resuelven con el MCD?
Envasar y agrupar significa fraccionar o dividir, y buscar la capacidad máxima requiere el Máximo Común Divisor (MCD).
Respuesta: Verdadero
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¿Es verdadero que para saber la menor cantidad de cajas cúbicas idénticas para empacar dos tipos de cajas de mercadería de distintas dimensiones se puede usar el MCM para las dimensiones de la caja contenedora?
La caja contenedora debe albergar a las dimensiones de las cajas pequeñas como múltiplos, por lo que su dimensión mínima de lado es el MCM de las dimensiones de las cajas pequeñas.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En una fábrica de baldosas se quieren empacar muestras en cajas. Se tienen 90 muestras de tipo A y 120 de tipo B. Si se decide armar cajas con el mismo número de muestras de cada tipo sin que sobre ninguna, y se desea maximizar el número de cajas, ¿cuántas muestras de tipo A habrá en cada caja?
La acción es repartir las muestras en cajas, maximizando las cajas. Calculamos el $\text{MCD}(90, 120) = 30$ cajas. Para saber el contenido del tipo A en cada caja, dividimos: $90 \div 30 = 3$ muestras.
Respuesta: 3 muestras
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Un comerciante compra latas de atún en cajas de 12 unidades y latas de sardina en cajas de 18 unidades. Si quiere tener el mismo número de latas de cada tipo comprando la menor cantidad posible de cajas, ¿cuál de las siguientes opciones describe el cálculo correcto?
Como quiere tener la misma cantidad de latas de cada producto, esta cantidad debe ser un múltiplo común de 12 y 18. Para que sea la menor cantidad posible, buscamos el $\text{MCM}(12, 18) = 36$ latas. Luego, comprará $36\div 12=3$ cajas de atún y $36\div 18=2$ cajas de sardina.
Respuesta: Calcular el MCM de 12 y 18 para saber el total de latas y luego dividir por 12 y 18 para saber las cajas.
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Considere los siguientes enunciados:\nI. Determinar la longitud máxima de los trozos en que se pueden cortar dos troncos de 16 y 24 metros.\nII. Hallar cuándo coincidirán dos cometas que pasan cada 75 y 100 años respectivamente.\n¿Con qué herramienta se debe resolver cada uno?
El enunciado I implica cortar (división), por lo que requiere el MCD. El enunciado II busca la coincidencia futura de dos periodos, por lo que requiere el MCM.
Respuesta: I con MCD, II con MCM