Condición de convergencia de una serie geométrica infinita según el valor absoluto de la razón
Evaluar si una serie geométrica dada cumple las condiciones matemáticas para ser sumada hasta el infinito.
Introducción
Antes de lanzarte a usar la fórmula del infinito, tienes que pedirle permiso a las matemáticas. Como un portero de discoteca, la 'Condición de Convergencia' revisa tu razón 'r' y te dice si pasas o rebotas.
Explicación
Si te saltas este control de seguridad, la fórmula te mentirá.
Ejemplo de desastre: Serie $1 + 2 + 4 + 8 + 16 \dots$ (Aquí $r = 2$).
- Claramente la suma va hacia el infinito positivo.
- ¡Pero la fórmula $S = \frac{a_1}{1 - r}$ te dejaría usarla! Te daría $\frac{1}{1 - 2} = -1$.
- ¿Sumar números positivos infinitamente te dará $-1$? ¡ABSURDO!
Por eso el portero existe:
- ¿$r = 0.5$? PASE.
- ¿$r = -1/3$? PASE.
- ¿$r = -0.99$? PASE.
- ¿$r = 1.01$? ¡RECHAZADO! (La suma explota).
- ¿$r = -1$? ¡RECHAZADO! (La suma alterna infinitamente entre dos valores sin decidirse).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Calcula la razón 'r' dividiendo el 2do término por el 1ro.
- Paso 2: Quítale el signo (toma su valor absoluto).
- Paso 3: Pregúntate: ¿Es estrictamente menor que 1?
- Paso 4: Si es Sí, la serie converge y puedes usar la fórmula. Si es No, la serie diverge (su suma es infinito o no existe).
Ejemplos
1 Determina si la serie infinita 5 - 10 + 20 - 40... se puede sumar con la fórmula.
- Calculamos r: -10 / 5 = -2.
- Valor absoluto de r es 2.
- Como 2 es mayor que 1, el portero la rechaza.
- Respuesta: NO converge, no se puede calcular un total fijo.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Creer que si la razón es negativa, automáticamente la serie diverge (Las razones negativas pequeñas como -0.5 convergen perfectamente)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Forzar la fórmula con $r > 1$ y entregar ciegamente el resultado negativo como respuesta válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La única condición para que una serie geométrica converja a un número real al sumarla infinitamente es que **su razón '$r$' esté estrictamente entre $-1$ y $1$ (sin incluirlos)**. Matemáticamente: $|r| < 1$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes condiciones matemáticas expresa correctamente la exigencia que debe cumplir la razón '$r$' para garantizar que una serie geométrica infinita converja? (v1)
El valor absoluto de la razón debe ser estrictamente menor que 1 (es decir, $-1 < r < 1$).
Respuesta: A) $|r| < 1$
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¿Cuál de las siguientes condiciones matemáticas expresa correctamente la exigencia que debe cumplir la razón '$r$' para garantizar que una serie geométrica infinita converja? (v2)
El valor absoluto de la razón debe ser estrictamente menor que 1 (es decir, $-1 < r < 1$).
Respuesta: A) $|r| < 1$
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¿Cuál de las siguientes condiciones matemáticas expresa correctamente la exigencia que debe cumplir la razón '$r$' para garantizar que una serie geométrica infinita converja? (v3)
El valor absoluto de la razón debe ser estrictamente menor que 1 (es decir, $-1 < r < 1$).
Respuesta: A) $|r| < 1$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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¿Cuál de las siguientes progresiones geométricas NO se puede sumar hasta el infinito mediante la fórmula $S_\infty = \frac{{a_1}}{{1-r}}$?
El valor de $-1.2$ está fuera del rango permitido ($-1, 1$). Su valor absoluto es mayor que 1, por lo que diverge.
Respuesta: A) Una progresión de razón $r = -1.2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La serie infinita de la progresión $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \dots$ converge y por lo tanto puede calcularse usando la fórmula?
La razón es 2 ($1 / 0.5 = 2$). Como 2 > 1, la serie no converge y NO se puede usar la fórmula.
Respuesta: Falso
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¿La serie infinita de la progresión $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \dots$ converge y por lo tanto puede calcularse usando la fórmula?
La razón es 2 ($1 / 0.5 = 2$). Como 2 > 1, la serie no converge y NO se puede usar la fórmula.
Respuesta: Falso
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¿La serie infinita de la progresión $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \dots$ converge y por lo tanto puede calcularse usando la fórmula?
La razón es 2 ($1 / 0.5 = 2$). Como 2 > 1, la serie no converge y NO se puede usar la fórmula.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa ofrece un plan de referidos perpetuo. Pagará a sus promotores sumas decrecientes al infinito, formando una serie geométrica. El Ministerio de Economía solo autoriza estos planes si el total a pagar converge a un número finito. Si las razones '$r$' propuestas por la empresa son las siguientes, ¿qué plan es el ÚNICO que recibirá la aprobación ministerial? (v2)
Solo el 0.85 cumple la condición $-1 < r < 1$. Las otras razones harán que la suma explote y la empresa quiebre.
Respuesta: A) El plan con razón $r = 0.85$
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Una empresa ofrece un plan de referidos perpetuo. Pagará a sus promotores sumas decrecientes al infinito, formando una serie geométrica. El Ministerio de Economía solo autoriza estos planes si el total a pagar converge a un número finito. Si las razones '$r$' propuestas por la empresa son las siguientes, ¿qué plan es el ÚNICO que recibirá la aprobación ministerial? (v3)
Solo el 0.85 cumple la condición $-1 < r < 1$. Las otras razones harán que la suma explote y la empresa quiebre.
Respuesta: A) El plan con razón $r = 0.85$
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Una empresa ofrece un plan de referidos perpetuo. Pagará a sus promotores sumas decrecientes al infinito, formando una serie geométrica. El Ministerio de Economía solo autoriza estos planes si el total a pagar converge a un número finito. Si las razones '$r$' propuestas por la empresa son las siguientes, ¿qué plan es el ÚNICO que recibirá la aprobación ministerial? (v1)
Solo el 0.85 cumple la condición $-1 < r < 1$. Las otras razones harán que la suma explote y la empresa quiebre.
Respuesta: A) El plan con razón $r = 0.85$