Condición de convergencia de una serie geométrica infinita según el valor absoluto de la razón
Resumen inicial
La condición de convergencia de una serie geométrica infinita establece que la serie $\sum_{k=1}^\infty a_1 r^{k-1}$ converge a un valor finito real si y solo si el valor absoluto de la razón es estrictamente menor a uno: $|r| < 1$ ($-1 < r < 1$).
Explicación en palabras simples
Para saber si puedes sumar infinitos términos de una progresión geométrica y obtener un número real exacto:
- Solo debes mirar la razón ($r$):
- Si $|r| < 1$ (es decir, $-1 < r < 1$): La serie CONVERGE (los números se van achicando hacia cero y la suma total da un número finito).
- Ejemplos: $r = 0,5$, $r = \frac{1}{3}$, $r = -0,2$.
- Si $|r| \ge 1$ (es decir, $r \ge 1$ o $r \le -1$): La serie DIVERGE (los números crecen o no se achican, y la suma se va al infinito o no existe).
- Ejemplos: $r = 2$, $r = 1$, $r = -3$.
Explicación formal
Demostración formal del Teorema de Convergencia
La suma parcial de orden $n$ de una serie geométrica es:
$$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} = \frac{a_1}{1 - r} - \frac{a_1 r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$
Tomamos el límite cuando $n \to \infty$:
$$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{a_1}{1 - r} - \frac{a_1}{1 - r} \cdot \lim_{n \to \infty} r^n$$
Análisis del Límite de la Potencia $\lim_{n \to \infty} r^n$
- Caso 1 ($|r| < 1$): $\lim_{n \to \infty} r^n = 0 \implies S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$ (Convergente).
- Caso 2 ($r > 1$): $\lim_{n \to \infty} r^n = +\infty \implies S_n \to \pm \infty$ (Divergente).
- Caso 3 ($r = 1$): $S_n = n \cdot a_1 \to \pm \infty$ (Divergente).
- Caso 4 ($r = -1$): $S_n$ oscila entre $a_1$ y $0$ (Divergente por oscilación).
- Caso 5 ($r < -1$): $r^n$ oscila con amplitud divergente (Divergente).
Conclusión Teórica Fundamental
$$\sum_{k=1}^\infty a_1 r^{k-1} \text{ converge} \iff |r| < 1 \iff r \in (-1, 1)$$
Síntesis didáctica
- Criterio único: $|r| < 1$.
- Intervalo de convergencia: $-1 < r < 1$.
La alternativa correcta es '$|r| < 1$, es decir, $-1 < r < 1$'. Los extremos $r=1$ y $r=-1$ son estrictamente divergentes.
Definiciones clave
- Intervalo de convergencia: Conjunto abierto $(-1, 1)$ de valores de la razón $r$ para los cuales la serie suma un valor real finito.
- Valor absoluto de la razón ($|r|$): Magnitud numérica de la razón sin considerar su signo algebraico.
- Serie oscilante divergente: Serie como $1 - 1 + 1 - 1 + \dots$ ($r = -1$) cuyas sumas parciales no convergen a ningún valor único.
Propiedades y relaciones importantes
- Radio de convergencia: En el plano complejo, la serie geométrica converge en el disco abierto $|z| < 1$.
- Velocidad de convergencia: Cuanto más cercano a cero esté el valor $|r|$, más rápidamente las sumas parciales $S_n$ se aproximan a $S_\infty$.
Ejemplo guiado
Determina si las siguientes series geométricas infinitas son convergentes o divergentes: a) $10 + 2 + 0,4 + 0,08 + \dots$ y b) $3 - 6 + 12 - 24 + \dots$
- Paso 1: Para la serie a): calculamos la razón $r = \frac{2}{10} = 0,2$.
- Paso 2: Evaluamos el valor absoluto: $|0,2| = 0,2 < 1$. Como $|r| < 1$, la serie a) es **convergente**.
- Paso 3: Para la serie b): calculamos la razón $r = \frac{-6}{3} = -2$.
- Paso 4: Evaluamos el valor absoluto: $|-2| = 2 \ge 1$. Como $|r| \ge 1$, la serie b) es **divergente**.
La alternativa correcta es 'Convergente, porque $|-\frac{3}{4}| = 0,75 < 1$'. La condición de convergencia depende exclusivamente de que el valor absoluto de la razón sea menor a 1.
Procedimiento
- Paso 1: Calcular la razón geométrica $r = \frac{a_2}{a_1}$.
- Paso 2: Calcular el valor absoluto $|r|$.
- Paso 3: Si $|r| < 1$, declarar la serie como convergente y apta para calcular su suma finita $S_\infty$.
- Paso 4: Si $|r| \ge 1$, declarar la serie como divergente.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Creer que una razón negativa no puede converger. Cómo corregirlo: La condición es sobre el valor absoluto ($|r| < 1$): razones como $r = -0,5$ sí convergen con signos alternados.
- Error 2: Incluir $r = 1$ en la convergencia (usar $|r| \le 1$). Cómo corregirlo: Para $r = 1$ la serie suma $a_1 + a_1 + \dots = \infty$, por lo que la desigualdad es estrictamente abierta: $|r| < 1$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $|0,85| = 0,85 < 1 \implies$ Converge.
- $5/3 > 1 \implies$ Divergente.
- $r = -1/2 \implies |-1/2| = 0,5 < 1$.
- Las sumas parciales oscilan entre 5 y 0 sin límite único ($r=-1$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Determinar y justificar la convergencia o divergencia de una serie geométrica infinita según su razón $r$.
Evaluar el criterio de valor absoluto $|r| < 1$ verificando si $r \in (-1, 1)$ como condición necesaria y suficiente.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál de las siguientes condiciones matemáticas expresa correctamente la exigencia que debe cumplir la razón '$r$' para garantizar que una serie geométrica infinita converja? (v1)
El valor absoluto de la razón debe ser estrictamente menor que 1 (es decir, $-1 < r < 1$).
Respuesta: A) $|r| < 1$
-
¿Cuál de las siguientes condiciones matemáticas expresa correctamente la exigencia que debe cumplir la razón '$r$' para garantizar que una serie geométrica infinita converja? (v2)
El valor absoluto de la razón debe ser estrictamente menor que 1 (es decir, $-1 < r < 1$).
Respuesta: A) $|r| < 1$
-
¿Cuál de las siguientes condiciones matemáticas expresa correctamente la exigencia que debe cumplir la razón '$r$' para garantizar que una serie geométrica infinita converja? (v3)
El valor absoluto de la razón debe ser estrictamente menor que 1 (es decir, $-1 < r < 1$).
Respuesta: A) $|r| < 1$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
¿Cuál de las siguientes progresiones geométricas NO se puede sumar hasta el infinito mediante la fórmula $S_\infty = \frac{{a_1}}{{1-r}}$?
El valor de $-1.2$ está fuera del rango permitido ($-1, 1$). Su valor absoluto es mayor que 1, por lo que diverge.
Respuesta: A) Una progresión de razón $r = -1.2$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La serie infinita de la progresión $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \dots$ converge y por lo tanto puede calcularse usando la fórmula?
La razón es 2 ($1 / 0.5 = 2$). Como 2 > 1, la serie no converge y NO se puede usar la fórmula.
Respuesta: Falso
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¿La serie infinita de la progresión $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \dots$ converge y por lo tanto puede calcularse usando la fórmula?
La razón es 2 ($1 / 0.5 = 2$). Como 2 > 1, la serie no converge y NO se puede usar la fórmula.
Respuesta: Falso
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¿La serie infinita de la progresión $\frac{1}{2}, 1, 2, 4, 8, \dots$ converge y por lo tanto puede calcularse usando la fórmula?
La razón es 2 ($1 / 0.5 = 2$). Como 2 > 1, la serie no converge y NO se puede usar la fórmula.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una empresa ofrece un plan de referidos perpetuo. Pagará a sus promotores sumas decrecientes al infinito, formando una serie geométrica. El Ministerio de Economía solo autoriza estos planes si el total a pagar converge a un número finito. Si las razones '$r$' propuestas por la empresa son las siguientes, ¿qué plan es el ÚNICO que recibirá la aprobación ministerial? (v2)
Solo el 0.85 cumple la condición $-1 < r < 1$. Las otras razones harán que la suma explote y la empresa quiebre.
Respuesta: A) El plan con razón $r = 0.85$
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Una empresa ofrece un plan de referidos perpetuo. Pagará a sus promotores sumas decrecientes al infinito, formando una serie geométrica. El Ministerio de Economía solo autoriza estos planes si el total a pagar converge a un número finito. Si las razones '$r$' propuestas por la empresa son las siguientes, ¿qué plan es el ÚNICO que recibirá la aprobación ministerial? (v3)
Solo el 0.85 cumple la condición $-1 < r < 1$. Las otras razones harán que la suma explote y la empresa quiebre.
Respuesta: A) El plan con razón $r = 0.85$
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Una empresa ofrece un plan de referidos perpetuo. Pagará a sus promotores sumas decrecientes al infinito, formando una serie geométrica. El Ministerio de Economía solo autoriza estos planes si el total a pagar converge a un número finito. Si las razones '$r$' propuestas por la empresa son las siguientes, ¿qué plan es el ÚNICO que recibirá la aprobación ministerial? (v1)
Solo el 0.85 cumple la condición $-1 < r < 1$. Las otras razones harán que la suma explote y la empresa quiebre.
Respuesta: A) El plan con razón $r = 0.85$