Cálculo de una serie geométrica finita
Calcular matemáticamente el valor de una serie geométrica finita aplicando la fórmula de suma parcial.
Introducción
Ya conoces la diferencia entre lista y suma. Ahora, vamos a los fierros. Cuando la lista es de 30 términos, no puedes sumar a mano. Sacaremos nuestra fórmula mágica para devorar grandes sumas geométricas en un segundo.
Explicación
Repasemos la mecánica de la fórmula con un ejemplo donde los errores abundan.
Fórmula: $$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$$
Si queremos la serie de los primeros 6 términos de $10, 20, 40\dots$
- $a_1 = 10$, $r = 2$, $n = 6$.
Reemplazo cuidadoso:
1. Arriba: $10 \cdot (2^6 - 1)$
- Primero la potencia: $2^6 = 64$
- Luego la resta: $64 - 1 = 63$
- Luego multiplicamos: $10 \cdot 63 = 630$.
2. Abajo: $2 - 1 = 1$.
3. División final: $630 / 1 = 630$.
La serie vale 630. Cuidado con el paso 1: jamás debes hacer $10 \cdot 2$ primero y luego elevar a la sexta (eso daría un absurdo $20^6$).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Detecta $a_1, r, n$.
- Paso 2: Evalúa la potencia $r^n$.
- Paso 3: Resta 1 a la potencia.
- Paso 4: Multiplica por $a_1$ (esto completa el numerador).
- Paso 5: Divide por $(r-1)$ (el denominador).
Ejemplos
1 Halla el valor de la serie de los 4 primeros términos de la sucesión que empieza en 100 con razón -2.
- a1=100, r=-2, n=4.
- Potencia: (-2)^4 = +16.
- Resta: 16 - 1 = 15.
- Multiplica a1: 100 * 15 = 1500.
- Denominador: r - 1 = -2 - 1 = -3.
- División final: 1500 / -3 = -500.
- La serie da -500.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Romper la jerarquía de operaciones multiplicando $a_1$ por la base $r$ antes de aplicar el exponente (Ej: resolver $3(2^4)$ como $6^4$)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar los paréntesis al evaluar una razón negativa elevada a potencia par, como escribir $-2^4 = -16$ en vez de $(-2)^4 = +16$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para calcular una serie finita (suma de 'n' términos) usamos la fórmula ya conocida: $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$. Recuerda que el exponente es '$n$' entero, no '$(n-1)$'.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si aplicamos la fórmula de la serie finita $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ para una progresión geométrica donde la razón es $r = 10$, el denominador de la fracción final quedará siempre convertido en un: (v1)
El denominador es $(r - 1)$. Si $r = 10$, entonces $10 - 1 = 9$.
Respuesta: A) $9$
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Si aplicamos la fórmula de la serie finita $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ para una progresión geométrica donde la razón es $r = 10$, el denominador de la fracción final quedará siempre convertido en un: (v2)
El denominador es $(r - 1)$. Si $r = 10$, entonces $10 - 1 = 9$.
Respuesta: A) $9$
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Si aplicamos la fórmula de la serie finita $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ para una progresión geométrica donde la razón es $r = 10$, el denominador de la fracción final quedará siempre convertido en un: (v3)
El denominador es $(r - 1)$. Si $r = 10$, entonces $10 - 1 = 9$.
Respuesta: A) $9$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al calcular el valor del bloque $a_1(r^n - 1)$ para $a_1 = 2$, $r = 5$, y $n = 3$, el paso inicial correcto según Papomudas es:
Potencias primero: $5^3 = 125$. Luego $125 - 1 = 124$. Luego $2 \cdot 124$.
Respuesta: A) Calcular primero el valor de $5^3$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El valor de la serie de los primeros $5$ términos de la progresión de $a_1=2$ y $r=-1$ es exactamente $2$?
Lista: $2, -2, 2, -2, 2$. La suma es $2 - 2 + 2 - 2 + 2 = 2$. Por fórmula: $S_5 = 2((-1)^5 - 1) / (-1 - 1) = 2(-1 - 1) / -2 = 2(-2)/-2 = 2$.
Respuesta: Verdadero
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¿El valor de la serie de los primeros $5$ términos de la progresión de $a_1=2$ y $r=-1$ es exactamente $2$?
Lista: $2, -2, 2, -2, 2$. La suma es $2 - 2 + 2 - 2 + 2 = 2$. Por fórmula: $S_5 = 2((-1)^5 - 1) / (-1 - 1) = 2(-1 - 1) / -2 = 2(-2)/-2 = 2$.
Respuesta: Verdadero
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¿El valor de la serie de los primeros $5$ términos de la progresión de $a_1=2$ y $r=-1$ es exactamente $2$?
Lista: $2, -2, 2, -2, 2$. La suma es $2 - 2 + 2 - 2 + 2 = 2$. Por fórmula: $S_5 = 2((-1)^5 - 1) / (-1 - 1) = 2(-1 - 1) / -2 = 2(-2)/-2 = 2$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un esquema de comisiones piramidal asegura que una persona invita a $3$ vendedores el primer mes ($a_1=3$). Al segundo mes, esos $3$ invitan a otros $3$ cada uno ($9$ nuevos), y así sucesivamente. ¿Cuántos vendedores NUEVOS habrán ingresado en TOTAL al cumplirse exactamente el mes número $4$ de la pirámide? (v2)
Serie finita. a1=3, r=3, n=4. S4 = 3 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 3 * (81 - 1) / 2 = 3 * 80 / 2 = 240 / 2 = 120.
Respuesta: A) $120$ vendedores.
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Un esquema de comisiones piramidal asegura que una persona invita a $3$ vendedores el primer mes ($a_1=3$). Al segundo mes, esos $3$ invitan a otros $3$ cada uno ($9$ nuevos), y así sucesivamente. ¿Cuántos vendedores NUEVOS habrán ingresado en TOTAL al cumplirse exactamente el mes número $4$ de la pirámide? (v3)
Serie finita. a1=3, r=3, n=4. S4 = 3 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 3 * (81 - 1) / 2 = 3 * 80 / 2 = 240 / 2 = 120.
Respuesta: A) $120$ vendedores.
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Un esquema de comisiones piramidal asegura que una persona invita a $3$ vendedores el primer mes ($a_1=3$). Al segundo mes, esos $3$ invitan a otros $3$ cada uno ($9$ nuevos), y así sucesivamente. ¿Cuántos vendedores NUEVOS habrán ingresado en TOTAL al cumplirse exactamente el mes número $4$ de la pirámide? (v1)
Serie finita. a1=3, r=3, n=4. S4 = 3 * (3^4 - 1) / (3 - 1) = 3 * (81 - 1) / 2 = 3 * 80 / 2 = 240 / 2 = 120.
Respuesta: A) $120$ vendedores.