Cálculo de la suma de una serie geométrica infinita convergente
Calcular con precisión la suma total de una serie geométrica infinita convergente.
Introducción
Ya pasaste el control del portero. La razón es una fracción válida. Ahora, es el momento de aplicar la fórmula más limpia y satisfactoria de todas las progresiones.
Explicación
Fórmula: $$S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$$
No te dejes engañar por la simplicidad. El peligro está en el manejo de los signos y las fracciones en el denominador.
Ejemplo con fracciones: Serie infinita de $18, 6, 2, 2/3 \dots$
- $a_1 = 18$.
- $r = 6/18 = 1/3$.
- Aplicamos fórmula: $S_{\infty} = \frac{18}{1 - 1/3}$
- Truco para el denominador: $1$ es lo mismo que $3/3$. Así que $3/3 - 1/3 = 2/3$.
- Nos queda: $S_{\infty} = \frac{18}{2/3}$
- Dividir por una fracción es multiplicar por ella invertida: $18 \cdot \frac{3}{2} = \frac{54}{2} = 27$.
¡La suma de todos esos infinitos números da clavado 27!
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Detecta $a_1$ y 'r'.
- Paso 2: Resta la razón a 1 ($1 - r$). Ten cuidado si 'r' es negativa.
- Paso 3: Si el denominador es fracción, conviértelo (1 = 4/4, 1 = 5/5, etc.).
- Paso 4: Divide $a_1$ por el resultado del denominador (regla de la herradura).
Ejemplos
1 Calcula la suma infinita de 10 - 5 + 2.5 - 1.25 ...
- a1 = 10. r = -5 / 10 = -0.5.
- Fórmula: S = 10 / (1 - (-0.5))
- Denominador: 1 + 0.5 = 1.5
- S = 10 / 1.5 = 100 / 15 = 20 / 3.
- La suma da exactamente 20/3 (aprox 6.66).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar la regla de los signos en el denominador cuando $r$ es negativa: calcular $(1 - 0.5)$ en lugar de $(1 - (-0.5))$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Enredarse en la división final cuando el denominador es una fracción (hacer mal la regla de la oreja o herradura)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si $|r| < 1$, la suma infinita se calcula resolviendo la fracción **$S_{\infty} = \frac{a_1}{1 - r}$**. Solo necesitas dos números: el de inicio y la razón.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al usar la fórmula $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$, si la razón '$r$' de la sucesión resulta ser un número negativo como $-1/4$, la operación matemática correcta que ocurre en el denominador de la fórmula es: (v3)
La fórmula es $(1 - r)$. Al ser r negativo, es $1 - (-1/4)$, lo cual es $1 + 1/4$ (regla de signos).
Respuesta: A) Una suma, transformándose en $1 + 1/4$.
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Al usar la fórmula $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$, si la razón '$r$' de la sucesión resulta ser un número negativo como $-1/4$, la operación matemática correcta que ocurre en el denominador de la fórmula es: (v2)
La fórmula es $(1 - r)$. Al ser r negativo, es $1 - (-1/4)$, lo cual es $1 + 1/4$ (regla de signos).
Respuesta: A) Una suma, transformándose en $1 + 1/4$.
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Al usar la fórmula $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$, si la razón '$r$' de la sucesión resulta ser un número negativo como $-1/4$, la operación matemática correcta que ocurre en el denominador de la fórmula es: (v1)
La fórmula es $(1 - r)$. Al ser r negativo, es $1 - (-1/4)$, lo cual es $1 + 1/4$ (regla de signos).
Respuesta: A) Una suma, transformándose en $1 + 1/4$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Para realizar la división final $\frac{10}{2/5}$ que resulta al aplicar la fórmula de la serie infinita, la operación equivalente más rápida es:
Dividir por una fracción es matemáticamente idéntico a multiplicar por esa fracción invertida.
Respuesta: A) Multiplicar $10$ por $5/2$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La suma infinita de la progresión geométrica donde $a_1=50$ y $r=0.5$ resulta ser exactamente $100$?
S = 50 / (1 - 0.5) = 50 / 0.5 = 100. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma infinita de la progresión geométrica donde $a_1=50$ y $r=0.5$ resulta ser exactamente $100$?
S = 50 / (1 - 0.5) = 50 / 0.5 = 100. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma infinita de la progresión geométrica donde $a_1=50$ y $r=0.5$ resulta ser exactamente $100$?
S = 50 / (1 - 0.5) = 50 / 0.5 = 100. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $30$ metros. Tras chocar con el suelo, rebota alcanzando exactamente $\frac{2}{3}$ de su altura anterior en cada nuevo bote. Si sumamos TODAS las distancias verticales que la pelota recorre (ignorando el rebote de subida y contando solo las bajadas) hasta que finalmente queda en reposo, ¿qué distancia total habrá recorrido de bajada? (v1)
Es la serie infinita de bajadas. a1 = 30, r = 2/3. S = 30 / (1 - 2/3) = 30 / (1/3) = 30 * 3 = 90 metros.
Respuesta: A) $90$ metros.
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Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $30$ metros. Tras chocar con el suelo, rebota alcanzando exactamente $\frac{2}{3}$ de su altura anterior en cada nuevo bote. Si sumamos TODAS las distancias verticales que la pelota recorre (ignorando el rebote de subida y contando solo las bajadas) hasta que finalmente queda en reposo, ¿qué distancia total habrá recorrido de bajada? (v2)
Es la serie infinita de bajadas. a1 = 30, r = 2/3. S = 30 / (1 - 2/3) = 30 / (1/3) = 30 * 3 = 90 metros.
Respuesta: A) $90$ metros.
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Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $30$ metros. Tras chocar con el suelo, rebota alcanzando exactamente $\frac{2}{3}$ de su altura anterior en cada nuevo bote. Si sumamos TODAS las distancias verticales que la pelota recorre (ignorando el rebote de subida y contando solo las bajadas) hasta que finalmente queda en reposo, ¿qué distancia total habrá recorrido de bajada? (v3)
Es la serie infinita de bajadas. a1 = 30, r = 2/3. S = 30 / (1 - 2/3) = 30 / (1/3) = 30 * 3 = 90 metros.
Respuesta: A) $90$ metros.