Cálculo de la suma de una serie geométrica infinita convergente
Resumen inicial
El cálculo de la suma de una serie geométrica infinita convergente ($|r| < 1$) aplica la fórmula cerrada $S_\infty = \sum_{k=1}^\infty a_1 r^{k-1} = \frac{a_1}{1 - r}$, fundamental en el cálculo de fracciones generatrices y límites continuos.
Explicación en palabras simples
Cuando una serie geométrica es convergente ($|r| < 1$), ¡calcular la suma de todos sus infinitos términos es sorprendentemente fácil!
- Usamos la fórmula de la suma infinita:
$$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$$
- Solo necesitas dos datos:
1. El primer término ($a_1$) en el numerador.
2. En el denominador, restas $1$ menos la razón: $(1 - r)$.
- Por ejemplo, para sumar $6 + 2 + \frac{2}{3} + \frac{2}{9} + \dots$ ($a_1 = 6, r = \frac{1}{3}$):
$$S_\infty = \frac{6}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{6}{\frac{2}{3}} = 6 \cdot \frac{3}{2} = 9$$
- ¡La suma exacta de los infinitos números es $9$!
Explicación formal
Deducción por Paso al Límite
A partir de la fórmula de la suma finita de $n$ términos:
$$S_n = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$$
Bajo la hipótesis de convergencia $|r| < 1$, el límite de la progresión geométrica nula es:
$$\lim_{n \to \infty} r^n = 0$$
Por consiguiente, aplicando las propiedades de los límites algebraicos:
$$S_\infty = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r} \right] = \frac{a_1(1 - 0)}{1 - r} = \frac{a_1}{1 - r}$$
Aplicación en Fracciones Generatrices Periódicas
Un número decimal periódico infinito puede descomponerse como una serie geométrica infinita convergente:
$$0,\overline{3} = 0,333\dots = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \frac{3}{1000} + \dots \quad \left(a_1 = \frac{3}{10}, \; r = \frac{1}{10}\right)$$
$$S_\infty = \frac{3/10}{1 - 1/10} = \frac{3/10}{9/10} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
Síntesis didáctica
- Ecuación canónica: $S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$ para $|r| < 1$.
- Denominador clave: $1 - r$ (no $r - 1$).
La alternativa correcta es '$S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$'. El denominador es $(1 - r)$ porque surge de restar $1 - r^n$ cuando $r^n \to 0$.
Definiciones clave
- Suma infinita ($S_\infty$): Valor límite exacto al que converge la serie geométrica.
- Fracción generatriz: Representación racional irreducible de un decimal periódico deducida mediante series geométricas.
- Complemento de la razón ($1 - r$): Denominador que representa la proporción restante respecto a la unidad.
Propiedades y relaciones importantes
- Elegancia matemática: Transforma una suma no terminable en una simple división de dos números reales.
- Sensibilidad al denominador: Conforme $r \to 1^-$, el denominador $(1 - r) \to 0$, haciendo que la suma $S_\infty \to +\infty$.
Ejemplo guiado
Calcula la suma exacta de la serie geométrica infinita $12 - 6 + 3 - 1,5 + 0,75 - \dots$ y verifica que sea convergente.
- Paso 1: Identificamos $a_1 = 12$ y calculamos la razón: $r = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2} = -0,5$.
- Paso 2: Verificamos la condición de convergencia: $|r| = |-0,5| = 0,5 < 1$. Converge.
- Paso 3: Aplicamos la fórmula $S_\infty = \frac{a_1}{1 - r} = \frac{12}{1 - (-0,5)}$.
- Paso 4: Resolvemos el denominador: $1 - (-0,5) = 1 + 0,5 = 1,5 = \frac{3}{2}$.
- Paso 5: Dividimos: $S_\infty = \frac{12}{3/2} = 12 \cdot \frac{2}{3} = **8$**.
La alternativa correcta es '$16$, calculando $\frac{8}{1 - 1/2} = \frac{8}{1/2} = 16$'. Con $a_1 = 8$ y $r = 0,5$, la suma límite es 16.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el primer término $a_1$ y la razón $r = \frac{a_2}{a_1}$.
- Paso 2: Comprobar que $|r| < 1$ para asegurar la convergencia.
- Paso 3: Calcular el denominador $1 - r$ (cuidando los signos si $r < 0$).
- Paso 4: Dividir $a_1$ entre $(1 - r)$ y expresar el resultado en fracción irreducible o decimal exacto.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Escribir $(r - 1)$ en el denominador en vez de $(1 - r)$, invirtiendo el signo del resultado. Cómo corregirlo: La fórmula de suma infinita lleva siempre $1 - r$ en el denominador: $S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$.
- Error 2: Olvidar que para razones negativas $1 - (-r) = 1 + r$. Cómo corregirlo: Al restar un número negativo, los dos signos menos se convierten en suma.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $S_\infty = 18 / (1 - 1/3) = 18 / (2/3) = 18 \cdot 3/2 = 27$.
- $1 - (-1/4) = 5/4$.
- $S_\infty = 10 / (5/4) = 10 \cdot 4/5 = 8$.
- $a_1 = 2/10, r = 1/10 \implies S_\infty = (2/10) / (9/10) = 2/9$.
- $S_\infty = 1 / (1 - 1/2) = 1 / (1/2) = 2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular el valor exacto de la suma de una serie geométrica infinita convergente $S_\infty$.
Aplicar la fórmula $S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$ validando previamente que $|r| < 1$ y simplificando fracciones algebraicas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al usar la fórmula $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$, si la razón '$r$' de la sucesión resulta ser un número negativo como $-1/4$, la operación matemática correcta que ocurre en el denominador de la fórmula es: (v3)
La fórmula es $(1 - r)$. Al ser r negativo, es $1 - (-1/4)$, lo cual es $1 + 1/4$ (regla de signos).
Respuesta: A) Una suma, transformándose en $1 + 1/4$.
-
Al usar la fórmula $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$, si la razón '$r$' de la sucesión resulta ser un número negativo como $-1/4$, la operación matemática correcta que ocurre en el denominador de la fórmula es: (v2)
La fórmula es $(1 - r)$. Al ser r negativo, es $1 - (-1/4)$, lo cual es $1 + 1/4$ (regla de signos).
Respuesta: A) Una suma, transformándose en $1 + 1/4$.
-
Al usar la fórmula $S_\infty = \frac{a_1}{1-r}$, si la razón '$r$' de la sucesión resulta ser un número negativo como $-1/4$, la operación matemática correcta que ocurre en el denominador de la fórmula es: (v1)
La fórmula es $(1 - r)$. Al ser r negativo, es $1 - (-1/4)$, lo cual es $1 + 1/4$ (regla de signos).
Respuesta: A) Una suma, transformándose en $1 + 1/4$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Para realizar la división final $\frac{10}{2/5}$ que resulta al aplicar la fórmula de la serie infinita, la operación equivalente más rápida es:
Dividir por una fracción es matemáticamente idéntico a multiplicar por esa fracción invertida.
Respuesta: A) Multiplicar $10$ por $5/2$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La suma infinita de la progresión geométrica donde $a_1=50$ y $r=0.5$ resulta ser exactamente $100$?
S = 50 / (1 - 0.5) = 50 / 0.5 = 100. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma infinita de la progresión geométrica donde $a_1=50$ y $r=0.5$ resulta ser exactamente $100$?
S = 50 / (1 - 0.5) = 50 / 0.5 = 100. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
¿La suma infinita de la progresión geométrica donde $a_1=50$ y $r=0.5$ resulta ser exactamente $100$?
S = 50 / (1 - 0.5) = 50 / 0.5 = 100. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $30$ metros. Tras chocar con el suelo, rebota alcanzando exactamente $\frac{2}{3}$ de su altura anterior en cada nuevo bote. Si sumamos TODAS las distancias verticales que la pelota recorre (ignorando el rebote de subida y contando solo las bajadas) hasta que finalmente queda en reposo, ¿qué distancia total habrá recorrido de bajada? (v1)
Es la serie infinita de bajadas. a1 = 30, r = 2/3. S = 30 / (1 - 2/3) = 30 / (1/3) = 30 * 3 = 90 metros.
Respuesta: A) $90$ metros.
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Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $30$ metros. Tras chocar con el suelo, rebota alcanzando exactamente $\frac{2}{3}$ de su altura anterior en cada nuevo bote. Si sumamos TODAS las distancias verticales que la pelota recorre (ignorando el rebote de subida y contando solo las bajadas) hasta que finalmente queda en reposo, ¿qué distancia total habrá recorrido de bajada? (v2)
Es la serie infinita de bajadas. a1 = 30, r = 2/3. S = 30 / (1 - 2/3) = 30 / (1/3) = 30 * 3 = 90 metros.
Respuesta: A) $90$ metros.
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Una pelota de goma se deja caer desde una altura inicial de $30$ metros. Tras chocar con el suelo, rebota alcanzando exactamente $\frac{2}{3}$ de su altura anterior en cada nuevo bote. Si sumamos TODAS las distancias verticales que la pelota recorre (ignorando el rebote de subida y contando solo las bajadas) hasta que finalmente queda en reposo, ¿qué distancia total habrá recorrido de bajada? (v3)
Es la serie infinita de bajadas. a1 = 30, r = 2/3. S = 30 / (1 - 2/3) = 30 / (1/3) = 30 * 3 = 90 metros.
Respuesta: A) $90$ metros.