Determinación del primer término a partir de un término conocido y la razón geométrica

M2 — PAES electiva Media

Resumen inicial

La determinación del primer término $a_1$ en una progresión geométrica despeja la ecuación general mediante $a_1 = \frac{a_k}{r^{k-1}}$, dividiendo el término conocido $a_k$ por la potencia acumulada de la razón.

Explicación en palabras simples

Si conoces un término de la progresión (por ejemplo, el término 6) y la razón ($r$), puedes hallar el número inicial ($a_1$) dividiendo:
- Para avanzar multiplicas por $r$, así que para retroceder hacia el inicio divides por $r^{k-1}$:
$$a_1 = \frac{a_k}{r^{k-1}}$$
- Por ejemplo, si el término $5$ vale $162$ y la razón es $r = 3$:
$$a_1 = \frac{162}{3^{5-1}} = \frac{162}{3^4} = \frac{162}{81} = 2$$
- ¡El primer término de la progresión es $a_1 = 2$!

Determinación del primer término en una PG

Explicación formal

Deducción formal por Despeje

Dada la ecuación del término general para el índice $k \in \mathbb{N}$:
$$a_k = a_1 \cdot r^{k-1}$$
Como $r \neq 0$, dividimos ambos miembros por $r^{k-1}$:
$$a_1 = \frac{a_k}{r^{k-1}} = a_k \cdot r^{-(k-1)}$$

Interpretación de la Operación Inversa

  • Cada retroceso de una posición ordinal equivale a multiplicar por el inverso multiplicativo $r^{-1} = \frac{1}{r}$.
  • Para desplazarse desde la posición $k$ hasta la posición $1$ se ejecutan exactamente $(k - 1)$ divisiones consecutivas por $r$.

Síntesis didáctica

  • Ecuación de despeje: $a_1 = \frac{a_k}{r^{k-1}}$.
  • Operación: División por la potencia $(k-1)$ de la razón.
Comprueba tu avance Si en una PG se sabe que $a_3 = 48$ y la razón es $r = 4$, ¿cuál es el valor del primer término $a_1$?

Definiciones clave

  • Primer término ($a_1$): Valor en la posición inicial $n=1$.
  • Término de referencia ($a_k$): Valor conocido en la posición ordinal $k$.
  • Potencia reductora ($r^{k-1}$): Factor acumulado por el cual se divide para regresar a la posición inicial.

Propiedades y relaciones importantes

  • Unicidad de la solución: Para cualquier término $a_k \neq 0$ y razón $r \neq 0$, existe un único valor inicial $a_1 \in \mathbb{R}$.
  • Conservación de signo: Si $r > 0$, el término $a_1$ tiene exactamente el mismo signo que $a_k$.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

En una progresión geométrica, el cuarto término es $a_4 = 54$ y la razón es $r = 3$. Encuentra el primer término $a_1$ y escribe los cuatro primeros términos.

  • Paso 1: Identificamos los datos: $k = 4, a_4 = 54, r = 3$.
  • Paso 2: Aplicamos la fórmula de despeje: $a_1 = \frac{a_4}{r^{4-1}} = \frac{54}{3^3}$.
  • Paso 3: Calculamos la potencia: $3^3 = 27$.
  • Paso 4: Dividimos: $a_1 = \frac{54}{27} = 2$.
  • Paso 5: Los cuatro primeros términos son **$2, 6, 18, 54$**.
Comprueba tu avance En una PG con $r = -2$, si el quinto término es $a_5 = 80$, ¿cuál es el valor de $a_1$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el término conocido $a_k$, su índice $k$ y la razón $r$.
  • Paso 2: Calcular el exponente de retroceso: $k - 1$.
  • Paso 3: Calcular la potencia $r^{k-1}$.
  • Paso 4: Dividir el término conocido entre la potencia: $a_1 = \frac{a_k}{r^{k-1}}$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Multiplicar por $r^{k-1}$ en vez de dividir al despejar $a_1$. Cómo corregirlo: Para regresar al inicio se debe dividir por la potencia de la razón: $a_1 = \frac{a_k}{r^{k-1}}$.
  • Error 2: Dividir por $r^k$ en lugar de $r^{k-1}$. Cómo corregirlo: Desde la posición $1$ hasta la posición $k$ hay exactamente $(k - 1)$ pasos multiplicativos.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $a_5 = 160$ y $r = 2$, ¿cuál es el primer término $a_1$?
2 Si $a_3 = 5$ y $r = \frac{1}{3}$, ¿cuál es el primer término $a_1$?
3 ¿Si $a_3 = 18$ y $r = 3$, el primer término es $a_1 = 2$?
4 ¿Una PG puede tener un primer término negativo como $a_1 = -8$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"El primer término de una PG con razón negativa siempre debe ser obligatoriamente negativo."
"Dividir un número por una fracción menor a uno produce un resultado menor que el número original."
"Dividir por una razón fraccionaria $0 < r < 1$ genera un primer término estrictamente mayor que el término conocido $a_k$ ($k > 1$)."
"El primer término de una PG se calcula mediante $a_1 = \frac{a_k}{r^{k-1}}$ a partir de cualquier término $a_k$ y su razón $r \neq 0$."
"No es posible hallar el primer término a partir de un término lejano si no se conocen los valores intermedios."
"Al despejar el primer término se divide por $r^k$ omitiendo restar uno al exponente."
"Para calcular el primer término $a_1$ se multiplica el término conocido por $r^{k-1}$ en lugar de dividirlo."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Determinar el primer término $a_1$ de una progresión geométrica a partir de un término conocido $a_k$ y la razón $r$.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Resolver la ecuación $a_1 = \frac{a_k}{r^{k-1}}$ aplicando las propiedades algebraicas de la división por potencias.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Números y Álgebra / PAES Matemática.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Al despejar matemáticamente el primer término '$a_1$' de la ecuación $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, la expresión final correcta es: (v1)

  2. Al despejar matemáticamente el primer término '$a_1$' de la ecuación $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, la expresión final correcta es: (v2)

  3. Al despejar matemáticamente el primer término '$a_1$' de la ecuación $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$, la expresión final correcta es: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Desde un enfoque lógico, si un término ha sido multiplicado por la razón '$r$' un total de $3$ veces para llegar a su tamaño actual, ¿qué debes hacer para regresarlo a su tamaño original?

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si el tercer término de una progresión geométrica es $100$ y la razón es $10$, entonces su primer término ($a_1$) vale $1$?

  2. ¿Si el tercer término de una progresión geométrica es $100$ y la razón es $10$, entonces su primer término ($a_1$) vale $1$?

  3. ¿Si el tercer término de una progresión geométrica es $100$ y la razón es $10$, entonces su primer término ($a_1$) vale $1$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un inversionista revisa su cuenta en un fondo mutuo agresivo. Nota que su capital se ha estado duplicando matemáticamente cada año ($r=2$). En el año número $6$ de su inversión (posición $6$), el saldo de su cuenta es de $\$640.000$. ¿Cuánto dinero depositó originalmente en el año $1$ para iniciar este fondo? (v1)

  2. Un inversionista revisa su cuenta en un fondo mutuo agresivo. Nota que su capital se ha estado duplicando matemáticamente cada año ($r=2$). En el año número $6$ de su inversión (posición $6$), el saldo de su cuenta es de $\$640.000$. ¿Cuánto dinero depositó originalmente en el año $1$ para iniciar este fondo? (v3)

  3. Un inversionista revisa su cuenta en un fondo mutuo agresivo. Nota que su capital se ha estado duplicando matemáticamente cada año ($r=2$). En el año número $6$ de su inversión (posición $6$), el saldo de su cuenta es de $\$640.000$. ¿Cuánto dinero depositó originalmente en el año $1$ para iniciar este fondo? (v2)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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