Determinación de la posición de un término en una progresión geométrica
Despejar y calcular la posición (n) de un número en una P.G. utilizando bases iguales o logaritmos simples.
Introducción
Empiezas con 2 bacterias. Se duplican cada hora. De pronto, tienes 1.024 bacterias. ¿Cuántas horas han pasado? Encontrar la incógnita en el exponente es el reto de este recurso.
Explicación
En el mundo de las progresiones aritméticas, despejábamos '$n$' dividiendo. Aquí '$n$' está escondida en un exponente. ¡Estamos lidiando con una Ecuación Exponencial!
Procedimiento de despeje:
1. $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$
2. Pasamos $a_1$ dividiendo: $\frac{a_n}{a_1} = r^{(n-1)}$
3. Ahora debemos expresar el número de la izquierda como una potencia que tenga la misma base '$r$'.
Ejemplo: $a_1 = 5, r = 2$. ¿Qué posición ocupa el número 160?
- $\frac{160}{5} = 2^{(n-1)}$
- $32 = 2^{(n-1)}$
- Expresamos 32 como potencia de 2: sabemos que $32 = 2^5$.
- Entonces: $2^5 = 2^{(n-1)}$
- Igualamos exponentes: $5 = n - 1 \rightarrow n = 6$.
¡El número 160 está en la posición 6!
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Divide el término final por el término inicial ($a_n / a_1$).
- Paso 2: Escribe ese resultado como una potencia usando como base a tu razón 'r'.
- Paso 3: Iguala los exponentes.
- Paso 4: Despeja 'n' (normalmente sumando 1 al otro lado).
Ejemplos
1 La P.G. es 3, 9, 27... ¿En qué posición está el número 243?
- a1 = 3, r = 3.
- 243 = 3 * 3^(n-1)
- 243 / 3 = 81
- 81 = 3^(n-1)
- Sabemos que 81 = 3^4.
- 4 = n - 1 -> n = 5.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar sumar el '+1' al final, entregando solo el número de saltos como respuesta."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"No saber transformar el resultado de la división en una potencia de igual base."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para encontrar la posición '$n$', la ecuación queda como $r^{(n-1)} = \frac{a_n}{a_1}$. Debes igualar las bases a ambos lados para descubrir el exponente, y luego sumarle 1.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al intentar encontrar la posición '$n$' en la ecuación $64 = 2^{(n-1)}$, el método algebraico para resolver esta incógnita en el exponente se basa en el principio de: (v1)
El principio de las ecuaciones exponenciales básicas es tener la misma base en ambos lados ($2^6 = 2^{n-1}$).
Respuesta: A) Igualación de bases, convirtiendo el $64$ a una potencia de base $2$.
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Al intentar encontrar la posición '$n$' en la ecuación $64 = 2^{(n-1)}$, el método algebraico para resolver esta incógnita en el exponente se basa en el principio de: (v3)
El principio de las ecuaciones exponenciales básicas es tener la misma base en ambos lados ($2^6 = 2^{n-1}$).
Respuesta: A) Igualación de bases, convirtiendo el $64$ a una potencia de base $2$.
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Al intentar encontrar la posición '$n$' en la ecuación $64 = 2^{(n-1)}$, el método algebraico para resolver esta incógnita en el exponente se basa en el principio de: (v2)
El principio de las ecuaciones exponenciales básicas es tener la misma base en ambos lados ($2^6 = 2^{n-1}$).
Respuesta: A) Igualación de bases, convirtiendo el $64$ a una potencia de base $2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en medio de un problema de progresión geométrica llegas a la expresión $3^4 = 3^{(n-1)}$, ¿qué ecuación lineal simple debes resolver a continuación para terminar?
Al tener la misma base, simplemente se igualan los exponentes.
Respuesta: A) $4 = n - 1$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El número $1.000.000$ ocupa la posición $n=7$ en la progresión que parte de $1$ y tiene una razón constante de $10$?
$1.000.000 / 1 = 10^{(n-1)}$. Sabemos que un millón es $10^6$. Por lo tanto $6 = n - 1$, lo que da $n = 7$.
Respuesta: Verdadero
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¿El número $1.000.000$ ocupa la posición $n=7$ en la progresión que parte de $1$ y tiene una razón constante de $10$?
$1.000.000 / 1 = 10^{(n-1)}$. Sabemos que un millón es $10^6$. Por lo tanto $6 = n - 1$, lo que da $n = 7$.
Respuesta: Verdadero
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¿El número $1.000.000$ ocupa la posición $n=7$ en la progresión que parte de $1$ y tiene una razón constante de $10$?
$1.000.000 / 1 = 10^{(n-1)}$. Sabemos que un millón es $10^6$. Por lo tanto $6 = n - 1$, lo que da $n = 7$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un correo electrónico de fraude (phishing) es reenviado de tal manera que el número de nuevas víctimas se quintuplica ($r=5$) en cada ronda de envíos. Si en la primera ronda ($n=1$) cayeron $2$ víctimas, ¿en qué ronda caerán exactamente $250$ nuevas víctimas en un solo envío? (v1)
a1 = 2, r = 5. Buscamos n para an=250. 250 / 2 = 125. Ecuación: 125 = 5^(n-1). Como 125 = 5^3, entonces 3 = n - 1 -> n = 4.
Respuesta: A) En la ronda $4$.
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Un correo electrónico de fraude (phishing) es reenviado de tal manera que el número de nuevas víctimas se quintuplica ($r=5$) en cada ronda de envíos. Si en la primera ronda ($n=1$) cayeron $2$ víctimas, ¿en qué ronda caerán exactamente $250$ nuevas víctimas en un solo envío? (v2)
a1 = 2, r = 5. Buscamos n para an=250. 250 / 2 = 125. Ecuación: 125 = 5^(n-1). Como 125 = 5^3, entonces 3 = n - 1 -> n = 4.
Respuesta: A) En la ronda $4$.
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Un correo electrónico de fraude (phishing) es reenviado de tal manera que el número de nuevas víctimas se quintuplica ($r=5$) en cada ronda de envíos. Si en la primera ronda ($n=1$) cayeron $2$ víctimas, ¿en qué ronda caerán exactamente $250$ nuevas víctimas en un solo envío? (v3)
a1 = 2, r = 5. Buscamos n para an=250. 250 / 2 = 125. Ecuación: 125 = 5^(n-1). Como 125 = 5^3, entonces 3 = n - 1 -> n = 4.
Respuesta: A) En la ronda $4$.