Determinación de la posición de un término en una progresión geométrica
Resumen inicial
La determinación de la posición $n$ de un término en una PG resuelve la ecuación exponencial $r^{n-1} = \frac{a_n}{a_1}$ mediante igualación de bases o logaritmos $n = \log_r(\frac{a_n}{a_1}) + 1$, validando que $n \in \mathbb{N}$.
Explicación en palabras simples
Si te dan un número de una progresión geométrica y quieres saber en qué posición está:
- Pasos a seguir:
1. Divides el número entre el primer término: $\frac{a_n}{a_1}$.
2. Expresas ese resultado como una potencia de la razón: $r^{n-1} = r^k$.
3. Igualas los exponentes: $n - 1 = k \implies n = k + 1$.
- Por ejemplo, en la progresión $3, 6, 12, 24, \dots$ ($a_1 = 3, r = 2$), ¿qué posición ocupa el $384$?
- $\frac{384}{3} = 128$
- Como $128 = 2^7$, tenemos que $n - 1 = 7 \implies n = 8$.
- ¡El número $384$ está en la posición $n = 8$!
Explicación formal
Deducción formal por Resolución de Ecuación Exponencial
A partir de la fórmula del término general de la PG:
$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$
1. Aislamos la potencia de la razón:
$$r^{n-1} = \frac{a_n}{a_1}$$
2. Aplicando logaritmo en base $r$ (para $r > 0, r \neq 1$ y $\frac{a_n}{a_1} > 0$):
$$n - 1 = \log_r\left(\frac{a_n}{a_1}\right) = \frac{\ln(a_n / a_1)}{\ln(r)}$$
3. Despejamos el índice ordinal $n$:
$$n = \frac{\ln(a_n) - \ln(a_1)}{\ln(r)} + 1$$
Criterio de Pertenencia
Un valor real $x$ pertenece a la progresión geométrica si y solo si $\frac{x}{a_1} = r^k$ para algún entero no negativo $k \in \mathbb{N}_0$, lo que garantiza que $n = k + 1 \in \mathbb{N}$.
Síntesis didáctica
- Ecuación exponencial: $r^{n-1} = \frac{a_n}{a_1}$.
- Solución entera: $n = \log_r(a_n / a_1) + 1 \in \{1, 2, 3, \dots\}$.
La alternativa correcta es '$n = 5$, calculando $4^{n-1} = \frac{512}{2} = 256 = 4^4 \implies n = 4 + 1 = 5$'. El exponente 4 indica que $n-1=4 \implies n=5$.
Definiciones clave
- Ecuación exponencial: Ecuación donde la incógnita de posición $n$ se encuentra en el exponente.
- Igualación de bases: Método algebraico que utiliza la propiedad $r^u = r^v \iff u = v$.
- Criterio de pertenencia en PG: Condición donde $\frac{a_n}{a_1}$ debe ser una potencia entera exacta de $r$.
Propiedades y relaciones importantes
- Inyectividad de la función exponencial: Para cada valor que pertenece a la PG le corresponde una única posición ordinal $n$.
- Crecimiento superlineal del índice: La posición $n$ crece de forma logarítmica respecto al valor numérico $a_n$.
Ejemplo guiado
En la progresión geométrica $(5, 15, 45, 135, \dots)$, determina qué posición ocupa el número $1.215$ y averigua si el número $500$ pertenece a la progresión.
- Paso 1: Identificamos $a_1 = 5$ y la razón $r = \frac{15}{5} = 3$.
- Paso 2: Para $a_n = 1.215$: planteamos $3^{n-1} = \frac{1.215}{5} = 243$.
- Paso 3: Expresamos $243$ como potencia de $3$: $243 = 3^5$.
- Paso 4: Igualamos exponentes: $n - 1 = 5 \implies n = 6$. El número $1.215$ ocupa la **posición $n = 6$**.
- Paso 5: Para el número $500$: $3^{n-1} = \frac{500}{5} = 100$. Como $100$ no es potencia entera de $3$ ($3^4=81, 3^5=243$), el número $500$ **no pertenece** a la progresión.
La alternativa correcta es 'El valor evaluado no pertenece a la progresión geométrica'. La pertenencia exige un exponente entero exacto en el dominio $\mathbb{N}$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el primer término $a_1$, la razón $r$ y el valor a evaluar $a_n$.
- Paso 2: Dividir $a_n$ entre $a_1$: $\frac{a_n}{a_1}$.
- Paso 3: Escribir el cociente como una potencia de base $r$: $r^k$.
- Paso 4: Despejar la posición sumando 1 al exponente: $n = k + 1$.
- Paso 5: Comprobar que $n$ sea un número natural positivo.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Olvidar sumar 1 al exponente obtenido (confundir $n - 1$ con $n$). Cómo corregirlo: La ecuación es $r^{n-1} = r^k$, por lo que la posición es $n = k + 1$ (sumar obligatoriamente 1).
- Error 2: Dividir $a_n$ entre la razón $r$ en lugar de dividirlo entre el primer término $a_1$. Cómo corregirlo: La base exponencial se aísla dividiendo entre $a_1$: $r^{n-1} = \frac{a_n}{a_1}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $a_1 = 3, r = 4$.
- $4^{n-1} = 768 / 3 = 256 = 4^4 \implies n - 1 = 4 \implies n = 5$.
- $3^4 = 81$ y $3^5 = 243 \implies 100$ no es potencia entera de 3.
- $2^{n-1} = 1.024 = 2^{10} \implies n - 1 = 10 \implies n = 11$.
- El índice de posición $n$ debe pertenecer estrictamente a $\mathbb{N}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Calcular la posición ordinal $n$ de un término y verificar su pertenencia a una progresión geométrica.
Resolver la ecuación exponencial $r^{n-1} = \frac{a_n}{a_1}$ por igualación de bases o logaritmos comprobando que $n \in \mathbb{N}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al intentar encontrar la posición '$n$' en la ecuación $64 = 2^{(n-1)}$, el método algebraico para resolver esta incógnita en el exponente se basa en el principio de: (v1)
El principio de las ecuaciones exponenciales básicas es tener la misma base en ambos lados ($2^6 = 2^{n-1}$).
Respuesta: A) Igualación de bases, convirtiendo el $64$ a una potencia de base $2$.
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Al intentar encontrar la posición '$n$' en la ecuación $64 = 2^{(n-1)}$, el método algebraico para resolver esta incógnita en el exponente se basa en el principio de: (v3)
El principio de las ecuaciones exponenciales básicas es tener la misma base en ambos lados ($2^6 = 2^{n-1}$).
Respuesta: A) Igualación de bases, convirtiendo el $64$ a una potencia de base $2$.
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Al intentar encontrar la posición '$n$' en la ecuación $64 = 2^{(n-1)}$, el método algebraico para resolver esta incógnita en el exponente se basa en el principio de: (v2)
El principio de las ecuaciones exponenciales básicas es tener la misma base en ambos lados ($2^6 = 2^{n-1}$).
Respuesta: A) Igualación de bases, convirtiendo el $64$ a una potencia de base $2$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en medio de un problema de progresión geométrica llegas a la expresión $3^4 = 3^{(n-1)}$, ¿qué ecuación lineal simple debes resolver a continuación para terminar?
Al tener la misma base, simplemente se igualan los exponentes.
Respuesta: A) $4 = n - 1$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El número $1.000.000$ ocupa la posición $n=7$ en la progresión que parte de $1$ y tiene una razón constante de $10$?
$1.000.000 / 1 = 10^{(n-1)}$. Sabemos que un millón es $10^6$. Por lo tanto $6 = n - 1$, lo que da $n = 7$.
Respuesta: Verdadero
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¿El número $1.000.000$ ocupa la posición $n=7$ en la progresión que parte de $1$ y tiene una razón constante de $10$?
$1.000.000 / 1 = 10^{(n-1)}$. Sabemos que un millón es $10^6$. Por lo tanto $6 = n - 1$, lo que da $n = 7$.
Respuesta: Verdadero
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¿El número $1.000.000$ ocupa la posición $n=7$ en la progresión que parte de $1$ y tiene una razón constante de $10$?
$1.000.000 / 1 = 10^{(n-1)}$. Sabemos que un millón es $10^6$. Por lo tanto $6 = n - 1$, lo que da $n = 7$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un correo electrónico de fraude (phishing) es reenviado de tal manera que el número de nuevas víctimas se quintuplica ($r=5$) en cada ronda de envíos. Si en la primera ronda ($n=1$) cayeron $2$ víctimas, ¿en qué ronda caerán exactamente $250$ nuevas víctimas en un solo envío? (v1)
a1 = 2, r = 5. Buscamos n para an=250. 250 / 2 = 125. Ecuación: 125 = 5^(n-1). Como 125 = 5^3, entonces 3 = n - 1 -> n = 4.
Respuesta: A) En la ronda $4$.
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Un correo electrónico de fraude (phishing) es reenviado de tal manera que el número de nuevas víctimas se quintuplica ($r=5$) en cada ronda de envíos. Si en la primera ronda ($n=1$) cayeron $2$ víctimas, ¿en qué ronda caerán exactamente $250$ nuevas víctimas en un solo envío? (v2)
a1 = 2, r = 5. Buscamos n para an=250. 250 / 2 = 125. Ecuación: 125 = 5^(n-1). Como 125 = 5^3, entonces 3 = n - 1 -> n = 4.
Respuesta: A) En la ronda $4$.
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Un correo electrónico de fraude (phishing) es reenviado de tal manera que el número de nuevas víctimas se quintuplica ($r=5$) en cada ronda de envíos. Si en la primera ronda ($n=1$) cayeron $2$ víctimas, ¿en qué ronda caerán exactamente $250$ nuevas víctimas en un solo envío? (v3)
a1 = 2, r = 5. Buscamos n para an=250. 250 / 2 = 125. Ecuación: 125 = 5^(n-1). Como 125 = 5^3, entonces 3 = n - 1 -> n = 4.
Respuesta: A) En la ronda $4$.