Definición de progresión geométrica mediante razón constante
Reconocer las Progresiones Geométricas (P.G.) como sucesiones cuyo crecimiento es multiplicativo (razón constante).
Introducción
Mientras la progresión aritmética camina, la progresión geométrica vuela. Los virus, el interés compuesto de los bancos y las reacciones nucleares crecen de forma explosiva multiplicándose a sí mismas.
Explicación
A diferencia de las aritméticas (que suman paso a pasito), las Progresiones Geométricas se inflan rápidamente.
- La Prueba de Fuego: Toma un término de la fila y divídelo por el que está a su izquierda (Ej: $a_2 / a_1$). Si repites esto para cada par y siempre te da el mismo resultado, es una P.G.
- La Razón ($r$): Es ese factor por el cual se va multiplicando la fila.
- Si $r > 1$, la secuencia explota y crece gigante (Ej: $2, 4, 8, 16\dots$ aquí $r=2$).
- Si $0 < r < 1$ (una fracción como $1/2$), la secuencia se va encogiendo hacia cero (Ej: $100, 50, 25, 12.5\dots$ aquí $r=0.5$).
- Si $r$ es negativo, la secuencia salta de positivo a negativo locamente (Ej: $3, -6, 12, -24\dots$ aquí $r=-2$).
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Para probar si una secuencia es Geométrica, toma el segundo término y divídelo por el primero ($a_2 / a_1$).
- Paso 2: Toma el tercer término y divídelo por el segundo ($a_3 / a_2$).
- Paso 3: Si ambos dan el mismo cociente exacto, entonces el patrón es multiplicativo por ese número 'r'.
Ejemplos
1 Verifica si la sucesión 5, 15, 45, 135 es aritmética o geométrica.
- Prueba Aritmética (Restar): 15 - 5 = 10. 45 - 15 = 30. 10 y 30 son distintos. NO es Aritmética.
- Prueba Geométrica (Dividir): 15 / 5 = 3. 45 / 15 = 3. 135 / 45 = 3. Dan igual. SÍ es Geométrica (r=3).
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundirlas con las aritméticas y tratar de buscar una 'suma constante' cuando en realidad crecen demasiado rápido para ser lineales."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir al revés (el primero dividido por el segundo), calculando la razón invertida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una Progresión Geométrica (P.G.) es una sucesión donde para pasar de un término al siguiente no se suma, sino que se **MULTIPLICA** por un mismo número constante. Ese multiplicador se llama 'Razón' ($r$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál es el mecanismo de crecimiento fundamental que define a una Progresión Geométrica pura? (v2)
La P.G. se basa en el crecimiento multiplicativo constante.
Respuesta: A) Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada 'razón'.
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¿Cuál es el mecanismo de crecimiento fundamental que define a una Progresión Geométrica pura? (v3)
La P.G. se basa en el crecimiento multiplicativo constante.
Respuesta: A) Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada 'razón'.
-
¿Cuál es el mecanismo de crecimiento fundamental que define a una Progresión Geométrica pura? (v1)
La P.G. se basa en el crecimiento multiplicativo constante.
Respuesta: A) Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada 'razón'.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en una Progresión Geométrica la razón 'r' toma un valor fraccionario comprendido entre $0$ y $1$ (por ejemplo, $r = 1/2$), los términos numéricos de la sucesión se comportarán:
Multiplicar por $0.5$ (o $1/2$) reduce el número a la mitad en cada paso.
Respuesta: A) Disminuyendo progresivamente hacia cero sin llegar a ser negativos.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La sucesión $-2, 4, -8, 16, -32$ es una legítima Progresión Geométrica?
Dividimos: $4/(-2) = -2$. $-8/4 = -2$. $16/(-8) = -2$. Sí lo es, la razón es $r=-2$.
Respuesta: Verdadero
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¿La sucesión $-2, 4, -8, 16, -32$ es una legítima Progresión Geométrica?
Dividimos: $4/(-2) = -2$. $-8/4 = -2$. $16/(-8) = -2$. Sí lo es, la razón es $r=-2$.
Respuesta: Verdadero
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¿La sucesión $-2, 4, -8, 16, -32$ es una legítima Progresión Geométrica?
Dividimos: $4/(-2) = -2$. $-8/4 = -2$. $16/(-8) = -2$. Sí lo es, la razón es $r=-2$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un biólogo observa el crecimiento de una nueva cepa celular en una placa de Petri. Descubre que el número de células se cuadruplica exactamente cada hora transcurrida. Si inicialmente colocó $10$ células en la placa, ¿qué tipo de sucesión matemática están formando estas células hora a hora? (v1)
'Se cuadruplica' significa multiplicar por 4 constantemente. Esto define una P.G. con $r=4$.
Respuesta: A) Una progresión geométrica de razón $4$.
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Un biólogo observa el crecimiento de una nueva cepa celular en una placa de Petri. Descubre que el número de células se cuadruplica exactamente cada hora transcurrida. Si inicialmente colocó $10$ células en la placa, ¿qué tipo de sucesión matemática están formando estas células hora a hora? (v2)
'Se cuadruplica' significa multiplicar por 4 constantemente. Esto define una P.G. con $r=4$.
Respuesta: A) Una progresión geométrica de razón $4$.
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Un biólogo observa el crecimiento de una nueva cepa celular en una placa de Petri. Descubre que el número de células se cuadruplica exactamente cada hora transcurrida. Si inicialmente colocó $10$ células en la placa, ¿qué tipo de sucesión matemática están formando estas células hora a hora? (v3)
'Se cuadruplica' significa multiplicar por 4 constantemente. Esto define una P.G. con $r=4$.
Respuesta: A) Una progresión geométrica de razón $4$.