Definición de progresión geométrica mediante razón constante
Resumen inicial
Una progresión geométrica (PG) es una sucesión donde cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante no nula $r \in \mathbb{R}^*$ llamada razón geométrica: $a_{n+1} = a_n \cdot r$.
Explicación en palabras simples
Una progresión geométrica es una lista de números donde cada número se obtiene multiplicando al anterior por un factor constante llamado razón ($r$):
- Si empiezas en $2$ y multiplicas por $3$ en cada paso:
$$2, 6, 18, 54, 162, \dots \quad (r = 3, \text{crecimiento rápido})$$
- Si empiezas en $64$ y multiplicas por $\frac{1}{2}$ (dividir por 2):
$$64, 32, 16, 8, 4, 2, \dots \quad (r = 0,5, \text{decreciente})$$
- Si multiplicas por un número negativo como $-2$:
$$3, -6, 12, -24, 48, \dots \quad (r = -2, \text{signos alternados})$$
Explicación formal
Definición formal
Una sucesión de números reales no nulos $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ es una progresión geométrica (PG) si y solo si existe una constante $r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$, denominada razón geométrica, tal que:
$$a_{n+1} = a_n \cdot r \quad \forall n \ge 1 \iff \frac{a_{n+1}}{a_n} = r$$
Clasificación según la Razón Geométrica ($r$) para $a_1 > 0$
- Creciente: $r > 1 \implies a_1 < a_2 < a_3 < \dots$
- Constante: $r = 1 \implies a_1 = a_2 = a_3 = \dots$
- Decreciente: $0 < r < 1 \implies a_1 > a_2 > a_3 > \dots > 0$
- Alternante u Oscilante: $r < 0 \implies$ los signos de los términos se alternan consecutivamente.
Término General
El término general de la progresión geométrica es una función exponencial discreta:
$$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$$
Síntesis didáctica
- Ecuación de recurrencia: $a_{n+1} = a_n \cdot r$.
- Crecimiento: Modelo multiplicativo exponencial.
La alternativa correcta es 'El cociente entre términos consecutivos es constante: $\frac{a_{n+1}}{a_n} = r$'. Es la propiedad definitoria de las progresiones geométricas.
Definiciones clave
- Progresión Geométrica (PG): Sucesión donde el cociente entre cualquier término y su predecesor es constante.
- Razón geométrica ($r$): Factor multiplicativo no nulo que genera la transición entre términos consecutivos.
- Factor alternante: Comportamiento oscilatorio de signos generado cuando $r < 0$.
Propiedades y relaciones importantes
- Isomorfismo exponencial: Si $(a_n)$ es una PG con razón $r > 0$, entonces la sucesión $\ln(a_n)$ es una PA con diferencia común $d = \ln(r)$.
- Equidistancia geométrica: Para todo trío consecutivo, el cuadrado del término medio es igual al producto de los extremos: $(a_k)^2 = a_{k-1} \cdot a_{k+1}$.
Ejemplo guiado
Dada la progresión geométrica con primer término $a_1 = 5$ y razón geométrica $r = 2$, determina sus primeros cuatro términos y clasifica su tipo de crecimiento.
- Paso 1: Identificamos el término inicial: $a_1 = 5$.
- Paso 2: Multiplicamos por la razón $r = 2$ sucesivamente:
- - $a_2 = 5 \cdot 2 = 10$
- - $a_3 = 10 \cdot 2 = 20$
- - $a_4 = 20 \cdot 2 = 40$
- Paso 3: Como $a_1 > 0$ y $r = 2 > 1$, la progresión es **estrictamente creciente**.
- Conclusión: Los cuatro primeros términos son **$5, 10, 20, 40$**.
La alternativa correcta es '$12$, calculando $a_2 = -6$ y $a_3 = -6 \cdot (-2) = 12$'. El producto de dos números negativos da un resultado positivo.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el primer término $a_1$ y la razón geométrica $r \neq 0$.
- Paso 2: Multiplicar sucesivamente por $r$ para obtener cada nuevo término ($a_{n+1} = a_n \cdot r$).
- Paso 3: Analizar la magnitud y signo de $r$ para clasificar la progresión (creciente, decreciente, alternante o constante).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir la progresión geométrica con la aritmética (sumar la razón en vez de multiplicar). Cómo corregirlo: En la PG se multiplica por el factor constante $r$ en cada paso.
- Error 2: Creer que una razón negativa genera solo números negativos. Cómo corregirlo: Una razón negativa alterna los signos ($+, -, +, -, \dots$) debido a la regla de los signos en la multiplicación.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $a_1 = 4, a_2 = 4 \cdot 3 = 12, a_3 = 12 \cdot 3 = 36$.
- $a_1 = 80, a_2 = 40, a_3 = 20, a_4 = 10$.
- $-4/2 = -2, 8/-4 = -2, -16/8 = -2$.
- $7/7 = 1$ en todos los términos.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Definir, clasificar y construir progresiones geométricas mediante la razón multiplicativa constante.
Aplicar la relación recurrente $a_{n+1} = a_n \cdot r$ evaluando el comportamiento según el valor y signo de $r \in \mathbb{R}^*$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Cuál es el mecanismo de crecimiento fundamental que define a una Progresión Geométrica pura? (v1)
La P.G. se basa en el crecimiento multiplicativo constante.
Respuesta: A) Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada 'razón'.
-
¿Cuál es el mecanismo de crecimiento fundamental que define a una Progresión Geométrica pura? (v2)
La P.G. se basa en el crecimiento multiplicativo constante.
Respuesta: A) Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada 'razón'.
-
¿Cuál es el mecanismo de crecimiento fundamental que define a una Progresión Geométrica pura? (v3)
La P.G. se basa en el crecimiento multiplicativo constante.
Respuesta: A) Cada término se obtiene multiplicando el término anterior por una constante fija llamada 'razón'.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si en una Progresión Geométrica la razón 'r' toma un valor fraccionario comprendido entre $0$ y $1$ (por ejemplo, $r = 1/2$), los términos numéricos de la sucesión se comportarán:
Multiplicar por $0.5$ (o $1/2$) reduce el número a la mitad en cada paso.
Respuesta: A) Disminuyendo progresivamente hacia cero sin llegar a ser negativos.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La sucesión $-2, 4, -8, 16, -32$ es una legítima Progresión Geométrica?
Dividimos: $4/(-2) = -2$. $-8/4 = -2$. $16/(-8) = -2$. Sí lo es, la razón es $r=-2$.
Respuesta: Verdadero
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¿La sucesión $-2, 4, -8, 16, -32$ es una legítima Progresión Geométrica?
Dividimos: $4/(-2) = -2$. $-8/4 = -2$. $16/(-8) = -2$. Sí lo es, la razón es $r=-2$.
Respuesta: Verdadero
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¿La sucesión $-2, 4, -8, 16, -32$ es una legítima Progresión Geométrica?
Dividimos: $4/(-2) = -2$. $-8/4 = -2$. $16/(-8) = -2$. Sí lo es, la razón es $r=-2$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un biólogo observa el crecimiento de una nueva cepa celular en una placa de Petri. Descubre que el número de células se cuadruplica exactamente cada hora transcurrida. Si inicialmente colocó $10$ células en la placa, ¿qué tipo de sucesión matemática están formando estas células hora a hora? (v1)
'Se cuadruplica' significa multiplicar por 4 constantemente. Esto define una P.G. con $r=4$.
Respuesta: A) Una progresión geométrica de razón $4$.
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Un biólogo observa el crecimiento de una nueva cepa celular en una placa de Petri. Descubre que el número de células se cuadruplica exactamente cada hora transcurrida. Si inicialmente colocó $10$ células en la placa, ¿qué tipo de sucesión matemática están formando estas células hora a hora? (v2)
'Se cuadruplica' significa multiplicar por 4 constantemente. Esto define una P.G. con $r=4$.
Respuesta: A) Una progresión geométrica de razón $4$.
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Un biólogo observa el crecimiento de una nueva cepa celular en una placa de Petri. Descubre que el número de células se cuadruplica exactamente cada hora transcurrida. Si inicialmente colocó $10$ células en la placa, ¿qué tipo de sucesión matemática están formando estas células hora a hora? (v3)
'Se cuadruplica' significa multiplicar por 4 constantemente. Esto define una P.G. con $r=4$.
Respuesta: A) Una progresión geométrica de razón $4$.