Cálculo de la suma finita de los n primeros términos de una progresión geométrica
Calcular la suma total acumulada de los primeros 'n' términos de una progresión geométrica.
Introducción
El inventor del ajedrez le pidió al rey 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera... El rey pensó que era barato. No sabía que sumar progresiones geométricas arroja números monumentales. Descubramos cómo calcular ese total.
Explicación
Sumar una P.G. a mano es muy agotador. Usaremos una fórmula cerrada:
$$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$$
Analicemos sus partes:
- $S_n$: La suma total de todo lo acumulado en esos '$n$' casilleros.
- $a_1$: Lo que había en el primer casillero.
- $r^n$: La razón elevada a la cantidad de términos que sumarás. ¡ALERTA! En esta fórmula SÍ elevamos a '$n$', NO a '$(n-1)$'. Este es el error número uno en las pruebas.
Ejemplo: Suma los 4 primeros términos de la serie $5, 15, 45, 135$. (Sabemos que suman 200).
- $a_1 = 5, r = 3, n = 4$.
- $S_4 = \frac{5 \cdot (3^4 - 1)}{3 - 1}$
- $S_4 = \frac{5 \cdot (81 - 1)}{2}$
- $S_4 = \frac{5 \cdot 80}{2} = \frac{400}{2} = 200$.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica $a_1, r$ y la cantidad de términos a sumar ($n$).
- Paso 2: Calcula la potencia $r^n$.
- Paso 3: Resta 1 a ese resultado en el numerador.
- Paso 4: Multiplica el numerador por $a_1$.
- Paso 5: Divide todo por $(r - 1)$.
Ejemplos
1 Ahorras $2 el primer día y cada día duplicas lo del día anterior. ¿Cuánto sumarás en total luego de 5 días?
- a1 = 2, r = 2, n = 5.
- Fórmula: S5 = 2 * (2^5 - 1) / (2 - 1)
- S5 = 2 * (32 - 1) / 1
- S5 = 2 * 31 = 62.
- Suman 62 en total.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Elevar '$r$' a la '$(n-1)$' en vez de '$n$' por inercia o confusión con la fórmula del término general."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir por $(r-1)$ antes de multiplicar el numerador completo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La suma de los primeros '$n$' términos de una P.G. (con $r \neq 1$) se calcula con la fórmula: $S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$. Aquí '$n$' SÍ actúa como exponente directo de '$r$'.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al comparar la fórmula del término general ($a_n$) con la fórmula de la suma finita ($S_n$) de una Progresión Geométrica, una diferencia estructural clave en el exponente de la razón '$r$' es que: (v1)
Es crucial no confundirlas. El término general necesita $(n-1)$ saltos. La suma suma $n$ términos, usa exponente $n$.
Respuesta: A) En la suma finita el exponente es exactamente '$n$', mientras que en el término general es '$(n-1)$'.
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Al comparar la fórmula del término general ($a_n$) con la fórmula de la suma finita ($S_n$) de una Progresión Geométrica, una diferencia estructural clave en el exponente de la razón '$r$' es que: (v2)
Es crucial no confundirlas. El término general necesita $(n-1)$ saltos. La suma suma $n$ términos, usa exponente $n$.
Respuesta: A) En la suma finita el exponente es exactamente '$n$', mientras que en el término general es '$(n-1)$'.
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Al comparar la fórmula del término general ($a_n$) con la fórmula de la suma finita ($S_n$) de una Progresión Geométrica, una diferencia estructural clave en el exponente de la razón '$r$' es que: (v3)
Es crucial no confundirlas. El término general necesita $(n-1)$ saltos. La suma suma $n$ términos, usa exponente $n$.
Respuesta: A) En la suma finita el exponente es exactamente '$n$', mientras que en el término general es '$(n-1)$'.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en la fórmula de suma $S_n = \frac{{a_1(r^n - 1)}}{{r - 1}}$ nos encontramos con que la razón es exactamente $r = 1$, ¿qué problema matemático grave ocurre en la fórmula?
Si $r=1$, $(1-1) = 0$ en el divisor. Por eso la fórmula exige $r \neq 1$. (Si r=1, es solo sumar el mismo número $n$ veces, ej: $2+2+2$).
Respuesta: A) El denominador se vuelve cero, lo cual es matemáticamente indefinido.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La suma de los $3$ primeros términos de la progresión que arranca en $4$ ($a_1=4$) con razón $3$ ($r=3$) da como total final $52$?
$S_3 = \frac{4 \cdot (3^3 - 1)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot (27 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 26}{2} = 2 \cdot 26 = 52$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma de los $3$ primeros términos de la progresión que arranca en $4$ ($a_1=4$) con razón $3$ ($r=3$) da como total final $52$?
$S_3 = \frac{4 \cdot (3^3 - 1)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot (27 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 26}{2} = 2 \cdot 26 = 52$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma de los $3$ primeros términos de la progresión que arranca en $4$ ($a_1=4$) con razón $3$ ($r=3$) da como total final $52$?
$S_3 = \frac{4 \cdot (3^3 - 1)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot (27 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 26}{2} = 2 \cdot 26 = 52$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un donante anónimo aporta dinero a una fundación benéfica en cuotas mensuales. El primer mes dona $\$10.000$, el segundo mes dona $\$20.000$, el tercer mes $\$40.000$, y así sucesivamente, duplicando la donación anterior. Si mantiene este patrón durante exactamente $5$ meses, ¿cuánto dinero en total (la suma de todos los aportes) habrá recibido la fundación? (v2)
a1=10.000, r=2, n=5. S5 = 10000 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 10000 * (32 - 1) / 1 = 10000 * 31 = 310.000.
Respuesta: A) $\$310.000$
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Un donante anónimo aporta dinero a una fundación benéfica en cuotas mensuales. El primer mes dona $\$10.000$, el segundo mes dona $\$20.000$, el tercer mes $\$40.000$, y así sucesivamente, duplicando la donación anterior. Si mantiene este patrón durante exactamente $5$ meses, ¿cuánto dinero en total (la suma de todos los aportes) habrá recibido la fundación? (v1)
a1=10.000, r=2, n=5. S5 = 10000 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 10000 * (32 - 1) / 1 = 10000 * 31 = 310.000.
Respuesta: A) $\$310.000$
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Un donante anónimo aporta dinero a una fundación benéfica en cuotas mensuales. El primer mes dona $\$10.000$, el segundo mes dona $\$20.000$, el tercer mes $\$40.000$, y así sucesivamente, duplicando la donación anterior. Si mantiene este patrón durante exactamente $5$ meses, ¿cuánto dinero en total (la suma de todos los aportes) habrá recibido la fundación? (v3)
a1=10.000, r=2, n=5. S5 = 10000 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 10000 * (32 - 1) / 1 = 10000 * 31 = 310.000.
Respuesta: A) $\$310.000$