Cálculo de la suma finita de los n primeros términos de una progresión geométrica
Resumen inicial
El cálculo de la suma finita de los $n$ primeros términos de una PG con razón $r \neq 1$ utiliza la fórmula cerrada $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$.
Explicación en palabras simples
Para sumar los primeros $n$ términos de una progresión geométrica (por ejemplo, $3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96$):
- Usamos la fórmula de la suma finita:
$$S_n = \frac{a_1 \cdot (r^n - 1)}{r - 1}$$
- ¿Cómo se aplica?
1. Elevas la razón a la cantidad total de términos ($r^n$).
2. Le restas $1$ al resultado: $(r^n - 1)$.
3. Multiplicas por el primer término $a_1$.
4. Divides todo entre $(r - 1)$.
- Por ejemplo, para sumar $6$ términos con $a_1 = 3$ y $r = 2$:
$$S_6 = \frac{3 \cdot (2^6 - 1)}{2 - 1} = \frac{3 \cdot (64 - 1)}{1} = 3 \cdot 63 = 189$$
Explicación formal
Deducción formal por el Método de Multiplicación Telescópica
Sea la suma finita de los $n$ primeros términos:
$$S_n = a_1 + a_1 r + a_1 r^2 + \dots + a_1 r^{n-1}$$
Multiplicamos la ecuación completa por la razón $r$:
$$r S_n = a_1 r + a_1 r^2 + a_1 r^3 + \dots + a_1 r^n$$
Restamos la primera ecuación de la segunda ($r S_n - S_n$):
$$S_n(r - 1) = a_1 r^n - a_1 = a_1(r^n - 1)$$
Para $r \neq 1$, despejamos $S_n$:
$$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{a_1(1 - r^n)}{1 - r}$$
Caso Especial: Razón Unitaria ($r = 1$)
Si $r = 1$, la progresión es constante ($a_k = a_1$) y la suma directa es:
$$S_n = n \cdot a_1$$
Síntesis didáctica
- Caso general ($r \neq 1$): $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$.
- Caso unitario ($r = 1$): $S_n = n \cdot a_1$.
La alternativa correcta es '$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$'. Es la fórmula telescópica para la suma finita de una progresión geométrica.
Definiciones clave
- Suma finita geométrica ($S_n$): Acumulación total de los primeros $n$ términos de una PG.
- Factor de amplificación telescópica ($(r^n - 1)$): Expresión algebraica resultante de la simplificación de términos intermedios.
- Razón no unitaria ($r \neq 1$): Condición indispensable para evitar la división por cero en la fórmula general.
Propiedades y relaciones importantes
- Dominancia del último término: Cuando $r > 1$, la suma $S_n$ es del mismo orden de magnitud que su término final $a_n$.
- Serie geométrica infinita: Si $|r| < 1$, cuando $n \to \infty$, $r^n \to 0$, convergiendo la suma a $S_\infty = \frac{a_1}{1 - r}$.
Ejemplo guiado
Calcula la suma de los primeros 6 términos de la progresión geométrica $(4, 12, 36, 108, \dots)$.
- Paso 1: Identificamos los datos: $a_1 = 4, r = \frac{12}{4} = 3, n = 6$.
- Paso 2: Aplicamos la fórmula de la suma finita: $S_6 = \frac{4 \cdot (3^6 - 1)}{3 - 1}$.
- Paso 3: Calculamos la potencia: $3^6 = 729$.
- Paso 4: Operamos el numerador y denominador: $S_6 = \frac{4 \cdot (729 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 728}{2} = 2 \cdot 728$.
- Paso 5: Resultado final: $S_6 = **1.456$**.
La alternativa correcta es '$75$, calculando $\frac{5 \cdot (2^4 - 1)}{2 - 1} = 5 \cdot (16 - 1) = 5 \cdot 15 = 75$'. La suma directa es $5 + 10 + 20 + 40 = 75$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el primer término $a_1$, la razón $r$ y la cantidad de términos $n$.
- Paso 2: Calcular la potencia $r^n$ (con exponente $n$).
- Paso 3: Restar 1 al resultado de la potencia: $r^n - 1$.
- Paso 4: Multiplicar por $a_1$ y dividir entre $(r - 1)$: $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Usar exponente $(n - 1)$ en la fórmula de la suma (confundirla con el término general). Cómo corregirlo: En la fórmula de la suma el exponente es exactamente $n$: $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$.
- Error 2: Olvidar restar 1 en el denominador (dividir solo por $r$). Cómo corregirlo: El denominador es siempre $(r - 1)$ o $(1 - r)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $S_5 = 1 \cdot (2^5 - 1) / (2 - 1) = 32 - 1 = 31$.
- $S_4 = 16(1 - (1/2)^4) / (1 - 1/2) = 16(1 - 1/16) / (1/2) = 15 / (1/2) = 30$.
- $S_4 = 2(81 - 1) / 2 = 80$.
- Cuando $r=1$, $S_n = n \cdot a_1 = 10 \cdot 7 = 70$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular la suma finita $S_n$ de los $n$ primeros términos de una progresión geométrica.
Aplicar la fórmula cerrada $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$ evaluando la potencia $r^n$ y simplificando el cociente algebraico.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Al comparar la fórmula del término general ($a_n$) con la fórmula de la suma finita ($S_n$) de una Progresión Geométrica, una diferencia estructural clave en el exponente de la razón '$r$' es que: (v2)
Es crucial no confundirlas. El término general necesita $(n-1)$ saltos. La suma suma $n$ términos, usa exponente $n$.
Respuesta: A) En la suma finita el exponente es exactamente '$n$', mientras que en el término general es '$(n-1)$'.
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Al comparar la fórmula del término general ($a_n$) con la fórmula de la suma finita ($S_n$) de una Progresión Geométrica, una diferencia estructural clave en el exponente de la razón '$r$' es que: (v1)
Es crucial no confundirlas. El término general necesita $(n-1)$ saltos. La suma suma $n$ términos, usa exponente $n$.
Respuesta: A) En la suma finita el exponente es exactamente '$n$', mientras que en el término general es '$(n-1)$'.
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Al comparar la fórmula del término general ($a_n$) con la fórmula de la suma finita ($S_n$) de una Progresión Geométrica, una diferencia estructural clave en el exponente de la razón '$r$' es que: (v3)
Es crucial no confundirlas. El término general necesita $(n-1)$ saltos. La suma suma $n$ términos, usa exponente $n$.
Respuesta: A) En la suma finita el exponente es exactamente '$n$', mientras que en el término general es '$(n-1)$'.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Si en la fórmula de suma $S_n = \frac{{a_1(r^n - 1)}}{{r - 1}}$ nos encontramos con que la razón es exactamente $r = 1$, ¿qué problema matemático grave ocurre en la fórmula?
Si $r=1$, $(1-1) = 0$ en el divisor. Por eso la fórmula exige $r \neq 1$. (Si r=1, es solo sumar el mismo número $n$ veces, ej: $2+2+2$).
Respuesta: A) El denominador se vuelve cero, lo cual es matemáticamente indefinido.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿La suma de los $3$ primeros términos de la progresión que arranca en $4$ ($a_1=4$) con razón $3$ ($r=3$) da como total final $52$?
$S_3 = \frac{4 \cdot (3^3 - 1)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot (27 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 26}{2} = 2 \cdot 26 = 52$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma de los $3$ primeros términos de la progresión que arranca en $4$ ($a_1=4$) con razón $3$ ($r=3$) da como total final $52$?
$S_3 = \frac{4 \cdot (3^3 - 1)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot (27 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 26}{2} = 2 \cdot 26 = 52$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿La suma de los $3$ primeros términos de la progresión que arranca en $4$ ($a_1=4$) con razón $3$ ($r=3$) da como total final $52$?
$S_3 = \frac{4 \cdot (3^3 - 1)}{3 - 1} = \frac{4 \cdot (27 - 1)}{2} = \frac{4 \cdot 26}{2} = 2 \cdot 26 = 52$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un donante anónimo aporta dinero a una fundación benéfica en cuotas mensuales. El primer mes dona $\$10.000$, el segundo mes dona $\$20.000$, el tercer mes $\$40.000$, y así sucesivamente, duplicando la donación anterior. Si mantiene este patrón durante exactamente $5$ meses, ¿cuánto dinero en total (la suma de todos los aportes) habrá recibido la fundación? (v1)
a1=10.000, r=2, n=5. S5 = 10000 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 10000 * (32 - 1) / 1 = 10000 * 31 = 310.000.
Respuesta: A) $\$310.000$
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Un donante anónimo aporta dinero a una fundación benéfica en cuotas mensuales. El primer mes dona $\$10.000$, el segundo mes dona $\$20.000$, el tercer mes $\$40.000$, y así sucesivamente, duplicando la donación anterior. Si mantiene este patrón durante exactamente $5$ meses, ¿cuánto dinero en total (la suma de todos los aportes) habrá recibido la fundación? (v2)
a1=10.000, r=2, n=5. S5 = 10000 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 10000 * (32 - 1) / 1 = 10000 * 31 = 310.000.
Respuesta: A) $\$310.000$
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Un donante anónimo aporta dinero a una fundación benéfica en cuotas mensuales. El primer mes dona $\$10.000$, el segundo mes dona $\$20.000$, el tercer mes $\$40.000$, y así sucesivamente, duplicando la donación anterior. Si mantiene este patrón durante exactamente $5$ meses, ¿cuánto dinero en total (la suma de todos los aportes) habrá recibido la fundación? (v3)
a1=10.000, r=2, n=5. S5 = 10000 * (2^5 - 1) / (2 - 1) = 10000 * (32 - 1) / 1 = 10000 * 31 = 310.000.
Respuesta: A) $\$310.000$