Modelamiento de situaciones de cambio lineal mediante progresiones aritméticas
Modelar situaciones reales de la vida cotidiana que presentan un cambio constante como progresiones aritméticas.
Introducción
¿Acaso el taxímetro del Uber usa sucesiones numéricas? ¿La cuenta de la luz? ¡Sí! Cuando algo cobra un cargo fijo más un extra por cada kilómetro o minuto, estás frente a una progresión aritmética disfrazada.
Explicación
No vas a ir por la calle calculando $a_n$. Vas a calcular tarifas de celular, depreciación de autos o crecimiento de plantas.
Para modelar un problema real con P.A:
1. Identifica la Diferencia ($d$): Busca las palabras clave 'por cada', 'aumento mensual de', 'baja a un ritmo de'. Ese es el número que siempre se suma o resta.
2. Identifica el Inicio ($a_1$): ¡Ojo aquí! A veces el 'cargo fijo' actúa como el término inicial, pero otras veces el cargo fijo ocurre antes del primer paso. Debes leer con cuidado si el primer evento real incluye ya un aumento o es solo la base.
Ejemplo: Un plan de teléfono cobra $\$5000$ fijos al mes, más $\$100$ por cada minuto hablado.
- Si hablas 1 min: Pagas $5000 + 100 = 5100$ ($a_1$).
- Si hablas 2 min: Pagas $5000 + 200 = 5200$ ($a_2$).
La diferencia es $d=100$. Es una progresión aritmética perfecta.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Lee el problema y confirma que los aumentos o disminuciones sean SIEMPRE por el mismo número absoluto (no porcentajes).
- Paso 2: Traduce el 'ritmo de cambio' a la diferencia 'd'.
- Paso 3: Traduce el primer evento al término $a_1$.
- Paso 4: Usa las fórmulas de P.A. para proyectar al futuro (Término General) o totalizar (Suma Finita).
Ejemplos
1 Juana tiene $\$10.000$ y decide guardar $\$2.000$ extras cada mes. ¿Cuánto dinero total tendrá ahorrado justo al cumplirse el mes 6?
- Cuidado: El mes 1 no empieza con 10.000. Ese es el mes cero.
- Mes 1 ahorra y llega a: 10.000 + 2.000 = 12.000 (a1 = 12.000).
- La diferencia es d = 2.000.
- Me piden cuánto tiene en el mes 6 (a6).
- a6 = 12.000 + (6-1)*2.000 = 12.000 + 10.000 = 22.000.
- Tendrá $22.000.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el 'término cero' (cargo fijo) con el $a_1$ de la fórmula. Si $a_1$ es el valor al mes 1, a veces hay que sumarle una vez 'd' al valor base para hallar $a_1$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Usar P.A. para problemas de intereses compuestos o poblaciones de bacterias (que crecen multiplicando, no sumando)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una situación se modela con P.A. si y solo si presenta un 'costo inicial o base' y un 'crecimiento/decrecimiento constante por unidad'. Es matemáticamente equivalente a una función lineal ($y = mx + n$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Cuál de las siguientes situaciones de la vida real NO puede ser modelada bajo ningún concepto mediante una Progresión Aritmética? (v1)
Duplicar implica multiplicar (crecimiento exponencial/geométrico). La P.A. requiere sumar/restar una cantidad fija lineal.
Respuesta: A) Una población de conejos que se duplica rigurosamente cada mes.
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¿Cuál de las siguientes situaciones de la vida real NO puede ser modelada bajo ningún concepto mediante una Progresión Aritmética? (v2)
Duplicar implica multiplicar (crecimiento exponencial/geométrico). La P.A. requiere sumar/restar una cantidad fija lineal.
Respuesta: A) Una población de conejos que se duplica rigurosamente cada mes.
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¿Cuál de las siguientes situaciones de la vida real NO puede ser modelada bajo ningún concepto mediante una Progresión Aritmética? (v3)
Duplicar implica multiplicar (crecimiento exponencial/geométrico). La P.A. requiere sumar/restar una cantidad fija lineal.
Respuesta: A) Una población de conejos que se duplica rigurosamente cada mes.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al modelar un problema de arriendo de maquinaria que cobra un monto inicial '$B$' solo por el despacho, y un cobro de '$M$' por cada día de uso, si queremos que $a_1$ represente el costo de arrendar por un (1) día, su valor debe ser:
El primer día pagas el despacho más el costo del día 1. Por ende $a_1 = B + M$.
Respuesta: A) $a_1 = B + M$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si un árbol de navidad mide inicialmente $100$ cm al comprarlo, y crece exactamente $5$ cm cada año nuevo, entonces la altura en el año '$n$' se puede modelar como $a_n = 100 + 5n$?
En el año 1 (n=1) medirá 105. $100+5(1) = 105$. En el año 2: $100+10 = 110$. Modela perfectamente.
Respuesta: Verdadero
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¿Si un árbol de navidad mide inicialmente $100$ cm al comprarlo, y crece exactamente $5$ cm cada año nuevo, entonces la altura en el año '$n$' se puede modelar como $a_n = 100 + 5n$?
En el año 1 (n=1) medirá 105. $100+5(1) = 105$. En el año 2: $100+10 = 110$. Modela perfectamente.
Respuesta: Verdadero
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¿Si un árbol de navidad mide inicialmente $100$ cm al comprarlo, y crece exactamente $5$ cm cada año nuevo, entonces la altura en el año '$n$' se puede modelar como $a_n = 100 + 5n$?
En el año 1 (n=1) medirá 105. $100+5(1) = 105$. En el año 2: $100+10 = 110$. Modela perfectamente.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un teatro tiene sus filas de asientos ordenadas de forma progresiva. La primera fila frente al escenario tiene $20$ asientos. Cada fila sucesiva hacia atrás tiene exactamente $4$ asientos más que la fila anterior. Si el teatro tiene un total de $15$ filas en la platea baja, ¿cuántos asientos en total tiene disponible esta zona? (v1)
Es una suma de P.A. n=15, a1=20, d=4. Última fila: a15 = 20 + 144 = 20 + 56 = 76. Suma total: S15 = (15/2)(20 + 76) = 7.5 * 96 = 720.
Respuesta: A) $720$ asientos.
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Un teatro tiene sus filas de asientos ordenadas de forma progresiva. La primera fila frente al escenario tiene $20$ asientos. Cada fila sucesiva hacia atrás tiene exactamente $4$ asientos más que la fila anterior. Si el teatro tiene un total de $15$ filas en la platea baja, ¿cuántos asientos en total tiene disponible esta zona? (v2)
Es una suma de P.A. n=15, a1=20, d=4. Última fila: a15 = 20 + 144 = 20 + 56 = 76. Suma total: S15 = (15/2)(20 + 76) = 7.5 * 96 = 720.
Respuesta: A) $720$ asientos.
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Un teatro tiene sus filas de asientos ordenadas de forma progresiva. La primera fila frente al escenario tiene $20$ asientos. Cada fila sucesiva hacia atrás tiene exactamente $4$ asientos más que la fila anterior. Si el teatro tiene un total de $15$ filas en la platea baja, ¿cuántos asientos en total tiene disponible esta zona? (v3)
Es una suma de P.A. n=15, a1=20, d=4. Última fila: a15 = 20 + 144 = 20 + 56 = 76. Suma total: S15 = (15/2)(20 + 76) = 7.5 * 96 = 720.
Respuesta: A) $720$ asientos.