Determinación del primer término a partir de un término conocido y la diferencia común
Despejar y calcular el primer término ($a_1$) de una P.A. conociendo un término cualquiera y la diferencia.
Introducción
A veces entras al cine cuando la película ya empezó. Te muestran el final de la progresión y te piden descubrir cómo empezó. Para esto debemos usar nuestra fórmula maestra, pero caminando hacia atrás.
Explicación
El término general funciona como una ecuación. Si tienes 3 de las 4 piezas del rompecabezas, puedes encontrar la faltante despejando la incógnita.
Fórmula original: $a_n = a_1 + (n-1)d$
Si queremos encontrar $a_1$, simplemente pasamos todo el bloque de los pasos restando hacia el otro lado:
Fórmula despejada: $a_1 = a_n - (n-1)d$
Traducción lógica: 'Al término donde estoy ahora, le RESTO todos los pasos que di, y así regreso al inicio'.
Ejemplo: Sabemos que el término 8 vale 40 ($a_8=40$) y que la sucesión avanza de 4 en 4 ($d=4$). ¿Cuál era el primer número?
- $a_1 = 40 - (8-1) \cdot 4$
- $a_1 = 40 - (7) \cdot 4$
- $a_1 = 40 - 28 = 12$.
¡La película empezó en el 12!
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el valor del término conocido ($a_n$) y qué posición ocupa ($n$).
- Paso 2: Identifica la diferencia ($d$).
- Paso 3: Calcula cuántos pasos hay entre tu posición y el inicio (que es $n-1$).
- Paso 4: Multiplica esos pasos por la diferencia y réstaselo a tu término conocido.
Ejemplos
1 El décimo término de una P.A. es 5 y la diferencia es -2. ¿Cuánto vale el primer término?
- Datos: a10=5, n=10, d=-2.
- Fórmula: a1 = a10 - (10-1)*d
- a1 = 5 - (9) * (-2)
- a1 = 5 - (-18)
- a1 = 5 + 18 = 23.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Equivocarse en la regla de los signos al restar un bloque que contiene una diferencia negativa, como en $40 - (7 \cdot -4)$."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Sustituir los datos de '$a_n$' y '$n$' al revés en la ecuación."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Si conoces un término lejano ($a_n$), su posición ($n$) y la diferencia ($d$), puedes hallar el origen ($a_1$) despejando la fórmula principal: $a_1 = a_n - (n - 1) \cdot d$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si transformamos la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ con el objetivo de despejar el primer término ($a_1$), la expresión matemática correcta y equivalente es: (v1)
El término $+(n-1)d$ pasa completo restando hacia el lado de $a_n$.
Respuesta: A) $a_1 = a_n - (n-1)d$
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Si transformamos la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ con el objetivo de despejar el primer término ($a_1$), la expresión matemática correcta y equivalente es: (v2)
El término $+(n-1)d$ pasa completo restando hacia el lado de $a_n$.
Respuesta: A) $a_1 = a_n - (n-1)d$
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Si transformamos la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ con el objetivo de despejar el primer término ($a_1$), la expresión matemática correcta y equivalente es: (v3)
El término $+(n-1)d$ pasa completo restando hacia el lado de $a_n$.
Respuesta: A) $a_1 = a_n - (n-1)d$
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Desde el punto de vista lógico, si me encuentro en la posición $15$ y quiero regresar a la posición $1$ (el primer término), debo deshacer o retroceder exactamente:
De la posición 1 a la 15 hay $15 - 1 = 14$ intervalos o pasos.
Respuesta: A) $14$ pasos.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si el sexto término de una P.A. es $20$ y la diferencia es $2$, entonces el primer término necesariamente debe ser $10$?
a1 = 20 - (6-1)2 = 20 - 52 = 20 - 10 = 10. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿Si el sexto término de una P.A. es $20$ y la diferencia es $2$, entonces el primer término necesariamente debe ser $10$?
a1 = 20 - (6-1)2 = 20 - 52 = 20 - 10 = 10. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿Si el sexto término de una P.A. es $20$ y la diferencia es $2$, entonces el primer término necesariamente debe ser $10$?
a1 = 20 - (6-1)2 = 20 - 52 = 20 - 10 = 10. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un atleta corre diariamente aumentando su distancia en una cantidad fija (progresión aritmética). El día número $8$ de su entrenamiento logró correr exactamente $12$ km. Si se sabe que cada día aumentaba su distancia en $0.5$ km ($d=0.5$), ¿cuántos kilómetros corrió el primer día de su plan? (v1)
a8 = 12, d = 0.5, n = 8. Despejamos: a1 = 12 - (8-1)0.5 = 12 - 70.5 = 12 - 3.5 = 8.5 km.
Respuesta: A) $8.5$ km.
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Un atleta corre diariamente aumentando su distancia en una cantidad fija (progresión aritmética). El día número $8$ de su entrenamiento logró correr exactamente $12$ km. Si se sabe que cada día aumentaba su distancia en $0.5$ km ($d=0.5$), ¿cuántos kilómetros corrió el primer día de su plan? (v2)
a8 = 12, d = 0.5, n = 8. Despejamos: a1 = 12 - (8-1)0.5 = 12 - 70.5 = 12 - 3.5 = 8.5 km.
Respuesta: A) $8.5$ km.
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Un atleta corre diariamente aumentando su distancia en una cantidad fija (progresión aritmética). El día número $8$ de su entrenamiento logró correr exactamente $12$ km. Si se sabe que cada día aumentaba su distancia en $0.5$ km ($d=0.5$), ¿cuántos kilómetros corrió el primer día de su plan? (v3)
a8 = 12, d = 0.5, n = 8. Despejamos: a1 = 12 - (8-1)0.5 = 12 - 70.5 = 12 - 3.5 = 8.5 km.
Respuesta: A) $8.5$ km.