Determinación del primer término a partir de un término conocido y la diferencia común

M1 — PAES obligatoria Media

Resumen inicial

La determinación del primer término $a_1$ despeja la fórmula del término general mediante $a_1 = a_k - (k - 1)d$, retrocediendo $k - 1$ pasos desde un término conocido $a_k$.

Explicación en palabras simples

Si conoces un número de la lista (por ejemplo, el término 12) y sabes cuánto sumas en cada paso ($d$), puedes retroceder en el tiempo para descubrir con qué número empezó la progresión ($a_1$):
- Desde el término $k$, retrocedes $(k - 1)$ pasos restando la diferencia:
$$a_1 = a_k - (k - 1) \cdot d$$
- Por ejemplo, si el término $12$ vale $47$ y la diferencia es $d = 4$:
$$a_1 = 47 - (12 - 1) \cdot 4 = 47 - 11 \cdot 4 = 47 - 44 = 3$$
- ¡El primer término con el que empezó todo es $a_1 = 3$!

Determinación del primer término

Explicación formal

Deducción formal por Despeje

Dada la ecuación del término general para el índice $k \in \mathbb{N}$:
$$a_k = a_1 + (k - 1)d$$
Aplicando las propiedades del inverso aditivo en $\mathbb{R}$, restamos $(k - 1)d$ a ambos miembros:
$$a_1 = a_k - (k - 1)d$$

Interpretación Geométrica y Operativa

  • Se conoce el punto $(k, a_k)$ y la pendiente $d$.
  • El primer término $a_1$ corresponde a la ordenada en la abscisa $n=1$.
  • Si la progresión es creciente ($d > 0$), el valor inicial $a_1$ es menor que $a_k$.
  • Si la progresión es decreciente ($d < 0$), el valor inicial $a_1$ es mayor que $a_k$.

Síntesis didáctica

  • Ecuación de despeje: $a_1 = a_k - (k-1)d$.
  • Principio: Retroceso de $(k-1)$ pasos diferenciales.
Comprueba tu avance Si en una PA se conoce que $a_{10} = 45$ y $d = 4$, ¿cuál es la ecuación correcta para hallar el primer término $a_1$?

Definiciones clave

  • Primer término ($a_1$): Valor de inicio de la secuencia en la posición ordinal $n=1$.
  • Término de referencia ($a_k$): Término conocido en una posición cualquiera $k$.
  • Retroceso aditivo: Operación de sustracción de los pasos acumulados $(k-1)d$.

Propiedades y relaciones importantes

  • Unicidad de la solución: Para un término $a_k$ y una diferencia $d$ dados, existe un único primer término $a_1 \in \mathbb{R}$.
  • Reversibilidad: Con $a_1$ obtenido, la evaluación de la fórmula general en $n=k$ debe regenerar exactamente el valor $a_k$.

Ejemplo guiado

Ejemplo guiado

En una progresión aritmética, el vigésimo término es $a_{20} = 98$ y la diferencia común es $d = 5$. Encuentra el primer término $a_1$ y escribe los tres primeros términos.

  • Paso 1: Identificamos los datos: $k = 20, a_{20} = 98, d = 5$.
  • Paso 2: Aplicamos la fórmula de despeje: $a_1 = a_{20} - (20 - 1) \cdot 5$.
  • Paso 3: Realizamos las operaciones: $a_1 = 98 - 19 \cdot 5 = 98 - 95 = 3$.
  • Paso 4: El primer término es **$a_1 = 3$**, y los tres primeros términos son **$3, 8, 13$**.
Comprueba tu avance En una PA decreciente con $d = -3$, si el octavo término es $a_8 = -5$, ¿cuál es el valor de $a_1$?

Procedimiento

  • Paso 1: Identificar el término conocido $a_k$, su posición $k$ y la diferencia común $d$.
  • Paso 2: Calcular el número de pasos a retroceder: $k - 1$.
  • Paso 3: Multiplicar $(k - 1) \cdot d$.
  • Paso 4: Restar este producto al valor del término conocido: $a_1 = a_k - (k - 1)d$.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

  • Error 1: Sumar $(k-1)d$ en vez de restarlo al despejar $a_1$. Cómo corregirlo: Para retroceder hacia el inicio se debe restar la acumulación de pasos: $a_1 = a_k - (k-1)d$.
  • Error 2: Usar $k$ en vez de $(k-1)$ al retroceder. Cómo corregirlo: La distancia en pasos desde $a_1$ hasta $a_k$ es exactamente $k - 1$.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

1 Si $a_{15} = 60$ y $d = 4$, ¿cuál es el primer término $a_1$?
2 Si $a_6 = 10$ y $d = -5$, ¿cuál es el primer término $a_1$?
3 ¿Si $a_4 = 19$ y $d = 5$, el primer término es $a_1 = 4$?
4 ¿Una progresión aritmética puede tener un primer término negativo como $a_1 = -12$?

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Al despejar el primer término se retroceden $k$ pasos completos en lugar de $(k-1)$ pasos."
"En presencia de una diferencia negativa $d$, se cambia el signo del término conocido $a_k$."
"El primer término de una PA se calcula mediante $a_1 = a_k - (k - 1)d$ a partir de cualquier término $a_k$ y su diferencia común $d$."
"Para calcular el primer término $a_1$ se suma $(k-1)d$ al término conocido $a_k$ en lugar de restarlo."
"En una progresión estrictamente decreciente ($d < 0$), el primer término $a_1$ es estrictamente mayor que cualquier término posterior $a_k$ ($k > 1$)."
"El primer término $a_1$ de una PA decreciente es menor que cualquiera de los términos posteriores."
"El primer término no puede ser calculado a partir de un término intermedio sin conocer todos los anteriores."

Al terminar debes poder

Resumen visual

🎯 QUÉ Objetivo

Determinar el primer término $a_1$ de una progresión aritmética a partir de un término conocido $a_k$ y la diferencia común $d$.

⚙️ CÓMO Procedimiento

Despejar algebraicamente la ecuación general aplicando $a_1 = a_k - (k - 1)d$ considerando la regla de los signos.

Fuente: Texto escolar MINEDUC — Números y Álgebra / PAES Matemática.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

  1. Si transformamos la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ con el objetivo de despejar el primer término ($a_1$), la expresión matemática correcta y equivalente es: (v1)

  2. Si transformamos la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ con el objetivo de despejar el primer término ($a_1$), la expresión matemática correcta y equivalente es: (v2)

  3. Si transformamos la fórmula $a_n = a_1 + (n-1)d$ con el objetivo de despejar el primer término ($a_1$), la expresión matemática correcta y equivalente es: (v3)

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

  1. Desde el punto de vista lógico, si me encuentro en la posición $15$ y quiero regresar a la posición $1$ (el primer término), debo deshacer o retroceder exactamente:

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

  1. ¿Si el sexto término de una P.A. es $20$ y la diferencia es $2$, entonces el primer término necesariamente debe ser $10$?

  2. ¿Si el sexto término de una P.A. es $20$ y la diferencia es $2$, entonces el primer término necesariamente debe ser $10$?

  3. ¿Si el sexto término de una P.A. es $20$ y la diferencia es $2$, entonces el primer término necesariamente debe ser $10$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

  1. Un atleta corre diariamente aumentando su distancia en una cantidad fija (progresión aritmética). El día número $8$ de su entrenamiento logró correr exactamente $12$ km. Si se sabe que cada día aumentaba su distancia en $0.5$ km ($d=0.5$), ¿cuántos kilómetros corrió el primer día de su plan? (v1)

  2. Un atleta corre diariamente aumentando su distancia en una cantidad fija (progresión aritmética). El día número $8$ de su entrenamiento logró correr exactamente $12$ km. Si se sabe que cada día aumentaba su distancia en $0.5$ km ($d=0.5$), ¿cuántos kilómetros corrió el primer día de su plan? (v2)

  3. Un atleta corre diariamente aumentando su distancia en una cantidad fija (progresión aritmética). El día número $8$ de su entrenamiento logró correr exactamente $12$ km. Si se sabe que cada día aumentaba su distancia en $0.5$ km ($d=0.5$), ¿cuántos kilómetros corrió el primer día de su plan? (v3)

Evaluación de dominio

☆☆☆ 0/3 niveles aprobados
Nivel 1 Definición
Nivel 2 Ejercicios simples
Nivel 3 Problemas de aplicación

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