Determinación de la posición de un término en una progresión aritmética
Despejar y calcular la posición (n) que ocupa un número específico dentro de una progresión aritmética.
Introducción
¿A qué hora llegará el tren a la estación número 50? Ya sabemos calcular el número conociendo la posición, pero ¿y si te dan el número y te preguntan en qué asiento va sentado? Esto requiere encontrar la incógnita 'n'.
Explicación
Supongamos que el primer término es 3 ($a_1=3$) y vas sumando 4 ($d=4$). De repente encuentras el número 43. ¿Qué posición ocupa en la lista?
Volvemos a nuestra fiel ecuación $a_n = a_1 + (n-1)d$, pero ahora la incógnita es '$n$'.
Fórmula despejada para el índice:
$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$
Traducción lógica: 'Resto mi destino menos el inicio para saber la distancia total. Divido por el tamaño del paso para saber cuántos pasos di. Y le sumo 1 porque ya estaba parado en el primer casillero'.
Resolviendo el ejemplo:
- $n = \frac{43 - 3}{4} + 1$
- $n = \frac{40}{4} + 1$
- $n = 10 + 1 = 11$
El número 43 está en la 11va posición.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Resta el término final menos el término inicial ($a_n - a_1$).
- Paso 2: Divide ese resultado por la diferencia constante 'd'.
- Paso 3: Súmale 1 al resultado de la división.
- Paso 4: Comprueba que tu respuesta sea un número natural (no puede existir la posición 3.5 o -2).
Ejemplos
1 La sucesión es 15, 20, 25... ¿En qué posición se encuentra el número 105?
- a1 = 15, d = 5. Destino an = 105.
- Distancia total: 105 - 15 = 90.
- Pasos dados: 90 / 5 = 18.
- Posición final: 18 + 1 = 19.
- El 105 está en la posición 19.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar sumar el '+1' al final del despeje, entregando como respuesta solo el número de 'saltos'."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Dividir por 'd' antes de haber hecho la resta $a_n - a_1$ (error de jerarquía de fracciones)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para saber la posición de un término, despejamos '$n$' de la fórmula general: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$. El resultado final siempre debe ser un número entero positivo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si al despejar la posición '$n$' de un número dentro de una progresión aritmética el resultado final nos da $n = 5.3$, ¿cuál es la interpretación matemática correcta? (v1)
No existe la posición 5.3 en una fila, igual que no existe la persona número 5.3 en una cola del banco. 'n' debe ser Natural.
Respuesta: A) Ese número no pertenece y jamás aparecerá en la sucesión, pues las posiciones deben ser enteros positivos.
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Si al despejar la posición '$n$' de un número dentro de una progresión aritmética el resultado final nos da $n = 5.3$, ¿cuál es la interpretación matemática correcta? (v2)
No existe la posición 5.3 en una fila, igual que no existe la persona número 5.3 en una cola del banco. 'n' debe ser Natural.
Respuesta: A) Ese número no pertenece y jamás aparecerá en la sucesión, pues las posiciones deben ser enteros positivos.
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Si al despejar la posición '$n$' de un número dentro de una progresión aritmética el resultado final nos da $n = 5.3$, ¿cuál es la interpretación matemática correcta? (v3)
No existe la posición 5.3 en una fila, igual que no existe la persona número 5.3 en una cola del banco. 'n' debe ser Natural.
Respuesta: A) Ese número no pertenece y jamás aparecerá en la sucesión, pues las posiciones deben ser enteros positivos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al utilizar la fórmula rápida $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$, el acto de sumar $1$ al final del cálculo representa lógicamente:
La división $\frac{a_n - a_1}{d}$ calcula los 'intervalos' o pasos. Hay que sumar 1 para convertir intervalos en cantidad de postes/términos.
Respuesta: A) Contabilizar el primer término o punto de partida, que ocurre antes de dar el primer 'paso'.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El número $50$ ocupa la posición $n=10$ en la progresión aritmética que arranca en $5$ ($a_1=5$) y aumenta de $5$ en $5$ ($d=5$)?
$n = (50 - 5)/5 + 1 = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10$. Verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿El número $50$ ocupa la posición $n=10$ en la progresión aritmética que arranca en $5$ ($a_1=5$) y aumenta de $5$ en $5$ ($d=5$)?
$n = (50 - 5)/5 + 1 = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10$. Verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿El número $50$ ocupa la posición $n=10$ en la progresión aritmética que arranca en $5$ ($a_1=5$) y aumenta de $5$ en $5$ ($d=5$)?
$n = (50 - 5)/5 + 1 = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10$. Verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una piscina pierde $20$ litros de agua cada día debido a una filtración (progresión aritmética). El día 1 la piscina tenía $1.000$ litros ($a_1 = 1000$). Si la diferencia de volumen diario es $d = -20$, ¿en qué día exacto el volumen de la piscina llegará por primera vez a los $400$ litros? (v1)
$n = (400 - 1000)/(-20) + 1 = (-600)/(-20) + 1 = 30 + 1 = 31$.
Respuesta: A) Día $31$.
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Una piscina pierde $20$ litros de agua cada día debido a una filtración (progresión aritmética). El día 1 la piscina tenía $1.000$ litros ($a_1 = 1000$). Si la diferencia de volumen diario es $d = -20$, ¿en qué día exacto el volumen de la piscina llegará por primera vez a los $400$ litros? (v2)
$n = (400 - 1000)/(-20) + 1 = (-600)/(-20) + 1 = 30 + 1 = 31$.
Respuesta: A) Día $31$.
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Una piscina pierde $20$ litros de agua cada día debido a una filtración (progresión aritmética). El día 1 la piscina tenía $1.000$ litros ($a_1 = 1000$). Si la diferencia de volumen diario es $d = -20$, ¿en qué día exacto el volumen de la piscina llegará por primera vez a los $400$ litros? (v3)
$n = (400 - 1000)/(-20) + 1 = (-600)/(-20) + 1 = 30 + 1 = 31$.
Respuesta: A) Día $31$.