Determinación de la posición de un término en una progresión aritmética
Resumen inicial
La determinación de la posición $n$ de un término despeja el índice mediante $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$, exigiendo que $n$ pertenezca a los números naturales ($n \in \mathbb{N}$) como criterio de pertenencia.
Explicación en palabras simples
Si te dan un número y quieres saber en qué lugar de la fila está:
- Despejamos la posición ($n$) con esta regla:
$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$
- Pasos a seguir:
1. Restas el número menos el primer término ($a_n - a_1$).
2. Divides ese resultado entre el paso ($d$).
3. Al final, sumas $1$.
- Importante: La posición $n$ debe ser un número entero positivo ($1, 2, 3, \dots$). Si te da un número decimal, significa que ese número no pertenece a la progresión.
Explicación formal
Deducción formal por Despeje
A partir de la ecuación canónica de la progresión aritmética:
$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$
1. Restamos $a_1$ a ambos miembros: $a_n - a_1 = (n - 1)d$.
2. Dividimos por $d$ ($d \neq 0$): $\frac{a_n - a_1}{d} = n - 1$.
3. Sumamos $1$:
$$n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$$
Criterio de Pertenencia a la Progresión
Un número real $x \in \mathbb{R}$ pertenece a la progresión aritmética $(a_n)$ si y solo si el valor resultante de la evaluación:
$$n(x) = \frac{x - a_1}{d} + 1$$
satisface que $n(x) \in \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. Si $n(x) \notin \mathbb{N}$, el valor $x$ no forma parte de la secuencia.
Síntesis didáctica
- Ecuación de posición: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$.
- Validación: $n \in \{1, 2, 3, \dots\}$.
La alternativa correcta es 'El valor evaluado no pertenece a la progresión aritmética, ya que $n$ debe ser un número entero positivo'. El dominio de las sucesiones está restringido a $\mathbb{N}$.
Definiciones clave
- Posición ordinal ($n$): Índice entero positivo que ubica al término en la sucesión.
- Criterio de pertenencia: Condición algebraica que exige que $(a_n - a_1)$ sea un múltiplo entero exacto de $d$.
- Término objetivo ($a_n$): Valor numérico cuya ubicación en la secuencia se desea determinar.
Propiedades y relaciones importantes
- Divisibilidad estricta: $x$ está en la PA si y solo si $d$ divide exactamente a $(x - a_1)$ con cociente mayor o igual a cero.
- Biyección posicional: Para cada valor que pertenece a la PA le corresponde una única posición $n$.
Ejemplo guiado
En la progresión aritmética $(5, 9, 13, 17, \dots)$, determina qué posición ocupa el número $81$ y averigua si el número $95$ pertenece a la progresión.
- Paso 1: Identificamos $a_1 = 5$ y $d = 9 - 5 = 4$.
- Paso 2: Para $a_n = 81$: $n = \frac{81 - 5}{4} + 1 = \frac{76}{4} + 1 = 19 + 1 = 20$. Como $20 \in \mathbb{N}$, el número $81$ ocupa la **posición $n = 20$**.
- Paso 3: Para el número $95$: $n = \frac{95 - 5}{4} + 1 = \frac{90}{4} + 1 = 22,5 + 1 = 23,5$.
- Paso 4: Como $23,5 \notin \mathbb{N}$, el número $95$ **no pertenece** a la progresión aritmética.
La alternativa correcta es '$n = 12$, calculando $\frac{62 - 7}{5} + 1 = \frac{55}{5} + 1 = 11 + 1 = 12$'. Con $a_1=7$ y $d=5$, la posición es 12.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el primer término $a_1$, la diferencia común $d$ y el valor a evaluar $a_n$.
- Paso 2: Restar $a_n - a_1$.
- Paso 3: Dividir la resta entre la diferencia $d$.
- Paso 4: Sumar 1 al cociente obtenido: $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$.
- Paso 5: Comprobar que $n$ sea un número natural ($n \in \{1, 2, 3, \dots\}$).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Olvidar sumar 1 al final del despeje (calcular solo $\frac{a_n - a_1}{d}$). Cómo corregirlo: La fórmula de la posición es $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$ (sumar obligatoriamente 1).
- Error 2: Redondear decimales para forzar la pertenencia de un número que no está en la progresión. Cómo corregirlo: Si $n$ no es entero, el número no pertenece a la sucesión.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $a_1 = 4, d = 6$.
- $n = (100 - 4)/6 + 1 = 96/6 + 1 = 16 + 1 = 17$.
- $47$ no es divisible por $4 \implies n \notin \mathbb{N}$.
- $n = (0 - 50)/(-5) + 1 = -50/-5 + 1 = 10 + 1 = 11$.
- Las posiciones ordinales deben ser números enteros positivos $\mathbb{N}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular la posición ordinal $n$ de un término y verificar su pertenencia a una progresión aritmética.
Evaluar $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$ comprobando rigurosamente que $n \in \mathbb{N}$.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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Si al despejar la posición '$n$' de un número dentro de una progresión aritmética el resultado final nos da $n = 5.3$, ¿cuál es la interpretación matemática correcta? (v1)
No existe la posición 5.3 en una fila, igual que no existe la persona número 5.3 en una cola del banco. 'n' debe ser Natural.
Respuesta: A) Ese número no pertenece y jamás aparecerá en la sucesión, pues las posiciones deben ser enteros positivos.
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Si al despejar la posición '$n$' de un número dentro de una progresión aritmética el resultado final nos da $n = 5.3$, ¿cuál es la interpretación matemática correcta? (v3)
No existe la posición 5.3 en una fila, igual que no existe la persona número 5.3 en una cola del banco. 'n' debe ser Natural.
Respuesta: A) Ese número no pertenece y jamás aparecerá en la sucesión, pues las posiciones deben ser enteros positivos.
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Si al despejar la posición '$n$' de un número dentro de una progresión aritmética el resultado final nos da $n = 5.3$, ¿cuál es la interpretación matemática correcta? (v2)
No existe la posición 5.3 en una fila, igual que no existe la persona número 5.3 en una cola del banco. 'n' debe ser Natural.
Respuesta: A) Ese número no pertenece y jamás aparecerá en la sucesión, pues las posiciones deben ser enteros positivos.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Al utilizar la fórmula rápida $n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1$, el acto de sumar $1$ al final del cálculo representa lógicamente:
La división $\frac{a_n - a_1}{d}$ calcula los 'intervalos' o pasos. Hay que sumar 1 para convertir intervalos en cantidad de postes/términos.
Respuesta: A) Contabilizar el primer término o punto de partida, que ocurre antes de dar el primer 'paso'.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿El número $50$ ocupa la posición $n=10$ en la progresión aritmética que arranca en $5$ ($a_1=5$) y aumenta de $5$ en $5$ ($d=5$)?
$n = (50 - 5)/5 + 1 = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10$. Verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿El número $50$ ocupa la posición $n=10$ en la progresión aritmética que arranca en $5$ ($a_1=5$) y aumenta de $5$ en $5$ ($d=5$)?
$n = (50 - 5)/5 + 1 = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10$. Verdadero.
Respuesta: Verdadero
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¿El número $50$ ocupa la posición $n=10$ en la progresión aritmética que arranca en $5$ ($a_1=5$) y aumenta de $5$ en $5$ ($d=5$)?
$n = (50 - 5)/5 + 1 = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10$. Verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una piscina pierde $20$ litros de agua cada día debido a una filtración (progresión aritmética). El día 1 la piscina tenía $1.000$ litros ($a_1 = 1000$). Si la diferencia de volumen diario es $d = -20$, ¿en qué día exacto el volumen de la piscina llegará por primera vez a los $400$ litros? (v3)
$n = (400 - 1000)/(-20) + 1 = (-600)/(-20) + 1 = 30 + 1 = 31$.
Respuesta: A) Día $31$.
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Una piscina pierde $20$ litros de agua cada día debido a una filtración (progresión aritmética). El día 1 la piscina tenía $1.000$ litros ($a_1 = 1000$). Si la diferencia de volumen diario es $d = -20$, ¿en qué día exacto el volumen de la piscina llegará por primera vez a los $400$ litros? (v1)
$n = (400 - 1000)/(-20) + 1 = (-600)/(-20) + 1 = 30 + 1 = 31$.
Respuesta: A) Día $31$.
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Una piscina pierde $20$ litros de agua cada día debido a una filtración (progresión aritmética). El día 1 la piscina tenía $1.000$ litros ($a_1 = 1000$). Si la diferencia de volumen diario es $d = -20$, ¿en qué día exacto el volumen de la piscina llegará por primera vez a los $400$ litros? (v2)
$n = (400 - 1000)/(-20) + 1 = (-600)/(-20) + 1 = 30 + 1 = 31$.
Respuesta: A) Día $31$.