Diferencia entre sucesión definida por término general y por recurrencia
Diferenciar entre la fórmula del término general (explícita) y la de recurrencia, comprendiendo sus ventajas.
Introducción
Si quieres saber qué número está en la posición 1.000 de una fila, tienes dos opciones: o cuentas uno a uno desde el principio (recurrencia), o tomas un atajo matemático que te deja ahí instantáneamente (fórmula explícita).
Explicación
Una misma sucesión, por ejemplo los múltiplos de cinco ($5, 10, 15, 20\dots$), puede escribirse en 'dos idiomas':
- Idioma Explícito (Término General): $a_n = 5 \cdot n$
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Ventaja: Es rápido. Si quieres el término 100, haces $5 \cdot 100 = 500$. Listo.
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Idioma Recursivo: $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} + 5$
- Desventaja: Es lento para el futuro. Si quieres el término 100, primero debes calcular los 99 anteriores.
- Ventaja: Es muy fácil de entender y de programar en un computador. La famosa sucesión de Fibonacci ($1, 1, 2, 3, 5, 8\dots$) es muy fácil de escribir como recurrencia ($a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$), pero su fórmula explícita es horriblemente compleja.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Para identificar una fórmula EXPLÍCITA, busca que solo contenga la letra '$n$' operando con números.
- Paso 2: Para identificar una fórmula RECURSIVA, busca que contenga expresiones con subíndices de posiciones relativas, como '$a_{n-1}$' o '$a_{n-2}$'.
- Paso 3: Si te piden un término muy lejano, intenta siempre deducir la explícita.
Ejemplos
1 Analiza: Opción 1: $b_n = 2n + 1$. Opción 2: $b_n = b_{n-1} + 2$. ¿Cuál es cuál?
- Opción 1 solo usa 'n'. Es explícita (Término General).
- Opción 2 usa 'b_{n-1}'. Es recursiva.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir el concepto de recurrencia con el de término general en preguntas de verdadero/falso."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Intentar calcular el término cien usando una recurrencia a mano, perdiendo valioso tiempo en una prueba."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
La **Fórmula Explícita** ($a_n = 5n$) usa solo 'n' y te permite hallar cualquier posición directamente. La **Recurrencia** ($a_n = a_{n-1} + 5$) usa términos anteriores y te obliga a calcular todo paso a paso.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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La principal ventaja matemática de definir una sucesión mediante una fórmula 'explícita' (término general) en lugar de una recursiva es: (v1)
La fórmula explícita evalúa directamente en 'n', actuando como un atajo.
Respuesta: A) Permite calcular el valor de un término en una posición lejana sin necesidad de calcular todos los anteriores.
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La principal ventaja matemática de definir una sucesión mediante una fórmula 'explícita' (término general) en lugar de una recursiva es: (v2)
La fórmula explícita evalúa directamente en 'n', actuando como un atajo.
Respuesta: A) Permite calcular el valor de un término en una posición lejana sin necesidad de calcular todos los anteriores.
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La principal ventaja matemática de definir una sucesión mediante una fórmula 'explícita' (término general) en lugar de una recursiva es: (v3)
La fórmula explícita evalúa directamente en 'n', actuando como un atajo.
Respuesta: A) Permite calcular el valor de un término en una posición lejana sin necesidad de calcular todos los anteriores.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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Identifica cuál de las siguientes expresiones algebraicas corresponde a la definición 'recursiva' de una sucesión:
Es la única que hace referencia a un término anterior ($a_{n-1}$) dentro de su fórmula.
Respuesta: A) $a_n = a_{n-1} + 4$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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¿Si queremos calcular el término número $1.000$ de una sucesión, nos resulta mucho más rápido utilizar la fórmula de recurrencia que el término general explícito?
Totalmente falso. La recurrencia obligaría a calcular 999 pasos previos. La explícita nos lleva directo.
Respuesta: Falso
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¿Si queremos calcular el término número $1.000$ de una sucesión, nos resulta mucho más rápido utilizar la fórmula de recurrencia que el término general explícito?
Totalmente falso. La recurrencia obligaría a calcular 999 pasos previos. La explícita nos lleva directo.
Respuesta: Falso
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¿Si queremos calcular el término número $1.000$ de una sucesión, nos resulta mucho más rápido utilizar la fórmula de recurrencia que el término general explícito?
Totalmente falso. La recurrencia obligaría a calcular 999 pasos previos. La explícita nos lleva directo.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Una sucesión tiene como regla recursiva $a_1 = 3$ y $a_n = a_{n-1} + 3$. Al inspeccionar los números generados, un profesor pide a sus estudiantes crear la fórmula explícita equivalente (el término general en función de '$n$'). ¿Cuál de las siguientes propuestas es la correcta? (v1)
La recurrencia genera $3, 6, 9, 12\dots$ Esta lista es la tabla del 3. La fórmula que multiplica la posición por 3 es $3n$.
Respuesta: A) $a_n = 3n$
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Una sucesión tiene como regla recursiva $a_1 = 3$ y $a_n = a_{n-1} + 3$. Al inspeccionar los números generados, un profesor pide a sus estudiantes crear la fórmula explícita equivalente (el término general en función de '$n$'). ¿Cuál de las siguientes propuestas es la correcta? (v2)
La recurrencia genera $3, 6, 9, 12\dots$ Esta lista es la tabla del 3. La fórmula que multiplica la posición por 3 es $3n$.
Respuesta: A) $a_n = 3n$
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Una sucesión tiene como regla recursiva $a_1 = 3$ y $a_n = a_{n-1} + 3$. Al inspeccionar los números generados, un profesor pide a sus estudiantes crear la fórmula explícita equivalente (el término general en función de '$n$'). ¿Cuál de las siguientes propuestas es la correcta? (v3)
La recurrencia genera $3, 6, 9, 12\dots$ Esta lista es la tabla del 3. La fórmula que multiplica la posición por 3 es $3n$.
Respuesta: A) $a_n = 3n$