Concepto de sucesión definida por recurrencia simple

Resumen inicial

Una sucesión por recurrencia simple define cada término en función del término anterior $a_n = g(a_{n-1})$ junto a una condición inicial obligatoria $a_1 = c$.

Explicación en palabras simples

En una sucesión por recurrencia, cada número se calcula usando el número que vino justo antes (efecto cadena):
- Paso 1 (Condición inicial): Te dan el primer número para empezar, por ejemplo: $a_1 = 3$.
- Paso 2 (Regla de paso): Te dicen qué hacerle al anterior para obtener el siguiente, por ejemplo: $a_n = a_{n-1} + 5$.
- $a_2 = a_1 + 5 = 3 + 5 = 8$
- $a_3 = a_2 + 5 = 8 + 5 = 13$
- $a_4 = a_3 + 5 = 13 + 5 = 18$
- Sin el punto de partida ($a_1$), la regla no puede empezar a calcular nada.

Concepto de sucesión por recurrencia simple

Explicación formal

Definición formal

Una relación de recurrencia simple de primer orden para una sucesión $(a_n)_{n \ge 1}$ es un sistema inductivo compuesto por:
$$\begin{cases} a_1 = c & (\text{Condición inicial o caso base}) \\ a_n = g(a_{n-1}) & (\text{Ecuación de recurrencia para } n \ge 2) \end{cases}$$
donde $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función de transición real y $c \in \mathbb{R}$ es una constante prefijada.

Principio de Inducción y Unicidad

Por el Principio de Inducción Matemática, el par $(c, g)$ define de manera única y bien determinada la sucesión completa $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$. La ausencia de la condición inicial $a_1 = c$ deja infinitas trayectorias posibles.

Tipos Principales de Recurrencia Simple

Aditiva (Aritmética): $a_n = a_{n-1} + d \implies a_n = a_1 + (n-1)d$.
Multiplicativa (Geométrica): $a_n = r \cdot a_{n-1} \implies a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
Afín: $a_n = r \cdot a_{n-1} + d$.

Síntesis didáctica

Estructura: Caso base $a_1$ + Paso inductivo $a_n = g(a_{n-1})$.
Cálculo: Encadenado término a término.

Definiciones clave

Relación de recurrencia: Ecuación que expresa el término $n$-ésimo en función de términos precedentes.
Condición inicial ($a_1$): Valor asignado al término de partida indispensable para evaluar la recurrencia.
Paso recursivo: Aplicación de la regla $g$ sobre el valor anterior para generar el nuevo término.

Propiedades y relaciones importantes

Dependencia secuencial: Para calcular $a_k$ por el método recursivo directo, se deben calcular obligatoriamente todos los términos $a_2, a_3, \dots, a_{k-1}$.
Resolución de recurrencias: Proceso algebraico mediante el cual se transforma una definición recurrente en una fórmula explícita de término general $a_n = f(n)$.

Ejemplo guiado

Dada la sucesión definida por la recurrencia $a_1 = 4$ y $a_n = 2a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los primeros cuatro términos.

Paso 1: Identificamos el término inicial dado: **$a_1 = 4$**.
Paso 2: Calculamos $a_2$ usando $a_1$: $a_2 = 2a_1 - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = **7$**.
Paso 3: Calculamos $a_3$ usando $a_2$: $a_3 = 2a_2 - 1 = 2(7) - 1 = 14 - 1 = **13$**.
Paso 4: Calculamos $a_4$ usando $a_3$: $a_4 = 2a_3 - 1 = 2(13) - 1 = 26 - 1 = **25$**.
Conclusión: Los cuatro primeros términos son **$4, 7, 13, 25$**.

Procedimiento

Paso 1: Identificar el valor numérico del término inicial $a_1$.
Paso 2: Sustituir $a_1$ en la regla de recurrencia para calcular $a_2 = g(a_1)$.
Paso 3: Sustituir el resultado obtenido $a_2$ para calcular $a_3 = g(a_2)$.
Paso 4: Repetir el procedimiento secuencialmente hasta alcanzar la posición $n$ requerida.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Omitir la condición inicial $a_1$ al intentar resolver una relación recurrente. Cómo corregirlo: Toda recurrencia requiere obligatoriamente el valor de partida $a_1$ para poder operar.
Error 2: Confundir el subíndice $n-1$ con restar 1 al valor del término ($a_n - 1$). Cómo corregirlo: $a_{n-1}$ significa el valor del término anterior, no restarle 1 al término actual.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"La condición inicial $a_1$ de una recurrencia debe ser obligatoriamente igual a cero."

"En una definición recurrente es posible calcular directamente el término cincuenta sin calcular ninguno de los anteriores."

"La notación $a_{n-1}$ equivale a restarle el número uno al valor del término $a_n$."

"El cálculo recursivo directo opera mediante una cadena inductiva término a término."

"Una relación de recurrencia define cada término $a_n$ en función del término precedente $a_{n-1}$ a partir de una condición inicial $a_1$."

"Una relación de recurrencia puede generar valores numéricos sin necesidad de definir una condición inicial."

"Las sucesiones por recurrencia no pueden modelar crecimientos multiplicativos ni geométricos."

Al terminar debes poder

Resumen visual

Comprender y calcular términos de sucesiones definidas mediante relaciones de recurrencia simple.

Aplicar el paso recursivo $a_n = g(a_{n-1})$ de forma encadenada a partir de la condición inicial fijada $a_1 = c$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v1)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.

Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.
En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v2)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.

Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.
En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v3)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.

Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Para que una fórmula de recurrencia funcione y permita generar los números, ¿qué dato adicional es absolutamente obligatorio conocer?
Sin un punto de partida, la recurrencia no tiene qué número utilizar para iniciar la cadena.

Respuesta: A) Un valor inicial o semilla (por ejemplo, $a_1$).

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?
¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?
¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v3)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Respuesta: A) $26$
Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v2)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Respuesta: A) $26$
Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v1)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Respuesta: A) $26$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación