Concepto de sucesión definida por recurrencia simple

Resumen inicial

Una sucesión por recurrencia simple define cada término en función del término anterior $a_n = g(a_{n-1})$ junto a una condición inicial obligatoria $a_1 = c$.

Explicación en palabras simples

En una sucesión por recurrencia, cada número se calcula usando el número que vino justo antes (efecto cadena):
- Paso 1 (Condición inicial): Te dan el primer número para empezar, por ejemplo: $a_1 = 3$.
- Paso 2 (Regla de paso): Te dicen qué hacerle al anterior para obtener el siguiente, por ejemplo: $a_n = a_{n-1} + 5$.
- $a_2 = a_1 + 5 = 3 + 5 = 8$
- $a_3 = a_2 + 5 = 8 + 5 = 13$
- $a_4 = a_3 + 5 = 13 + 5 = 18$
- Sin el punto de partida ($a_1$), la regla no puede empezar a calcular nada.

Concepto de sucesión por recurrencia simple

Explicación formal

Definición formal

Una relación de recurrencia simple de primer orden para una sucesión $(a_n)_{n \ge 1}$ es un sistema inductivo compuesto por:
$$\begin{cases} a_1 = c & (\text{Condición inicial o caso base}) \\ a_n = g(a_{n-1}) & (\text{Ecuación de recurrencia para } n \ge 2) \end{cases}$$
donde $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es una función de transición real y $c \in \mathbb{R}$ es una constante prefijada.

Principio de Inducción y Unicidad

Por el Principio de Inducción Matemática, el par $(c, g)$ define de manera única y bien determinada la sucesión completa $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$. La ausencia de la condición inicial $a_1 = c$ deja infinitas trayectorias posibles.

Tipos Principales de Recurrencia Simple

Aditiva (Aritmética): $a_n = a_{n-1} + d \implies a_n = a_1 + (n-1)d$.
Multiplicativa (Geométrica): $a_n = r \cdot a_{n-1} \implies a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$.
Afín: $a_n = r \cdot a_{n-1} + d$.

Síntesis didáctica

Estructura: Caso base $a_1$ + Paso inductivo $a_n = g(a_{n-1})$.
Cálculo: Encadenado término a término.

Definiciones clave

Relación de recurrencia: Ecuación que expresa el término $n$-ésimo en función de términos precedentes.
Condición inicial ($a_1$): Valor asignado al término de partida indispensable para evaluar la recurrencia.
Paso recursivo: Aplicación de la regla $g$ sobre el valor anterior para generar el nuevo término.

Propiedades y relaciones importantes

Dependencia secuencial: Para calcular $a_k$ por el método recursivo directo, se deben calcular obligatoriamente todos los términos $a_2, a_3, \dots, a_{k-1}$.
Resolución de recurrencias: Proceso algebraico mediante el cual se transforma una definición recurrente en una fórmula explícita de término general $a_n = f(n)$.

Ejemplo guiado

Dada la sucesión definida por la recurrencia $a_1 = 4$ y $a_n = 2a_{n-1} - 1$ para $n \ge 2$, calcula los primeros cuatro términos.

Paso 1: Identificamos el término inicial dado: **$a_1 = 4$**.
Paso 2: Calculamos $a_2$ usando $a_1$: $a_2 = 2a_1 - 1 = 2(4) - 1 = 8 - 1 = **7$**.
Paso 3: Calculamos $a_3$ usando $a_2$: $a_3 = 2a_2 - 1 = 2(7) - 1 = 14 - 1 = **13$**.
Paso 4: Calculamos $a_4$ usando $a_3$: $a_4 = 2a_3 - 1 = 2(13) - 1 = 26 - 1 = **25$**.
Conclusión: Los cuatro primeros términos son **$4, 7, 13, 25$**.

Procedimiento

Paso 1: Identificar el valor numérico del término inicial $a_1$.
Paso 2: Sustituir $a_1$ en la regla de recurrencia para calcular $a_2 = g(a_1)$.
Paso 3: Sustituir el resultado obtenido $a_2$ para calcular $a_3 = g(a_2)$.
Paso 4: Repetir el procedimiento secuencialmente hasta alcanzar la posición $n$ requerida.

Errores frecuentes y cómo corregirlos

Error 1: Omitir la condición inicial $a_1$ al intentar resolver una relación recurrente. Cómo corregirlo: Toda recurrencia requiere obligatoriamente el valor de partida $a_1$ para poder operar.
Error 2: Confundir el subíndice $n-1$ con restar 1 al valor del término ($a_n - 1$). Cómo corregirlo: $a_{n-1}$ significa el valor del término anterior, no restarle 1 al término actual.

Ejemplos

Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.

Ejemplos Verdadero/Falso

Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.

"Una relación de recurrencia define cada término $a_n$ en función del término precedente $a_{n-1}$ a partir de una condición inicial $a_1$."

"Las sucesiones por recurrencia no pueden modelar crecimientos multiplicativos ni geométricos."

"La notación $a_{n-1}$ equivale a restarle el número uno al valor del término $a_n$."

"En una definición recurrente es posible calcular directamente el término cincuenta sin calcular ninguno de los anteriores."

"La condición inicial $a_1$ de una recurrencia debe ser obligatoriamente igual a cero."

"Una relación de recurrencia puede generar valores numéricos sin necesidad de definir una condición inicial."

"El cálculo recursivo directo opera mediante una cadena inductiva término a término."

Al terminar debes poder

Resumen visual

Comprender y calcular términos de sucesiones definidas mediante relaciones de recurrencia simple.

Aplicar el paso recursivo $a_n = g(a_{n-1})$ de forma encadenada a partir de la condición inicial fijada $a_1 = c$.

Practica

Preguntas conceptuales

Verificar las ideas clave antes de calcular.

En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v1)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.

Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.
En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v2)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.

Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.
En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v3)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.

Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.

Reconocimiento

Identificar elementos, datos o procedimientos.

Para que una fórmula de recurrencia funcione y permita generar los números, ¿qué dato adicional es absolutamente obligatorio conocer?
Sin un punto de partida, la recurrencia no tiene qué número utilizar para iniciar la cadena.

Respuesta: A) Un valor inicial o semilla (por ejemplo, $a_1$).

Ejercicios básicos

Aplicar el procedimiento principal en casos simples.

¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?
¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?
¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?

Preguntas tipo PAES

Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.

Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v2)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Respuesta: A) $26$
Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v3)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Respuesta: A) $26$
Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v1)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.

Respuesta: A) $26$

Evaluación de dominio

Nivel 1 Definición

Nivel 2 Ejercicios simples

Nivel 3 Problemas de aplicación