Concepto de sucesión definida por recurrencia simple
Entender y utilizar el concepto de sucesión definida por recurrencia, donde cada término depende del anterior.
Introducción
Imagina una cadena de favores: solo puedes hacer un favor si alguien te hizo uno primero. En matemáticas, hay fórmulas que te obligan a conocer el número anterior para poder calcular el siguiente. Eso es la recurrencia.
Explicación
Hasta ahora vimos el Término General, que funciona como un teletransportador (pones $n=100$ y viajas directo al valor cien).
Pero muchas sucesiones se definen de forma Recursiva. Esta notación funciona como subir escalones: no puedes saltar al escalón 100 sin pisar el 99 antes.
Una definición recursiva SIEMPRE tiene dos partes:
1. Una semilla (condición inicial): Te deben decir cómo empieza. Ej: $a_1 = 2$.
2. La regla de dependencia: Una fórmula que usa $a_{n-1}$. (Recuerda: si '$a_n$' es el término de ahora, '$a_{n-1}$' significa 'el término anterior').
Ejemplo: $a_1 = 2$, $a_n = a_{n-1} + 3$
Traducción al español: 'Empieza en 2. Para calcular cualquier número, toma el resultado anterior y súmale 3'.
- $a_2 = a_1 + 3 = 2 + 3 = 5$
- $a_3 = a_2 + 3 = 5 + 3 = 8$
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el valor inicial o semilla ($a_1$).
- Paso 2: Lee la fórmula de recurrencia. Donde veas '$a_{n-1}$', reemplázalo por el valor del número que calculaste en el paso anterior.
- Paso 3: Repite el ciclo (iteración) hasta llegar a la posición deseada.
Ejemplos
1 Si $a_1 = 10$ y la recurrencia es $a_n = a_{n-1} \cdot 2$. Calcula el tercer término ($a_3$).
- Empezamos con a1 = 10.
- Calculamos a2 reemplazando el valor de a1: $a_2 = 10 \cdot 2 = 20$.
- Calculamos a3 reemplazando el valor de a2: $a_3 = 20 \cdot 2 = 40$.
- El tercer término es 40.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Reemplazar la letra '$n$' por la posición directamente en el lugar de '$a_{n-1}$'. (Ej. pensar que $a_{n-1}$ vale 4 si estás en la posición 5). ¡$a_{n-1}$ representa el VALOR de la casilla anterior, no la posición!"
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Olvidar la condición inicial y no saber de dónde arrancar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una sucesión recursiva se define dando el primer término (ej. $a_1 = 5$) y una regla que conecta el término actual ($a_n$) con el término inmediatamente anterior ($a_{n-1}$).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v1)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.
Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.
-
En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v2)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.
Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.
-
En la definición de una sucesión recursiva o por recurrencia, la expresión algebraica '$a_{n-1}$' representa estrictamente: (v3)
El subíndice $n-1$ indica la posición anterior. Por ende, la expresión completa representa el valor alojado en esa posición anterior.
Respuesta: A) El valor numérico del término inmediatamente anterior en la sucesión.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Para que una fórmula de recurrencia funcione y permita generar los números, ¿qué dato adicional es absolutamente obligatorio conocer?
Sin un punto de partida, la recurrencia no tiene qué número utilizar para iniciar la cadena.
Respuesta: A) Un valor inicial o semilla (por ejemplo, $a_1$).
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?
$a_2 = 5 - 1 = 4$. $a_3 = 4 - 1 = 3$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?
$a_2 = 5 - 1 = 4$. $a_3 = 4 - 1 = 3$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si una sucesión se define como $a_1 = 5$ y $a_n = a_{n-1} - 1$, entonces el tercer término $a_3$ será igual a $3$?
$a_2 = 5 - 1 = 4$. $a_3 = 4 - 1 = 3$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v2)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.
Respuesta: A) $26$
-
Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v3)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.
Respuesta: A) $26$
-
Un algoritmo matemático produce números siguiendo la regla recursiva: $x_1 = 2$, y para el resto, $x_n = (x_{n-1})^2 + 1$. ¿Cuál es el valor exacto del tercer número que arrojará este algoritmo ($x_3$)? (v1)
x1 = 2. Para n=2: $x_2 = (x_1)^2 + 1 = 2^2 + 1 = 5$. Para n=3: $x_3 = (x_2)^2 + 1 = 5^2 + 1 = 25 + 1 = 26$.
Respuesta: A) $26$