Cálculo de términos de una sucesión a partir del término general
Resumen inicial
El cálculo de términos de una sucesión evalúa la regla explícita $a_n = f(n)$ para valores específicos del índice $n = 1, 2, 3, \dots$, aplicando la jerarquía de las operaciones aritméticas.
Explicación en palabras simples
Calcular los términos de una sucesión es como usar una calculadora donde introduces la posición ($n$) y la fórmula te entrega el valor ($a_n$):
- Si la regla es $a_n = \frac{2n - 1}{n + 1}$:
- En $n = 1$: $a_1 = \frac{2(1) - 1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$
- En $n = 2$: $a_2 = \frac{2(2) - 1}{2 + 1} = \frac{3}{3} = 1$
- En $n = 3$: $a_3 = \frac{2(3) - 1}{3 + 1} = \frac{5}{4}$
- Solo debes sustituir la letra $n$ por el número de posición y resolver con cuidado las operaciones.
Explicación formal
Definición formal
El proceso de evaluación de una sucesión definida por su término general $a_n = f(n)$ consiste en la aplicación del operador de sustitución posicional para un conjunto finito de índices $I = \{k_1, k_2, \dots, k_m\} \subset \mathbb{N}$:
$$k \longmapsto a_k = f(k) \quad (k \in \mathbb{N})$$
Protocolo de Evaluación Algebraica
- Sustitución con paréntesis: Reemplazar cada aparición de la variable $n$ por el entero positivo $(k)$.
- Jerarquía operacional:
- Evaluar potencias y raíces ($k^p, \sqrt{k}$).
- Evaluar productos y cocientes ($c \cdot k, \frac{P(k)}{Q(k)}$).
- Evaluar adiciones y sustracciones.
- Manejo de signos alternantes: Evaluar $(-1)^k$:
$$(-1)^k = \begin{cases} -1 & \text{si } k \text{ es impar} \\ +1 & \text{si } k \text{ es par} \end{cases}$$
Síntesis didáctica
- Algoritmo: Reemplazar $n \to k$ y operar según jerarquía estricta.
- Casos clave: Fracciones algebraicas y signos alternados.
La alternativa correcta es '$7$, calculando $3(2^2) - 5 = 3(4) - 5 = 12 - 5 = 7$'. Primero se evalúa la potencia $2^2=4$, luego el producto $3 \cdot 4 = 12$ y finalmente la resta $12 - 5 = 7$.
Definiciones clave
- Evaluación de una sucesión: Sustitución numérica de la variable independiente $n$ por un número natural específico.
- Términos iniciales: Conjunto de los primeros valores $\{a_1, a_2, a_3, a_4\}$ generados por la fórmula.
- Factor alternante ($(-1)^n$): Factor que conmuta periódicamente el signo de los términos entre positivo y negativo.
Propiedades y relaciones importantes
- Determinismo estricto: Para una fórmula $a_n$ dada, cada posición $n$ genera un valor único y reproducible.
- Simplificación de términos: Las fracciones resultantes deben expresarse en su forma irreducible.
Ejemplo guiado
Para la sucesión con término general $a_n = (-1)^n \cdot \frac{3n + 1}{2}$, calcula los tres primeros términos $a_1, a_2, a_3$.
- Paso 1: Evaluamos en $n=1$: $a_1 = (-1)^1 \cdot \frac{3(1) + 1}{2} = (-1) \cdot \frac{4}{2} = -1 \cdot 2 = -2$.
- Paso 2: Evaluamos en $n=2$: $a_2 = (-1)^2 \cdot \frac{3(2) + 1}{2} = (1) \cdot \frac{7}{2} = \frac{7}{2} = 3,5$.
- Paso 3: Evaluamos en $n=3$: $a_3 = (-1)^3 \cdot \frac{3(3) + 1}{2} = (-1) \cdot \frac{10}{2} = -1 \cdot 5 = -5$.
- Paso 4: Los tres primeros términos son **$-2, \frac{7}{2}, -5$**.
La alternativa correcta es '$\frac{3}{4}$, calculando $\frac{4+2}{2(4)} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$'. Sustituyendo $n=4$ se obtiene $\frac{6}{8}$, que al simplificar por 2 resulta $\frac{3}{4}$.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el número de posición $k$ que se desea evaluar.
- Paso 2: Sustituir cada variable $n$ de la fórmula por el valor $(k)$.
- Paso 3: Resolver primero las potencias y operaciones dentro de paréntesis.
- Paso 4: Efectuar multiplicaciones, divisiones y simplificar las fracciones resultantes.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Errores en la regla de los signos con el factor alternante $(-1)^n$ (creer que $(-1)^2 = -1$). Cómo corregirlo: Recordar que $(-1)^{\text{par}} = +1$ y $(-1)^{\text{impar}} = -1$.
- Error 2: Multiplicar la base antes de elevar a la potencia en expresiones como $3n^2$. Cómo corregirlo: Por jerarquía de operaciones, primero se calcula $n^2$ y luego se multiplica por 3.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $a_6 = 7(6) - 4 = 42 - 4 = 38$.
- $a_4 = 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48$.
- $a_4 = (-1)^4 \cdot 4 = 1 \cdot 4 = +4$.
- $a_1 = 1/1 = 1$, $a_2 = 1/2$, $a_3 = 1/3$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular y simplificar los valores numéricos de los términos de una sucesión a partir de su término general.
Sustituir el índice posicional $n=k$ en $a_n = f(n)$ aplicando la jerarquía de potencias, productos y reglas de signos algebraicos.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al usar la fórmula del término general $a_n = 4n - 1$ para calcular el tercer término de la sucesión, el procedimiento correcto implica: (v2)
El tercer término corresponde a $n=3$. Al evaluar, por jerarquía primero va la multiplicación $4 \cdot 3$, luego la resta.
Respuesta: A) Multiplicar $4$ por $3$ y luego restarle $1$.
-
Al usar la fórmula del término general $a_n = 4n - 1$ para calcular el tercer término de la sucesión, el procedimiento correcto implica: (v3)
El tercer término corresponde a $n=3$. Al evaluar, por jerarquía primero va la multiplicación $4 \cdot 3$, luego la resta.
Respuesta: A) Multiplicar $4$ por $3$ y luego restarle $1$.
-
Al usar la fórmula del término general $a_n = 4n - 1$ para calcular el tercer término de la sucesión, el procedimiento correcto implica: (v1)
El tercer término corresponde a $n=3$. Al evaluar, por jerarquía primero va la multiplicación $4 \cdot 3$, luego la resta.
Respuesta: A) Multiplicar $4$ por $3$ y luego restarle $1$.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si se te pide 'obtener los $4$ primeros términos' de una sucesión con término general $a_n$, debes evaluar la fórmula en los valores de '$n$':
Los primeros términos corresponden a las posiciones desde la 1 hasta la 4.
Respuesta: A) $1, 2, 3$ y $4$.
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿El quinto término de la sucesión definida por la fórmula $a_n = n^2 + 2$ es $27$?
Si $n=5$, evaluamos $5^2 + 2 = 25 + 2 = 27$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El quinto término de la sucesión definida por la fórmula $a_n = n^2 + 2$ es $27$?
Si $n=5$, evaluamos $5^2 + 2 = 25 + 2 = 27$.
Respuesta: Verdadero
-
¿El quinto término de la sucesión definida por la fórmula $a_n = n^2 + 2$ es $27$?
Si $n=5$, evaluamos $5^2 + 2 = 25 + 2 = 27$.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Una sucesión está definida matemáticamente por el término general $a_n = \frac{2n - 1}{n}$. ¿Cuáles son los tres primeros términos de esta sucesión en orden? (v1)
$n=1 \rightarrow (2(1)-1)/1 = 1/1 = 1$. $n=2 \rightarrow (2(2)-1)/2 = 3/2$. $n=3 \rightarrow (2(3)-1)/3 = 5/3$.
Respuesta: A) $1$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$
-
Una sucesión está definida matemáticamente por el término general $a_n = \frac{2n - 1}{n}$. ¿Cuáles son los tres primeros términos de esta sucesión en orden? (v2)
$n=1 \rightarrow (2(1)-1)/1 = 1/1 = 1$. $n=2 \rightarrow (2(2)-1)/2 = 3/2$. $n=3 \rightarrow (2(3)-1)/3 = 5/3$.
Respuesta: A) $1$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$
-
Una sucesión está definida matemáticamente por el término general $a_n = \frac{2n - 1}{n}$. ¿Cuáles son los tres primeros términos de esta sucesión en orden? (v3)
$n=1 \rightarrow (2(1)-1)/1 = 1/1 = 1$. $n=2 \rightarrow (2(2)-1)/2 = 3/2$. $n=3 \rightarrow (2(3)-1)/3 = 5/3$.
Respuesta: A) $1$, $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{3}$