Interpolación de medios geométricos entre dos términos
Interpolar (insertar) medios geométricos (números faltantes) entre dos extremos conocidos calculando la razón a través de raíces.
Introducción
Ya rellenamos huecos sumando. Ahora rellenaremos huecos multiplicando. Cuando la brecha entre el primer y último número es explosiva (ejemplo: de 2 a 162 en pocos pasos), sabes que estás en territorio geométrico. Las raíces serán tus mejores amigas aquí.
Explicación
Visualicemos: Interpolar 2 medios geométricos entre el número 3 y el número 192.
- La lista: $3, \_ , \_ , 192$.
- Hay 2 huecos, lo que significa que daremos 3 saltos multiplicativos. (Multiplicaremos por '$r$' tres veces seguidas).
Para hallar 'r', hacemos el camino inverso a la potencia (la raíz):
1. Cociente total = $192 / 3 = 64$.
2. Cantidad de saltos = $k + 1 = 2 + 1 = 3$.
3. Extraer la raíz: $r = \sqrt[3]{64}$.
4. Buscamos qué número multiplicado por sí mismo 3 veces da 64. ¡Es el 4!
5. La razón $r = 4$.
Llenamos los huecos multiplicando:
- $3 \cdot 4 = 12$
- $12 \cdot 4 = 48$
- Comprobamos el puente: $48 \cdot 4 = 192$. ¡Encaje perfecto! Los medios son 12 y 48.
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Divide el término final entre el término inicial ($B / A$).
- Paso 2: A la cantidad de números a interpolar ($k$) súmale 1 ($k + 1$). Este será el índice de tu raíz.
- Paso 3: Saca la raíz de índice '$(k+1)$' al resultado de la división. Esa es tu razón 'r'.
- Paso 4: Multiplica por 'r' repetidamente partiendo desde 'A' para llenar los espacios.
Ejemplos
1 Interpolar 1 medio geométrico entre 5 y 125.
- A = 5, B = 125, k = 1.
- Índice de la raíz = 1 + 1 = 2 (raíz cuadrada).
- Cociente = 125 / 5 = 25.
- r = Raíz Cuadrada de 25 = 5.
- Interpolar: 5 * 5 = 25. Compruebo: 25 * 5 = 125.
- El medio geométrico es 25.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Olvidar que si la cantidad de saltos ($k+1$) es un número PAR (ej: raíz cuadrada o cuarta), la razón 'r' podría ser un número negativo (Ej: $\sqrt{25}$ puede ser 5 o -5), abriendo la puerta a dos sucesiones posibles."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar la fórmula de interpolación aritmética por error, terminando con sumas raras en vez de raíces."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Para interpolar '$k$' medios geométricos entre '$A$' y '$B$', debes calcular la razón multiplicativa '$r$' usando la fórmula de raíces: **$r = \sqrt[k+1]{\frac{B}{A}}$**. Luego, vas multiplicando repetidamente por '$r$' desde '$A$'.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Al usar la fórmula $r = \sqrt[k+1]{\frac{B}{A}}$ para encontrar la razón en una interpolación geométrica, ¿por qué utilizamos específicamente una operación de Raíz (radical)? (v1)
Despejamos de la ecuación general. $B = A \cdot r^{k+1}$. El camino inverso exige usar la raíz de índice $k+1$.
Respuesta: A) Porque para ir del número A al B tuvimos que multiplicar por la razón varias veces (creando una potencia $r^{k+1}$), y la raíz es la operación inversa que anula esa potencia para despejar la razón aislada.
-
Al usar la fórmula $r = \sqrt[k+1]{\frac{B}{A}}$ para encontrar la razón en una interpolación geométrica, ¿por qué utilizamos específicamente una operación de Raíz (radical)? (v2)
Despejamos de la ecuación general. $B = A \cdot r^{k+1}$. El camino inverso exige usar la raíz de índice $k+1$.
Respuesta: A) Porque para ir del número A al B tuvimos que multiplicar por la razón varias veces (creando una potencia $r^{k+1}$), y la raíz es la operación inversa que anula esa potencia para despejar la razón aislada.
-
Al usar la fórmula $r = \sqrt[k+1]{\frac{B}{A}}$ para encontrar la razón en una interpolación geométrica, ¿por qué utilizamos específicamente una operación de Raíz (radical)? (v3)
Despejamos de la ecuación general. $B = A \cdot r^{k+1}$. El camino inverso exige usar la raíz de índice $k+1$.
Respuesta: A) Porque para ir del número A al B tuvimos que multiplicar por la razón varias veces (creando una potencia $r^{k+1}$), y la raíz es la operación inversa que anula esa potencia para despejar la razón aislada.
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
Si debes interpolar $2$ medios geométricos entre los números $2$ y $54$, ¿cuál de las siguientes expresiones algebraicas te entregará directamente el valor de la razón '$r$'?
Se divide el final entre el inicio ($54/2$) y se saca raíz de índice $k+1$. Como $k=2$, el índice es 3 (raíz cúbica).
Respuesta: A) $r = \sqrt[3]{\frac{54}{2}}$
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
¿Si se interpola un ($1$) único medio geométrico POSITIVO entre los números $4$ y $36$, ese número central resultará ser el $12$?
r = RaizCuadrada(36/4) = RaizCuadrada(9) = 3 (positivo). El medio es $4 \cdot 3 = 12$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si se interpola un ($1$) único medio geométrico POSITIVO entre los números $4$ y $36$, ese número central resultará ser el $12$?
r = RaizCuadrada(36/4) = RaizCuadrada(9) = 3 (positivo). El medio es $4 \cdot 3 = 12$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
-
¿Si se interpola un ($1$) único medio geométrico POSITIVO entre los números $4$ y $36$, ese número central resultará ser el $12$?
r = RaizCuadrada(36/4) = RaizCuadrada(9) = 3 (positivo). El medio es $4 \cdot 3 = 12$. Es verdadero.
Respuesta: Verdadero
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
-
Un equipo de biólogos registra el número de células en un cultivo cerrado. En la hora cero hay $10$ células. Tras la hora tres de incubación, el contador marca $80$ células. Sabiendo que el crecimiento sigue un modelo de progresión geométrica estricta, ¿cuántas células marcaba exactamente el contador en la hora número dos? (v2)
Hay que interpolar 2 datos (hora 1 y hora 2) entre el 10 y el 80. Saltos (k+1) = 3. RaizCúbica(80/10) = RaizCúbica(8) = 2. La razón es 2. Hora 1: 102=20. Hora 2: 202=40.
Respuesta: A) $40$ células.
-
Un equipo de biólogos registra el número de células en un cultivo cerrado. En la hora cero hay $10$ células. Tras la hora tres de incubación, el contador marca $80$ células. Sabiendo que el crecimiento sigue un modelo de progresión geométrica estricta, ¿cuántas células marcaba exactamente el contador en la hora número dos? (v3)
Hay que interpolar 2 datos (hora 1 y hora 2) entre el 10 y el 80. Saltos (k+1) = 3. RaizCúbica(80/10) = RaizCúbica(8) = 2. La razón es 2. Hora 1: 102=20. Hora 2: 202=40.
Respuesta: A) $40$ células.
-
Un equipo de biólogos registra el número de células en un cultivo cerrado. En la hora cero hay $10$ células. Tras la hora tres de incubación, el contador marca $80$ células. Sabiendo que el crecimiento sigue un modelo de progresión geométrica estricta, ¿cuántas células marcaba exactamente el contador en la hora número dos? (v1)
Hay que interpolar 2 datos (hora 1 y hora 2) entre el 10 y el 80. Saltos (k+1) = 3. RaizCúbica(80/10) = RaizCúbica(8) = 2. La razón es 2. Hora 1: 102=20. Hora 2: 202=40.
Respuesta: A) $40$ células.