Potencia cuya base coincide con la base del logaritmo
Resumen inicial
Una potencia cuya base coincide con la base del logaritmo en el exponente se cancela directamente, dejando solo el argumento: $b^{\log_b(a)} = a$ ($b > 0, b \neq 1, a > 0$).
Explicación en palabras simples
Cuando elevas una base $b$ a un logaritmo que tiene exactamente la misma base $b$, se neutralizan por completo:
- Ejemplo directo: $5^{\log_5(17)} = 17$.
- Con logaritmo decimal: $10^{\log(9)} = 9$.
- Con logaritmo natural: $e^{\ln(x)} = x$.
- Esto ocurre porque la función exponencial $b^x$ y la función logarítmica $\log_b(x)$ son operaciones inversas mutuas.
Explicación formal
Sean $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y $a \in \mathbb{R}^+$. Por definición, si $c = \log_b(a)$, entonces por equivalencia exponencial se tiene $b^c = a$.
Sustituyendo la expresión de $c$ en la potencia, se obtiene la identidad fundamental de cancelación exponencial-logaritmo:
$$b^{\log_b(a)} = a$$
Condición de Aplicación:
La base de la potencia debe coincidir con la base del logaritmo sin coeficientes intermediarios. Si existe un coeficiente, debe ingresarse previamente al argumento: $b^{k \cdot \log_b(a)} = b^{\log_b(a^k)} = a^k$.
La alternativa correcta es '$85$ (por la identidad de cancelación $b^{\log_b(a)} = a$)'.
Definiciones clave
- Cancelación exponencial-logaritmo: Identidad $b^{\log_b(a)} = a$.
- Funciones inversas: Composición $f(f^{-1}(a)) = a$ donde $f(x) = b^x$ y $f^{-1}(x) = \log_b(x)$.
- Coeficiente previo: Factor que debe elevarse como potencia antes de cancelar.
Propiedades y relaciones importantes
- Universalidad: Válido para toda base admisible en $\mathbb{R}$.
- Despeje de ecuaciones logarítmicas: Aplicar base $b^{(\cdot)}$ a ambos lados de $\log_b(x) = k \implies x = b^k$.
Ejemplo guiado
Calcule el valor de $7^{\log_7(43)}$ y resuelva la expresión $3^{2 \cdot \log_3(5)}$.
- Paso 1: Para $7^{\log_7(43)}$: La base 7 coincide con la base del logaritmo $\implies 43$.
- Paso 2: Para $3^{2 \cdot \log_3(5)}$: Subir el 2 como exponente del argumento: $3^{\log_3(5^2)} = 3^{\log_3(25)}$.
- Paso 3: Cancelar base y logaritmo: el resultado es $25$.
La alternativa correcta es 'Porque el 2 sube como exponente de 5: $3^{\log_3(5^2)} = 25$'.
Procedimiento
- Paso 1: Verificar que la base de la potencia coincida con la base del logaritmo.
- Paso 2: Si el logaritmo tiene un coeficiente multiplicativo al frente, subirlo como exponente del argumento.
- Paso 3: Aplicar la identidad de cancelación directa $b^{\log_b(a)} = a$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Cancelar sin subir los coeficientes ($b^{2\log_b(a)} = 2a$). Cómo corregirlo: El coeficiente sube como exponente del argumento: $b^{2\log_b(a)} = b^{\log_b(a^2)} = a^2$.
- Error 2: Intentar cancelar con bases distintas ($4^{\log_2(x)} = x$). Cómo corregirlo: Expresar $4 = 2^2$, dando $(2^2)^{\log_2(x)} = 2^{2\log_2(x)} = x^2$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Por cancelación directa $b^{\log_b(x)} = x$, el resultado es $64$.
- $e^{\ln(x)} = x \implies e^{\ln(15)} = 15$.
- Sí, porque $9 = 3^2 \implies (3^2)^{\log_3(4)} = 3^{\log_3(4^2)} = 4^2 = 16$.
- Sí, porque $\log_5(1) = 0 \implies 5^0 = 1$ (o por cancelación directa).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Aplicar la identidad de neutralización $b^{\log_b(a)} = a$ en potencias con exponentes logarítmicos.
Verificando la coincidencia de bases, reubicando posibles coeficientes como potencias del argumento y cancelando directamente la operación para obtener $a$.