Potencia cuya base coincide con la base del logaritmo
Simplificar una potencia cuyo exponente es un logaritmo de la misma base.
Introducción
Base y logaritmo coincidentes forman una pareja de operaciones inversas. Reconocerla evita desarrollar un cálculo que ya está resuelto por estructura.
Explicación
\(b^{\log_b x}=x\) para \(x>0\).
En el caso “\(5^{\log_5 12}=12\)” esta idea se hace visible: la exponencial de base \(b\) cancela a su logaritmo por ser funciones inversas
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Comprueba que la base de la potencia coincida con la del logaritmo.
- Paso 2: Verifica que el argumento del logaritmo sea positivo.
- Paso 3: Cancela las operaciones inversas y conserva el argumento.
Ejemplos
1 \(5^{\log_5 12}=12\).
- Comprueba que la base de la potencia coincida con la del logaritmo.
- Verifica que el argumento del logaritmo sea positivo.
- Cancela las operaciones inversas y conserva el argumento.
2 Una solución aplica “Verifica que el argumento del logaritmo sea positivo.”, pero termina sin comprobar que la exponencial de base \(b\) cancela a su logaritmo por ser funciones inversas. Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define potencia cuya base coincide con la base del logaritmo: \(b^{\log_b x}=x\) para \(x>0\).
- Comprueba que la base de la potencia coincida con la del logaritmo.
- Completa la revisión con este control: Cancela las operaciones inversas y conserva el argumento.
3 ¿Se cumple que la exponencial de base \(b\) cancela a su logaritmo por ser funciones inversas? — Potencia cuya base coincide con la base del logaritmo
- Sí. La definición pertinente establece que \(b^{\log_b x}=x\) para \(x>0\).
- El caso “\(5^{\log_5 12}=12\)” satisface esa condición.
- Cancela las operaciones inversas y conserva el argumento.
4 ¿Es válido omitir el paso “Comprueba que la base de la potencia coincida con la del logaritmo”? — Potencia cuya base coincide con la base del logaritmo
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de potencia cuya base coincide con la base del logaritmo.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Verifica que el argumento del logaritmo sea positivo.
- La solución debe terminar de este modo: Cancela las operaciones inversas y conserva el argumento.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir potencia cuya base coincide con la base del logaritmo con otro concepto y omitir este inicio: Comprueba que la base de la potencia coincida con la del logaritmo."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar mecánicamente “Verifica que el argumento del logaritmo sea positivo.” sin revisar las condiciones de la definición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tomar “\(5^{\log_5 12}=12\)” como una igualdad aislada, sin explicar por qué es válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aceptar una respuesta que contradice la idea clave “la exponencial de base \(b\) cancela a su logaritmo por ser funciones inversas”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Terminar el desarrollo sin realizar este control: Cancela las operaciones inversas y conserva el argumento."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
\(b^{\log_b x}=x\) para \(x>0\). La exponencial de base \(b\) cancela a su logaritmo por ser funciones inversas.