Logaritmo de una raíz
Transformar el logaritmo de una raíz.
Introducción
La propiedad de la raíz no es una regla nueva aislada: nace al escribir el radical como exponente fraccionario.
Explicación
\(\log_b\sqrt[n]{x}=\frac1n\log_bx\) para \(x>0\).
Al analizar “\(\log_3\sqrt{81}=\frac12\log_3 81=2\)” conviene observar la conexión siguiente: la raíz actúa como una potencia de exponente \(1/n\)
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Escribe la raíz como potencia \(x^{1/n}\).
- Paso 2: Aplica la propiedad de potencia y extrae \(1/n\) como coeficiente.
- Paso 3: Comprueba el dominio y evalúa el radical cuando sea exacto.
Ejemplos
1 \(\log_3\sqrt{81}=\frac12\log_3 81=2\).
- Escribe la raíz como potencia \(x^{1/n}\).
- Aplica la propiedad de potencia y extrae \(1/n\) como coeficiente.
- Comprueba el dominio y evalúa el radical cuando sea exacto.
2 Una solución aplica “Aplica la propiedad de potencia y extrae \(1/n\) como coeficiente.”, pero termina sin comprobar que la raíz actúa como una potencia de exponente \(1/n\). Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define logaritmo de una raíz: \(\log_b\sqrt[n]{x}=\frac1n\log_bx\) para \(x>0\).
- Escribe la raíz como potencia \(x^{1/n}\).
- Completa la revisión con este control: Comprueba el dominio y evalúa el radical cuando sea exacto.
3 ¿Se cumple que la raíz actúa como una potencia de exponente \(1/n\)? — Logaritmo de una raíz
- Sí. La definición pertinente establece que \(\log_b\sqrt[n]{x}=\frac1n\log_bx\) para \(x>0\).
- El caso “\(\log_3\sqrt{81}=\frac12\log_3 81=2\)” satisface esa condición.
- Comprueba el dominio y evalúa el radical cuando sea exacto.
4 ¿Es válido omitir el paso “Escribe la raíz como potencia \(x^{1/n}\)”? — Logaritmo de una raíz
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de logaritmo de una raíz.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Aplica la propiedad de potencia y extrae \(1/n\) como coeficiente.
- La solución debe terminar de este modo: Comprueba el dominio y evalúa el radical cuando sea exacto.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir logaritmo de una raíz con otro concepto y omitir este inicio: Escribe la raíz como potencia \(x^{1/n}\)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar mecánicamente “Aplica la propiedad de potencia y extrae \(1/n\) como coeficiente.” sin revisar las condiciones de la definición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tomar “\(\log_3\sqrt{81}=\frac12\log_3 81=2\)” como una igualdad aislada, sin explicar por qué es válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aceptar una respuesta que contradice la idea clave “la raíz actúa como una potencia de exponente \(1/n\)”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Terminar el desarrollo sin realizar este control: Comprueba el dominio y evalúa el radical cuando sea exacto."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
\(\log_b\sqrt[n]{x}=\frac1n\log_bx\) para \(x>0\). La raíz actúa como una potencia de exponente \(1/n\).