Logaritmo de una raíz
Resumen inicial
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz: $\log_b(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \cdot \log_b(x)$ ($x > 0, n \in \mathbb{N}, n \ge 2$).
Explicación en palabras simples
El logaritmo de una raíz se deriva directamente de la regla de la potencia:
- Como una raíz es una potencia con exponente fraccionario ($\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$), el índice $n$ pasa dividiendo al frente: $\frac{1}{n} \cdot \log_b(x)$.
- Para una raíz cuadrada: $\log_b(\sqrt{x}) = \frac{1}{2} \cdot \log_b(x)$.
- Para una raíz cúbica: $\log_2(\sqrt[3]{64}) = \frac{1}{3} \cdot \log_2(64) = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.
Explicación formal
Sean $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$, $x \in \mathbb{R}^+$, $m \in \mathbb{Z}$ y $n \in \mathbb{N}_{\ge 2}$. Por la definición de exponente fraccionario $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$, aplicando la propiedad de la potencia se tiene:
$$\log_b(\sqrt[n]{x^m}) = \log_b\left(x^{\frac{m}{n}}\right) = \frac{m}{n} \cdot \log_b(x)$$
Caso Particular (Raíz Simple):
$$\log_b(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \cdot \log_b(x) = \frac{\log_b(x)}{n}$$
La alternativa correcta es '$\frac{1}{5} \cdot \log_b(x)$ (el índice pasa al denominador de la fracción)'.
Definiciones clave
- Logaritmo de una raíz: Identidad $\log_b(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \cdot \log_b(x)$.
- Índice de la raíz ($n$): Denominador de la fracción multiplicativa exterior.
- Exponente fraccionario: Transformación algebraica $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
Propiedades y relaciones importantes
- Raíz cuadrada ($n = 2$): Multiplicador $\frac{1}{2}$ vertical.
- Raíz de cocientes y productos: Se combina linealmente con las propiedades de producto y división.
Ejemplo guiado
Calcule el valor de $\log_2(\sqrt[3]{64})$ y evalúe $\log(\sqrt{1000})$.
- Paso 1: Para $\log_2(\sqrt[3]{64})$: Extraer la fracción vertical $\frac{1}{3} \cdot \log_2(64)$.
- Paso 2: Calcular $\log_2(64) = 6 \implies \frac{1}{3} \cdot 6 = 2$.
- Paso 3: Para $\log(\sqrt{1000})$: Extraer $\frac{1}{2} \cdot \log(1000)$.
- Paso 4: Calcular $\log(1000) = 3 \implies \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} = 1,5$.
La alternativa correcta es '$2$, porque $\frac{1}{3} \cdot 6 = 2$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el índice $n$ de la raíz y la potencia interna $m$ del radicando.
- Paso 2: Convertir la raíz a exponente fraccionario $\frac{m}{n}$.
- Paso 3: Bajar la fracción vertical al frente: $\frac{m}{n} \cdot \log_b(x)$ y evaluar el valor numérico.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Multiplicar por el índice en vez de dividir ($\log_b(\sqrt[3]{x}) = 3\log_b(x)$). Cómo corregirlo: La raíz es un exponente fraccionario ($x^{1/3}$), por lo que el índice pasa dividiendo ($?rac{1}{3}\log_b(x)$).
- Error 2: Olvidar que la raíz cuadrada tiene índice 2. Cómo corregirlo: En $\log(\sqrt{x})$, el factor es siempre $?rac{1}{2}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\frac{1}{2} \cdot \log_3(81) = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ (o bien $\log_3(9) = 2$).
- $\frac{1}{4} \cdot \log_2(16) = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$.
- Sí, porque $\log(10^{1/2}) = \frac{1}{2} \cdot \log(10) = \frac{1}{2} \cdot 1 = 1/2$.
- Sí, porque $\sqrt[4]{x^3} = x^{3/4}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Comprender y aplicar la propiedad del logaritmo de una raíz $\log_b(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} \cdot \log_b(x)$.
Convirtiendo el radical en exponente fraccionario vertical y extrayéndolo como factor multiplicativo al frente del logaritmo.