Logaritmo de una potencia
Resumen inicial
El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base del argumento: $\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$ ($x > 0, k \in \mathbb{R}$).
Explicación en palabras simples
Esta propiedad se conoce popularmente como la regla de la potencia o del sombrerito:
- Cuando el argumento tiene un exponente como $\log_2(8^5)$, el exponente $5$ puede bajar al frente multiplicando: $5 \cdot \log_2(8) = 5 \cdot 3 = 15$.
- En sentido inverso, cualquier número que multiplique al frente de un logaritmo puede subir como exponente del argumento: $3 \cdot \log(2) = \log(2^3) = \log(8)$.
Explicación formal
Sean $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$, $x \in \mathbb{R}^+$ y $k \in \mathbb{R}$. La propiedad del logaritmo de una potencia establece que:
$$\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$$
Demostración Analítica:
1. Sea $u = \log_b(x) \implies x = b^u$.
2. Elevando ambos miembros a la potencia $k$: $x^k = (b^u)^k = b^{k \cdot u}$.
3. Aplicando el operador logaritmo: $\log_b(x^k) = k \cdot u$.
4. Reemplazando $u$: $\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$. $\blacksquare$
La alternativa correcta es 'Pasa al frente multiplicando al logaritmo: $k \cdot \log_b(x)$'.
Definiciones clave
- Logaritmo de una potencia: Identidad $\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$.
- Coeficiente multiplicativo: Factor $k$ que antecede al logaritmo tras extraer el exponente.
- Linealidad con potencias: Propiedad que convierte exponenciales internas en productos externos.
Propiedades y relaciones importantes
- Exponentes enteros, negativos y fraccionarios: Válido para todo $k \in \mathbb{R}$.
- Preparación para condensar: Antes de sumar o restar logaritmos, se deben subir los coeficientes como exponentes.
Ejemplo guiado
Calcule el valor de $\log_5(25^4)$ y simplifique la expresión $\log_2(16^{-3})$.
- Paso 1: Para $\log_5(25^4)$: Bajar el exponente 4 al frente: $4 \cdot \log_5(25)$.
- Paso 2: Calcular $\log_5(25) = 2 \implies 4 \cdot 2 = 8$.
- Paso 3: Para $\log_2(16^{-3})$: Bajar el exponente negativo $-3$: $-3 \cdot \log_2(16)$.
- Paso 4: Calcular $\log_2(16) = 4 \implies -3 \cdot 4 = -12$.
La alternativa correcta es '$8$, porque $4 \cdot \log_5(25) = 4 \cdot 2 = 8$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el exponente $k$ que afecta al argumento $x$.
- Paso 2: Extraer el exponente colocándolo como coeficiente multiplicativo: $k \cdot \log_b(x)$.
- Paso 3: Evaluar el logaritmo resultante y realizar el producto numérico final.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Confundir $\log_b(x^k)$ con $[\log_b(x)]^k$. Cómo corregirlo: La propiedad solo se aplica si el exponente afecta exclusivamente al argumento $x$, no a todo el logaritmo.
- Error 2: Condensar sumas con coeficientes al frente sin subirlos primero. Cómo corregirlo: En $2\log(x) + \log(y)$, primero se transforma en $\log(x^2) + \log(y) = \log(x^2 y)$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $3 \cdot \log_2(4) = 3 \cdot 2 = 6$ (o bien $\log_2(4^3) = \log_2(64) = 6$).
- $\log(x^4) = 4 \cdot \log(x) = 4 \cdot 1,5 = 6$.
- Sí, porque $\log(10^5) = 5 \cdot \log(10) = 5 \cdot 1 = 5$.
- Sí, subiendo el coeficiente: $\log(5^2) = \log(25)$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aplicar con precisión la propiedad del logaritmo de una potencia $\log_b(x^k) = k \cdot \log_b(x)$.
Extrayendo exponentes multiplicando al frente o ingresando coeficientes como exponentes del argumento, para todo $x > 0$ y $k \in \mathbb{R}$.