Logaritmo de una potencia con igual base
Resumen inicial
El logaritmo de una potencia cuya base coincide con la base del logaritmo es simplemente igual al exponente: $\log_b(b^k) = k$ ($b > 0, b \neq 1, k \in \mathbb{R}$).
Explicación en palabras simples
Cuando el argumento es una potencia de la misma base que el logaritmo, el operador extrae directamente el exponente:
- ¿A qué exponente debes elevar $2$ para obtener $2^7$? ¡A $7$! Por eso $\log_2(2^7) = 7$.
- Con logaritmo decimal: $\log(10^4) = 4$.
- Con logaritmo natural: $\ln(e^{-2}) = -2$.
- Si el argumento es un número como $243$, basta escribirlo en potencias de $3$: $\log_3(243) = \log_3(3^5) = 5$.
Explicación formal
Sean $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y $k \in \mathbb{R}$. Por la propiedad del logaritmo de una potencia y la propiedad del logaritmo de la base ($\log_b(b) = 1$):
$$\log_b(b^k) = k \cdot \log_b(b) = k \cdot 1 = k$$
Esta identidad representa la composición de funciones inversas en el orden logaritmo-exponencial:
$$(\log_b \circ f)(k) = \log_b(b^k) = k \quad (\forall k \in \mathbb{R})$$
La alternativa correcta es '$12$ (por la regla directa $\log_b(b^k) = k$)'.
Definiciones clave
- Logaritmo de potencia de igual base: Identidad $\log_b(b^k) = k$.
- Extracción directa: Eliminación inmediata del operador logarítmico cuando las bases coinciden.
- Descomposición en factores: Técnica de reescritura del argumento en potencias de la base $b$.
Propiedades y relaciones importantes
- Exponentes negativos y fraccionarios: $\log_b\left(\frac{1}{b^n}\right) = -n$ y $\log_b(\sqrt[n]{b}) = \frac{1}{n}$.
- Neutralización universal: Válido en todas las bases reales admisibles.
Ejemplo guiado
Calcule el valor de $\log_3(243)$ y determine $\log_2(\sqrt{2})$.
- Paso 1: Para $\log_3(243)$: Descomponer $243 = 3^5 \implies \log_3(3^5)$.
- Paso 2: Por extracción directa $\log_b(b^k) = k$, el resultado es $5$.
- Paso 3: Para $\log_2(\sqrt{2})$: Escribir la raíz como potencia: $\sqrt{2} = 2^{1/2} \implies \log_2(2^{1/2})$.
- Paso 4: Extraer el exponente: el resultado es $\frac{1}{2} = 0,5$.
La alternativa correcta es 'Porque $\sqrt{2} = 2^{1/2}$ y $\log_2(2^{1/2}) = \frac{1}{2}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Expresar el argumento como una potencia directa de la base $b$: $x = b^k$.
- Paso 2: Verificar que la base de la potencia coincida con la base del logaritmo.
- Paso 3: Aplicar la identidad $\log_b(b^k) = k$ para extraer el exponente de inmediato.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Dejar la base en el resultado ($\log_2(2^5) = 2 imes 5 = 10$). Cómo corregirlo: El logaritmo y la base se neutralizan completamente, quedando únicamente el exponente $5$.
- Error 2: No descomponer argumentos compuestos. Cómo corregirlo: Si tienes $\log_2(128)$, primero escribe $128 = 2^7$ para aplicar $\log_2(2^7) = 7$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- Por extracción directa $\log_b(b^k) = k$, el resultado es $-3$.
- $\ln(e^9) = 9$.
- Sí, porque $10000 = 10^4 \implies \log(10^4) = 4$.
- Sí, porque $\frac{1}{125} = 5^{-3} \implies \log_5(5^{-3}) = -3$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Simplificar y calcular logaritmos aplicando la identidad $\log_b(b^k) = k$.
Descomponiendo el argumento en potencias de la base $b$ y extrayendo directamente el exponente $k$, para todo $k \in \mathbb{R}$ y $b > 0, b \neq 1$.