Logaritmo de un producto

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$ para $b > 0, b \neq 1$ y $x, y > 0$.

Los logaritmos transforman multiplicaciones en sumas:
- Si dentro del logaritmo tienes un producto como $\log_2(4 \cdot 8)$, puedes separarlo en dos logaritmos que se suman: $\log_2(4) + \log_2(8) = 2 + 3 = 5$.
- Esto ocurre porque al multiplicar potencias de igual base, sus exponentes se suman: $2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5$.
- En sentido inverso (condensación), una suma de logaritmos de igual base se agrupa multiplicando los argumentos: $\log_6(12) + \log_6(3) = \log_6(12 \cdot 3) = \log_6(36) = 2$.

Sean $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y $x, y \in \mathbb{R}^+ = ]0, +\infty[$. La propiedad del logaritmo de un producto establece que:

$$\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$$

Demostración Analítica:
1. Sean $u = \log_b(x)$ y $v = \log_b(y)$. Por definición exponencial: $x = b^u$ y $y = b^v$.
2. Multiplicando miembro a miembro: $x \cdot y = b^u \cdot b^v = b^{u + v}$.
3. Aplicando la definición de logaritmo: $\log_b(x \cdot y) = u + v$.
4. Sustituyendo $u$ y $v$: $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$. $\blacksquare$

• Logaritmo de un producto: Identidad $\log_b(x \cdot y) = \log_b(x) + \log_b(y)$.
• Sentido expansivo: Desglose de un producto interno en sumas individuales.
• Sentido de condensación: Agrupación de sumas de igual base en un único producto.

• Generalización a $n$ factores: $\log_b(x_1 \cdot x_2 \cdots x_k) = \sum_{i=1}^k \log_b(x_i)$.
• Isomorfismo: El logaritmo es un isomorfismo de grupos entre $(\mathbb{R}^+, \cdot)$ y $(\mathbb{R}, +)$.

Calcule el valor de $\log(2) + \log(5)$ y expanda la expresión $\log_3(9 \cdot 27)$.