Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual a la resta entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del denominador: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$ ($x, y > 0$).

Los logaritmos transforman divisiones en restas:
- Cuando divides dentro del logaritmo $\log_2\left(\frac{8}{4}\right)$, se descompone en el logaritmo de arriba menos el logaritmo de abajo: $\log_2(8) - \log_2(4) = 3 - 2 = 1$.
- Esto concuerda con la regla de potencias: al dividir potencias de igual base, los exponentes se restan ($2^3 : 2^2 = 2^{3-2} = 2^1$).
- En sentido inverso, una resta de logaritmos de igual base se condensa dividiendo sus argumentos: $\log(50) - \log(5) = \log\left(\frac{50}{5}\right) = \log(10) = 1$.

Sean $b \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}$ y $x, y \in \mathbb{R}^+$. La propiedad del logaritmo de un cociente establece que:

$$\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$$

Demostración Analítica:
1. Sean $u = \log_b(x)$ y $v = \log_b(y)$, lo que implica $x = b^u$ y $y = b^v$.
2. Dividiendo miembro a miembro: $\frac{x}{y} = \frac{b^u}{b^v} = b^{u - v}$.
3. Aplicando el operador logarítmico: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = u - v$.
4. Reemplazando $u$ y $v$: $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$. $\blacksquare$

• Logaritmo de un cociente: Identidad $\log_b\left(\frac{x}{y}\right) = \log_b(x) - \log_b(y)$.
• Numerador logarítmico: Término positivo $\log_b(x)$.
• Denominador logarítmico: Término sustractivo $-\log_b(y)$.

• Logaritmo del inverso: $\log_b\left(\frac{1}{x}\right) = \log_b(1) - \log_b(x) = -\log_b(x)$.
• División de potencias: Corresponde a la regla exponencial $b^{u-v} = \frac{b^u}{b^v}$.

Calcule el valor de $\log_3(54) - \log_3(2)$ y expanda la expresión $\log_5\left(\frac{25}{125}\right)$.