Cambio de base de un logaritmo

El cambio de base permite calcular cualquier logaritmo dividiendo el logaritmo del argumento por el logaritmo de la base original en una nueva base $c$: $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$.

Cuando necesitas calcular un logaritmo que no puedes resolver directamente (como $\log_4(32)$) o usar una calculadora:
- Puedes cambiarlo a cualquier base común $c$ formando una fracción vertical:
- El argumento $a$ va arriba en el numerador: $\log_c(a)$.
- La base original $b$ va abajo en el denominador: $\log_c(b)$.
- En base 10: $\log_b(a) = \frac{\log(a)}{\log(b)}$.
- En base natural: $\log_b(a) = \frac{\ln(a)}{\ln(b)}$.

Sean $a, b, c \in \mathbb{R}^+$ con $b \neq 1$ y $c \neq 1$. El teorema del cambio de base establece que:

$$\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$$

Demostración Analítica:
1. Sea $x = \log_b(a) \implies b^x = a$.
2. Aplicando el operador logaritmo en base $c$ a ambos lados: $\log_c(b^x) = \log_c(a)$.
3. Por la propiedad de la potencia: $x \cdot \log_c(b) = \log_c(a)$.
4. Despejando $x$: $x = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$.
5. Sustituyendo $x$: $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$. $\blacksquare$

• Cambio de base: Identidad fraccionaria $\log_b(a) = \frac{\log_c(a)}{\log_c(b)}$.
• Nueva base ($c$): Base auxiliar seleccionada para facilitar el cálculo ($c=10$, $c=e$, o una potencia común).
• Regla de la cadena logarítmica: $\log_b(a) \cdot \log_a(c) = \log_b(c)$.

• Inversión de base: $\log_b(a) = \frac{1}{\log_a(b)}$.
• Uso en calculadoras: Permite calcular logaritmos en cualquier base usando las teclas $\log$ y $\ln$.

Calcule el valor exacto de $\log_4(32)$ y simplifique el producto $\log_2(3) \cdot \log_3(8)$.