Sustracción de radicales semejantes
Resumen inicial
Para restar radicales semejantes, se restan sus coeficientes numéricos exteriores y se conserva la parte radical común intacta: $p\sqrt[n]{c} - q\sqrt[n]{c} = (p - q)\sqrt[n]{c}$.
Explicación en palabras simples
Restar raíces semejantes sigue exactamente el mismo principio que la suma:
- Mantienes la raíz idéntica (la parte radical $\sqrt[n]{c}$) y restas los números de afuera (los coeficientes):
$$9\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (9 - 4)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$$
- Si el primer número es menor que el segundo, el resultado queda negativo: $2\sqrt{5} - 7\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$.
- Si las raíces no están simplificadas (como $\sqrt{75} - \sqrt{12}$), primero las reduces a su forma básica: $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
Explicación formal
Sean $p, q \in \mathbb{R}$ y $\sqrt[n]{c}$ un radical real. Por la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la sustracción en $\mathbb{R}$:
$$p \sqrt[n]{c} - q \sqrt[n]{c} = (p - q) \sqrt[n]{c}$$
Teorema de No Linealidad Subradical:
Para todo $a > b > 0$:
$$\sqrt[n]{a} - \sqrt[n]{b} \neq \sqrt[n]{a - b}$$
Algoritmo General de Sustracción:
1. Descomponer y simplificar cada término a su forma canónica $K_i \sqrt[n]{c}$.
2. Verificar la semejanza de los radicales.
3. Restar algebraicamente los coeficientes escalares $(p - q)$, respetando la regla de signos de $\mathbb{Z}$.
La alternativa correcta es '$2\sqrt{2}$ (porque $5\sqrt{2} - 3\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$)'.
Definiciones clave
- Resta de coeficientes: Operación escalar $(p - q)$ aplicada al factor común $\sqrt[n]{c}$.
- Cancelación total: Resultado nulo $p\sqrt[n]{c} - p\sqrt[n]{c} = 0$.
- Preservación de signo: Mantenimiento del signo resultante de la resta en $\mathbb{R}$.
Propiedades y relaciones importantes
- Elemento opuesto: $p\sqrt[n]{c} - p\sqrt[n]{c} = 0$.
- Resta de no semejantes: $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ es irreducible y queda expresado simbólicamente.
Ejemplo guiado
Calcule y reduzca las restas $9\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$, $\sqrt{75} - \sqrt{12}$ y $2\sqrt{5} - 7\sqrt{5}$.
- Paso 1: Evaluar $9\sqrt{2} - 4\sqrt{2}$: Semejantes directos $\implies (9 - 4)\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$.
- Paso 2: Evaluar $\sqrt{75} - \sqrt{12}$: Simplificar: $\sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ y $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Restar: $(5 - 2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}$.
- Paso 3: Evaluar $2\sqrt{5} - 7\sqrt{5}$: Restar coeficientes $(2 - 7)\sqrt{5} = -5\sqrt{5}$.
- Conclusión: Los resultados son $5\sqrt{2}$, $3\sqrt{3}$ y $-5\sqrt{5}$.
La alternativa correcta es 'Porque al restar los coeficientes $2 - 7$ se obtiene $-5$, manteniendo el radical $\sqrt{5}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Simplificar cada radical extrayendo todos los factores posibles a su forma canónica.
- Paso 2: Confirmar que los términos compartan idéntico índice y radicando base $\sqrt[n]{c}$.
- Paso 3: Restar los coeficientes escalares $(p - q)$ y conservar la parte radical común.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Restar los radicandos dentro de la raíz ($\sqrt{25} - \sqrt{9} = \sqrt{16} = 4$). Cómo corregirlo: Evaluar cada término: $5 - 3 = 2
eq 4$. ¡No restar radicandos! - Error 2: Olvidar el coeficiente 1 implícito ($4\sqrt{2} - \sqrt{2} = 4$). Cómo corregirlo: $\sqrt{2}$ tiene coeficiente $1$: $(4 - 1)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $(7 - 1)\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
- $4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
- Sí, $(3 - 5)\sqrt{2} = -2\sqrt{2}$.
- No, $\sqrt{100} - \sqrt{64} = 10 - 8 = 2$, mientras que $\sqrt{36} = 6$ ($2 \neq 6$).
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Al terminar debes poder
Restar expresiones radicales mediante la identificación y reducción de términos semejantes.
Simplificando cada radical a su forma canónica, agrupando los que compartan el radical base $\sqrt[n]{c}$ y restando sus coeficientes numéricos mediante la propiedad distributiva.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué caso muestra de manera directa sustracción de radicales semejantes?
El caso “\(7\sqrt2-3\sqrt2=4\sqrt2\)” cumple la definición de sustracción de radicales semejantes: los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes.
Respuesta: \(7\sqrt2-3\sqrt2=4\sqrt2\)
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¿Qué conclusión es propia de sustracción de radicales semejantes?
La conclusión específica para sustracción de radicales semejantes es “restar radicandos entre sí no es una propiedad válida”; funciona como control del razonamiento.
Respuesta: restar radicandos entre sí no es una propiedad válida
-
Para estudiar sustracción de radicales semejantes, ¿qué definición debe utilizarse?
Para sustracción de radicales semejantes, la formulación completa es “los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes”. Las demás alternativas describen conceptos distintos o incompletos.
Respuesta: los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El caso “\(7\sqrt2-3\sqrt2=4\sqrt2\)” corresponde principalmente a uno de estos recursos. ¿A cuál?
Los datos del caso satisfacen “los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes”; por eso corresponden a Sustracción de radicales semejantes.
Respuesta: Sustracción de radicales semejantes
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Respecto de sustracción de radicales semejantes, evalúa la afirmación: “Los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes”.
Verdadero. La afirmación incluye la condición que caracteriza sustracción de radicales semejantes.
Respuesta: Verdadero
-
Para sustracción de radicales semejantes, se propone el caso “\(7\sqrt2-3\sqrt2=4\sqrt2\)”. ¿Cumple la idea “restar radicandos entre sí no es una propiedad válida”?
Verdadero. Al aplicar la definición de sustracción de radicales semejantes al caso, se verifica que restar radicandos entre sí no es una propiedad válida.
Respuesta: Verdadero
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La frase “raíces de igual índice pueden multiplicarse dentro de un solo radical: \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)” pertenece a un concepto cercano. ¿Basta por sí sola para definir completamente sustracción de radicales semejantes?
Falso. Esa frase no reúne las condiciones completas de sustracción de radicales semejantes; la definición pertinente es “los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes”.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En el caso “\(7\sqrt2-3\sqrt2=4\sqrt2\)”, ¿qué definición justifica de forma completa el procedimiento o la clasificación realizada?
La justificación debe nombrar la condición de sustracción de radicales semejantes: los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes.
Respuesta: los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes
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Un estudiante concluye que “restar radicandos entre sí no es una propiedad válida”. ¿Qué recurso matemático está usando principalmente?
Esa conclusión se obtiene al estudiar Sustracción de radicales semejantes, cuya definición es “los radicales semejantes se restan operando sus coeficientes”.
Respuesta: Sustracción de radicales semejantes
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Tras analizar “\(7\sqrt2-3\sqrt2=4\sqrt2\)”, ¿qué afirmación permite comprobar que la interpretación de sustracción de radicales semejantes es correcta?
El control pertinente para sustracción de radicales semejantes es “restar radicandos entre sí no es una propiedad válida”; las otras opciones se refieren a recursos vecinos.
Respuesta: restar radicandos entre sí no es una propiedad válida