Raíz de una raíz
Simplificar raíces anidadas.
Introducción
Cada radical divide un exponente; aplicar dos divisiones sucesivas equivale a dividir por el producto de los índices.
Explicación
Una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\).
La situación “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)” permite comprobar, y no solo memorizar, que en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Identifica el índice de cada radical, incluyendo el \(2\) implícito.
- Paso 2: Multiplica los índices y conserva el radicando.
- Paso 3: Revisa el dominio y eleva el resultado al índice combinado para verificar.
Ejemplos
1 \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\).
- Identifica el índice de cada radical, incluyendo el \(2\) implícito.
- Multiplica los índices y conserva el radicando.
- Revisa el dominio y eleva el resultado al índice combinado para verificar.
2 Una solución aplica “Multiplica los índices y conserva el radicando.”, pero termina sin comprobar que en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\). Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define raíz de una raíz: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\).
- Identifica el índice de cada radical, incluyendo el \(2\) implícito.
- Completa la revisión con este control: Revisa el dominio y eleva el resultado al índice combinado para verificar.
3 ¿Se cumple que en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)? — Raíz de una raíz
- Sí. La definición pertinente establece que una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\).
- El caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)” satisface esa condición.
- Revisa el dominio y eleva el resultado al índice combinado para verificar.
4 ¿Es válido omitir el paso “Identifica el índice de cada radical, incluyendo el \(2\) implícito”? — Raíz de una raíz
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de raíz de una raíz.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Multiplica los índices y conserva el radicando.
- La solución debe terminar de este modo: Revisa el dominio y eleva el resultado al índice combinado para verificar.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir raíz de una raíz con otro concepto y omitir este inicio: Identifica el índice de cada radical, incluyendo el \(2\) implícito."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar mecánicamente “Multiplica los índices y conserva el radicando.” sin revisar las condiciones de la definición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tomar “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)” como una igualdad aislada, sin explicar por qué es válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aceptar una respuesta que contradice la idea clave “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Terminar el desarrollo sin realizar este control: Revisa el dominio y eleva el resultado al índice combinado para verificar."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\). En exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\).
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué alternativa expresa el significado de raíz de una raíz sin omitir condiciones?
Para raíz de una raíz, la formulación completa es “una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”. Las demás alternativas describen conceptos distintos o incompletos.
Respuesta: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
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Entre los siguientes casos, ¿cuál representa raíz de una raíz?
El caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)” cumple la definición de raíz de una raíz: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\).
Respuesta: \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)
-
Selecciona la propiedad clave asociada con raíz de una raíz.
La conclusión específica para raíz de una raíz es “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”; funciona como control del razonamiento.
Respuesta: en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)” corresponde principalmente a uno de estos recursos. ¿A cuál?
Los datos del caso satisfacen “una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”; por eso corresponden a Raíz de una raíz.
Respuesta: Raíz de una raíz
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Respecto de raíz de una raíz, evalúa la afirmación: “Una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”.
Verdadero. La afirmación incluye la condición que caracteriza raíz de una raíz.
Respuesta: Verdadero
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Para raíz de una raíz, se propone el caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)”. ¿Cumple la idea “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”?
Verdadero. Al aplicar la definición de raíz de una raíz al caso, se verifica que en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\).
Respuesta: Verdadero
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La frase “raíces de igual índice pueden multiplicarse dentro de un solo radical: \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)” pertenece a un concepto cercano. ¿Basta por sí sola para definir completamente raíz de una raíz?
Falso. Esa frase no reúne las condiciones completas de raíz de una raíz; la definición pertinente es “una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un estudiante concluye que “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”. ¿Qué recurso matemático está usando principalmente?
Esa conclusión se obtiene al estudiar Raíz de una raíz, cuya definición es “una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”.
Respuesta: Raíz de una raíz
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En el caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)”, ¿qué definición justifica de forma completa el procedimiento o la clasificación realizada?
La justificación debe nombrar la condición de raíz de una raíz: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\).
Respuesta: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
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Tras analizar “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)”, ¿qué afirmación permite comprobar que la interpretación de raíz de una raíz es correcta?
El control pertinente para raíz de una raíz es “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”; las otras opciones se refieren a recursos vecinos.
Respuesta: en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)