Raíz de una raíz
Resumen inicial
La raíz de una raíz es igual a una única raíz cuyo índice es el producto de los índices originales y cuyo radicando es el mismo: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
Explicación en palabras simples
Cuando tienes una raíz adentro de otra raíz (como $\sqrt{\sqrt{81}}$), la regla es muy sencilla: multiplicas los números de los ganchos (los índices) y dejas el número de adentro igual.
- Como la raíz cuadrada tiene índice $2$, entonces $\sqrt{\sqrt{81}} = \sqrt[2 \cdot 2]{81} = \sqrt[4]{81} = 3$.
- De forma similar: $\sqrt[3]{\sqrt{64}} = \sqrt[3 \cdot 2]{64} = \sqrt[6]{64} = 2$.
- ¡Cuidado! Los índices se multiplican, ¡nunca se suman!
Explicación formal
Sean $a \in \mathbb{R}^+$ y $m, n \in \mathbb{N}$ con $m, n \ge 2$. La Propiedad de Composición Radical establece:
$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$$
Demostración analítica:
Por la ley de potencia de una potencia sobre exponentes racionales:
$$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \left(a^{1/n}\right)^{1/m} = a^{\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{m \cdot n}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$$
Composición múltiple:
$$\sqrt[p]{\sqrt[q]{\sqrt[r]{a}}} = \sqrt[p \cdot q \cdot r]{a} \quad (\forall p, q, r \in \mathbb{N}_{\ge 2})$$
La alternativa correcta es '$\sqrt[8]{x}$ (porque $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$)'.
Definiciones clave
- Composición radical: Anidamiento sucesivo de operadores de radicación.
- Índice compuesto: Producto resultante $m \cdot n$ de los órdenes de las raíces.
- Factor intermedio: Elemento escalar ubicado entre dos radicales consecutivos.
Propiedades y relaciones importantes
- Conmutatividad de índices: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$.
- Tratamiento de factores intermedios: $\sqrt{k \sqrt{a}} = \sqrt{\sqrt{k^2 \cdot a}} = \sqrt[4]{k^2 a}$.
Ejemplo guiado
Calcule y simplifique las expresiones $\sqrt{\sqrt{81}}$, $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$ y $\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}$.
- Paso 1: Evaluar $\sqrt{\sqrt{81}}$: Índices $2$ y $2$. Multiplicar índices: $2 \cdot 2 = 4 \implies \sqrt[4]{81} = 3$.
- Paso 2: Evaluar $\sqrt[3]{\sqrt{64}}$: Índices $3$ y $2$. Multiplicar índices: $3 \cdot 2 = 6 \implies \sqrt[6]{64} = 2$.
- Paso 3: Evaluar $\sqrt[4]{\sqrt[3]{x}}$: Índices $4$ y $3$. Multiplicar índices: $4 \cdot 3 = 12 \implies \sqrt[12]{x} = x^{1/12}$.
- Conclusión: Los resultados son $3$, $2$ y $\sqrt[12]{x}$.
La alternativa correcta es 'Porque $3 \cdot 2 = 6$ y $2^6 = 64$, dando $\sqrt[6]{64} = 2$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar todos los índices anidados ($m, n, \dots$).
- Paso 2: Si hay factores intermedios, introducirlos al radical interior correspondiente.
- Paso 3: Multiplicar los índices radicales para formar una sola raíz $\sqrt[m \cdot n]{a}$ y simplificar.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Sumar los índices en lugar de multiplicarlos ($\sqrt{\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x}$, no $\sqrt[4]{x}$). Cómo corregirlo: Por leyes de potencias se multiplican: $2 \cdot 2 = 4$.
- Error 2: Ignorar factores intermedios ($\sqrt{2\sqrt{2}} = \sqrt[4]{2}$). Cómo corregirlo: Ingresar primero el factor: $\sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[4]{8}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\sqrt[2 \cdot 2]{16} = \sqrt[4]{16} = 2$.
- $3 \cdot 5 = 15 \implies \sqrt[15]{a}$.
- Sí, $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 \implies \sqrt[8]{x}$.
- Sí, por conmutatividad del producto de índices $3 \cdot 2 = 2 \cdot 3 = 6 \implies \sqrt[6]{a}$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Reducir y calcular raíces de raíces anidadas en un solo radical.
Multiplicando algebraicamente los índices radicales $\sqrt[m \cdot n]{a}$, gestionando previamente los factores intermedios si existen y calculando el valor resultante.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿Qué alternativa expresa el significado de raíz de una raíz sin omitir condiciones?
Para raíz de una raíz, la formulación completa es “una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”. Las demás alternativas describen conceptos distintos o incompletos.
Respuesta: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
-
Entre los siguientes casos, ¿cuál representa raíz de una raíz?
El caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)” cumple la definición de raíz de una raíz: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\).
Respuesta: \(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)
-
Selecciona la propiedad clave asociada con raíz de una raíz.
La conclusión específica para raíz de una raíz es “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”; funciona como control del razonamiento.
Respuesta: en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)” corresponde principalmente a uno de estos recursos. ¿A cuál?
Los datos del caso satisfacen “una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”; por eso corresponden a Raíz de una raíz.
Respuesta: Raíz de una raíz
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Respecto de raíz de una raíz, evalúa la afirmación: “Una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”.
Verdadero. La afirmación incluye la condición que caracteriza raíz de una raíz.
Respuesta: Verdadero
-
Para raíz de una raíz, se propone el caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)”. ¿Cumple la idea “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”?
Verdadero. Al aplicar la definición de raíz de una raíz al caso, se verifica que en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\).
Respuesta: Verdadero
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La frase “raíces de igual índice pueden multiplicarse dentro de un solo radical: \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)” pertenece a un concepto cercano. ¿Basta por sí sola para definir completamente raíz de una raíz?
Falso. Esa frase no reúne las condiciones completas de raíz de una raíz; la definición pertinente es “una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Un estudiante concluye que “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”. ¿Qué recurso matemático está usando principalmente?
Esa conclusión se obtiene al estudiar Raíz de una raíz, cuya definición es “una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)”.
Respuesta: Raíz de una raíz
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En el caso “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)”, ¿qué definición justifica de forma completa el procedimiento o la clasificación realizada?
La justificación debe nombrar la condición de raíz de una raíz: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\).
Respuesta: una raíz aplicada a otra multiplica sus índices: \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}\)
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Tras analizar “\(\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=2\)”, ¿qué afirmación permite comprobar que la interpretación de raíz de una raíz es correcta?
El control pertinente para raíz de una raíz es “en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)”; las otras opciones se refieren a recursos vecinos.
Respuesta: en exponentes, \((a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(mn)}\)