Ingreso de un factor al interior de una raíz
Resumen inicial
Para ingresar un factor exterior al interior de una raíz, se eleva dicho factor al índice $n$ del radical y se multiplica por el radicando existente: $k \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{k^n \cdot c}$.
Explicación en palabras simples
Introducir un número dentro de una raíz es la operación inversa de la extracción:
- Para que un número pueda entrar bajo el techo del radical, debe 'pagar el peaje' elevándose al índice de la raíz.
- Por ejemplo, para meter el $3$ dentro de $\sqrt{2}$, como es raíz cuadrada ($n=2$), entra como $3^2 = 9$:
$$3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$$
- ¿Para qué sirve? ¡Es la mejor herramienta en la prueba PAES para comparar qué raíz es mayor! Si quieres saber si $3\sqrt{5}$ es mayor que $4\sqrt{3}$, los metes a la raíz: $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$ y $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$. Como $48 > 45$, entonces $4\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$.
Explicación formal
Sean $k, c \in \mathbb{R}^+$ y $n \in \mathbb{N}$ con $n \ge 2$. La Propiedad de Introducción Subradical establece:
$$k \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{k^n} \cdot \sqrt[n]{c} = \sqrt[n]{k^n \cdot c}$$
Preservación del signo en coeficientes negativos ($k < 0$):
- Para índice par ($n = 2j$): El signo menos NO ingresa al radical (violaría la condición de existencia real):
$$-k \sqrt{c} = -\left(k \sqrt{c}\right) = -\sqrt{k^2 \cdot c}$$
- Para índice impar ($n = 2j+1$): El signo negativo puede ingresar conservando la equivalencia:
$$-k \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{(-k)^3 \cdot c} = \sqrt[3]{-k^3 c}$$
La alternativa correcta es '$\sqrt{80}$ (porque $4^2 \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80$)'.
Definiciones clave
- Introducción subradical: Transformación de un producto $k\sqrt[n]{c}$ en un radical puro $\sqrt[n]{k^n c}$.
- Radical puro / simple: Expresión radical con coeficiente unitario $1$.
- Comparación de magnitudes: Ordenamiento de números irracionales mediante la función monótona creciente $\sqrt[n]{x}$.
Propiedades y relaciones importantes
- Monotonía estricta: Para $x, y > 0$: $x < y \iff \sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y}$.
- Comparación rápida: $2\sqrt{7} = \sqrt{28}$ vs $3\sqrt{3} = \sqrt{27} \implies 2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}$.
Ejemplo guiado
Exprese como radical simple $5\sqrt{3}$, $3\sqrt[3]{2}$ y $2\sqrt[4]{3}$ introduciendo los coeficientes.
- Paso 1: Evaluar $5\sqrt{3}$: Índice $2$. Entra como $5^2 = 25 \implies \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.
- Paso 2: Evaluar $3\sqrt[3]{2}$: Índice $3$. Entra como $3^3 = 27 \implies \sqrt[3]{27 \cdot 2} = \sqrt[3]{54}$.
- Paso 3: Evaluar $2\sqrt[4]{3}$: Índice $4$. Entra como $2^4 = 16 \implies \sqrt[4]{16 \cdot 3} = \sqrt[4]{48}$.
- Conclusión: Las formas como radical simple son $\sqrt{75}$, $\sqrt[3]{54}$ y $\sqrt[4]{48}$.
La alternativa correcta es '$4\sqrt{3}$ (porque $4\sqrt{3} = \sqrt{48}$ y $3\sqrt{5} = \sqrt{45}$, y $48 > 45$)'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el índice $n$ de la raíz receptora.
- Paso 2: Elevar el coeficiente exterior a la potencia $n$ ($k^n$).
- Paso 3: Multiplicar $k^n$ por el radicando interior $c$ bajo el radical único $\sqrt[n]{k^n \cdot c}$.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Ingresar el factor sin elevarlo al índice ($3\sqrt{2} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{6}$). Cómo corregirlo: Debe entrar elevado al índice: $3^2 \cdot 2 = 18 \implies \sqrt{18}$.
- Error 2: Ingresar el signo menos dentro de una raíz cuadrada ($-3\sqrt{2} = \sqrt{(-3)^2 \cdot 2} = \sqrt{18}$). Cómo corregirlo: El signo menos debe mantenerse afuera: $-\sqrt{18}$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.
- $\sqrt[3]{2^3 \cdot 5} = \sqrt[3]{8 \cdot 5} = \sqrt[3]{40}$.
- Sí, $6^2 \cdot 2 = 36 \cdot 2 = 72 \implies \sqrt{72}$.
- No, $-5\sqrt{2} = -\sqrt{50} < 0$, mientras que $\sqrt{50} > 0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Introducir factores externos al interior de una raíz para formar radicales puros y comparar magnitudes.
Elevando el factor exterior al índice $n$ de la raíz ($k^n$), multiplicándolo por el radicando existente bajo el radical único $\sqrt[n]{k^n \cdot c}$ y preservando los signos negativos exteriores.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
¿En cuál situación aparece correctamente ingreso de un factor al interior de una raíz?
El caso “\(3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{18}\)” cumple la definición de ingreso de un factor al interior de una raíz: un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\).
Respuesta: \(3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{18}\)
-
¿Qué conclusión es propia de ingreso de un factor al interior de una raíz?
La conclusión específica para ingreso de un factor al interior de una raíz es “para índices pares y factores negativos debe controlarse el signo antes de ingresa”; funciona como control del razonamiento.
Respuesta: para índices pares y factores negativos debe controlarse el signo antes de ingresa
-
¿Cuál formulación define con precisión ingreso de un factor al interior de una raíz?
Para ingreso de un factor al interior de una raíz, la formulación completa es “un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)”. Las demás alternativas describen conceptos distintos o incompletos.
Respuesta: un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
-
El caso “\(3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{18}\)” corresponde principalmente a uno de estos recursos. ¿A cuál?
Los datos del caso satisfacen “un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)”; por eso corresponden a Ingreso de un factor al interior de una raíz.
Respuesta: Ingreso de un factor al interior de una raíz
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
-
Respecto de ingreso de un factor al interior de una raíz, evalúa la afirmación: “Un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)”.
Verdadero. La afirmación incluye la condición que caracteriza ingreso de un factor al interior de una raíz.
Respuesta: Verdadero
-
Para ingreso de un factor al interior de una raíz, se propone el caso “\(3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{18}\)”. ¿Cumple la idea “para índices pares y factores negativos debe controlarse el signo antes de ingresa”?
Verdadero. Al aplicar la definición de ingreso de un factor al interior de una raíz al caso, se verifica que para índices pares y factores negativos debe controlarse el signo antes de ingresa.
Respuesta: Verdadero
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La frase “raíces de igual índice pueden multiplicarse dentro de un solo radical: \(\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)” pertenece a un concepto cercano. ¿Basta por sí sola para definir completamente ingreso de un factor al interior de una raíz?
Falso. Esa frase no reúne las condiciones completas de ingreso de un factor al interior de una raíz; la definición pertinente es “un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)”.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Tras analizar “\(3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{18}\)”, ¿qué afirmación permite comprobar que la interpretación de ingreso de un factor al interior de una raíz es correcta?
El control pertinente para ingreso de un factor al interior de una raíz es “para índices pares y factores negativos debe controlarse el signo antes de ingresa”; las otras opciones se refieren a recursos vecinos.
Respuesta: para índices pares y factores negativos debe controlarse el signo antes de ingresa
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Un estudiante concluye que “para índices pares y factores negativos debe controlarse el signo antes de ingresa”. ¿Qué recurso matemático está usando principalmente?
Esa conclusión se obtiene al estudiar Ingreso de un factor al interior de una raíz, cuya definición es “un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)”.
Respuesta: Ingreso de un factor al interior de una raíz
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En el caso “\(3\sqrt2=\sqrt{3^2\cdot2}=\sqrt{18}\)”, ¿qué definición justifica de forma completa el procedimiento o la clasificación realizada?
La justificación debe nombrar la condición de ingreso de un factor al interior de una raíz: un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\).
Respuesta: un factor exterior entra a una raíz elevado al índice: \(a\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a^n b}\)