Potencia de un producto
Resumen inicial
La potencia de un producto distribuye el exponente sobre cada uno de los factores multiplicativos: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$.
Explicación en palabras simples
Cuando tienes una multiplicación adentro de un paréntesis elevada a un exponente, ese exponente se reparte (se distribuye) a cada uno de los factores que se están multiplicando. Por ejemplo, $(2 \cdot 5)^3 = 2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$ (que es exactamente lo mismo que $10^3 = 1000$). Esta propiedad es clave en álgebra para monomios como $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$. ¡Cuidado: esto NUNCA se puede hacer con sumas!
Explicación formal
Sean $a, b \in \mathbb{R}$ y $n \in \mathbb{R}$. El Teorema de Distributividad de la Potenciación sobre el Producto establece que:
$$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$$
Demostración para $n \in \mathbb{N}$:
$$(a \cdot b)^n = \underbrace{(a \cdot b) \cdot (a \cdot b) \cdot \dots \cdot (a \cdot b)}_{n \text{ factores}}$$
Por las propiedades conmutativa y asociativa del producto en $\mathbb{R}$:
$$(a \cdot b)^n = \left(\underbrace{a \cdot a \dots a}_{n \text{ factores}}\right) \cdot \left(\underbrace{b \cdot b \dots b}_{n \text{ factores}}\right) = a^n \cdot b^n$$
Aplicación a monomios compuestos:
$$(k \cdot a^p \cdot b^q)^n = k^n \cdot a^{p \cdot n} \cdot b^{q \cdot n}$$
Principio de exclusividad operativa: La potenciación es distributiva respecto a la multiplicación y división, pero NO es distributiva respecto a la adición o sustracción: $(a+b)^n \neq a^n + b^n$.
La alternativa correcta es '$9x^2$ (elevando tanto el $3$ como la $x$ al cuadrado)'.
Definiciones clave
- Distributividad exponencial: Propiedad que permite aplicar el exponente a cada factor individual.
- Factorización potencial inversa: Reagrupación $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Propiedades y relaciones importantes
- Monomios algebraicos: $(4x^3)^2 = 4^2 \cdot (x^3)^2 = 16x^6$.
- Bases negativas con coeficientes: $(-2a)^4 = (-2)^4 \cdot a^4 = 16a^4$.
Ejemplo guiado
Calcule y exprese en forma simplificada las expresiones $(2 \cdot 3)^3$, $(4x^2)^3$ y $(-2a)^4$.
- Paso 1: Evaluar $(2 \cdot 3)^3$: Distribuir exponente $3$: $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$. (Equivale a $6^3 = 216$).
- Paso 2: Evaluar $(4x^2)^3$: Distribuir exponente $3$ al coeficiente y a la variable: $4^3 \cdot (x^2)^3 = 64 \cdot x^{2 \cdot 3} = 64x^6$.
- Paso 3: Evaluar $(-2a)^4$: Distribuir exponente par $4$: $(-2)^4 \cdot a^4 = 16a^4$.
- Conclusión: Los resultados son $216$, $64x^6$ y $16a^4$.
La alternativa correcta es 'Porque el exponente $4$ es par y $(-2)^4 = +16$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar cada uno de los factores dentro del paréntesis (números, coeficientes y variables).
- Paso 2: Aplicar el exponente exterior a cada factor de manera individual: $a^n \cdot b^n$.
- Paso 3: Resolver las potencias numéricas y aplicar potencia de potencia en las variables con exponente previo.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: No elevar el coeficiente numérico ($(2x)^3 = 2x^3$). Cómo corregirlo: El paréntesis exige elevar el número también: $2^3 \cdot x^3 = 8x^3$.
- Error 2: Distribuir la potencia en sumas ($(a+b)^2 = a^2 + b^2$). Cómo corregirlo: En la suma se desarrolla un producto notable: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $(5y)^3 = 5^3 \cdot y^3 = 125y^3$.
- $2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$.
- Sí, $(2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 16 \cdot 81 = 1296$.
- No, la potencia no es distributiva sobre la suma: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aplicar la ley distributiva de la potencia sobre productos en álgebra y aritmética.
Distribuyendo el exponente a cada factor numérico y literal ($(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$), calculando las potencias de coeficientes, y recordando que la potenciación jamás se distribuye sobre sumas o restas.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué alternativa expresa el significado de potencia de un producto sin omitir condiciones?
Para potencia de un producto, la formulación completa es “la potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\)”. Las demás alternativas describen conceptos distintos o incompletos.
Respuesta: la potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\)
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¿En cuál situación aparece correctamente potencia de un producto?
El caso “\((2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4=1296\)” cumple la definición de potencia de un producto: la potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\).
Respuesta: \((2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4=1296\)
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¿Qué conclusión es propia de potencia de un producto?
La conclusión específica para potencia de un producto es “cada repetición del producto contiene una copia de todos sus factores”; funciona como control del razonamiento.
Respuesta: cada repetición del producto contiene una copia de todos sus factores
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El caso “\((2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4=1296\)” corresponde principalmente a uno de estos recursos. ¿A cuál?
Los datos del caso satisfacen “la potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\)”; por eso corresponden a Potencia de un producto.
Respuesta: Potencia de un producto
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Respecto de potencia de un producto, evalúa la afirmación: “La potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\)”.
Verdadero. La afirmación incluye la condición que caracteriza potencia de un producto.
Respuesta: Verdadero
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Para potencia de un producto, se propone el caso “\((2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4=1296\)”. ¿Cumple la idea “cada repetición del producto contiene una copia de todos sus factores”?
Verdadero. Al aplicar la definición de potencia de un producto al caso, se verifica que cada repetición del producto contiene una copia de todos sus factores.
Respuesta: Verdadero
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La frase “al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: \(a^m a^n=a^{m+n}\)” pertenece a un concepto cercano. ¿Basta por sí sola para definir completamente potencia de un producto?
Falso. Esa frase no reúne las condiciones completas de potencia de un producto; la definición pertinente es “la potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\)”.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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En el caso “\((2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4=1296\)”, ¿qué definición justifica de forma completa el procedimiento o la clasificación realizada?
La justificación debe nombrar la condición de potencia de un producto: la potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\).
Respuesta: la potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\)
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Un estudiante concluye que “cada repetición del producto contiene una copia de todos sus factores”. ¿Qué recurso matemático está usando principalmente?
Esa conclusión se obtiene al estudiar Potencia de un producto, cuya definición es “la potencia de un producto se distribuye a cada factor: \((ab)^n=a^n b^n\)”.
Respuesta: Potencia de un producto
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Tras analizar “\((2\cdot3)^4=2^4\cdot3^4=1296\)”, ¿qué afirmación permite comprobar que la interpretación de potencia de un producto es correcta?
El control pertinente para potencia de un producto es “cada repetición del producto contiene una copia de todos sus factores”; las otras opciones se refieren a recursos vecinos.
Respuesta: cada repetición del producto contiene una copia de todos sus factores