Potencia de un cociente
Resumen inicial
La potencia de un cociente distribuye el exponente sobre el numerador y el denominador: $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ para $b \neq 0$.
Explicación en palabras simples
Cuando tienes una fracción o división adentro de un paréntesis elevada a un exponente, ese exponente se reparte tanto al numerador (arriba) como al denominador (abajo). Por ejemplo, $(2/5)^3 = 2^3 / 5^3 = 8/125$. Si el exponente es negativo, como $(2/3)^{-2}$, la fracción se da vuelta primero y luego se distribuye: $(3/2)^2 = 9/4$. ¡Es fundamental simplificar la fracción antes de elevarla para trabajar con números más chicos!
Explicación formal
Sean $a, b \in \mathbb{R}$ con $b \neq 0$ y $n \in \mathbb{R}$. El Teorema de Distributividad de la Potenciación sobre el Cociente establece que:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$
Demostración para $n \in \mathbb{N}$:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot \dots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ factores}} = \frac{\overbrace{a \cdot a \dots a}^{n \text{ factores}}}{\underbrace{b \cdot b \dots b}_{n \text{ factores}}} = \frac{a^n}{b^n}$$
Propiedad de inversión con exponente negativo ($a, b \neq 0$):
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$
Distribución en fracciones algebraicas compuestas:
$$\left(\frac{k \cdot x^p}{m \cdot y^q}\right)^n = \frac{k^n \cdot x^{p \cdot n}}{m^n \cdot y^{q \cdot n}}$$
La alternativa correcta es '$\frac{9}{16}$ (distribuyendo el cuadrado a $3^2$ y $4^2$)'.
Definiciones clave
- Potencia de un cociente: Elevación independiente del dividendo y divisor al mismo grado exponencial.
- Inversión fraccionaria: Propiedad que transforma $(\frac{a}{b})^{-n}$ en $(\frac{b}{a})^n$.
Propiedades y relaciones importantes
- Simplificación previa recomendada: $\left(\frac{10}{15}\right)^3 = \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$ (evita calcular $1000 / 3375$).
- Paréntesis indispensables: $\left(\frac{a}{b}\right)^n \neq \frac{a^n}{b}$ y $\neq \frac{a}{b^n}$.
Ejemplo guiado
Calcule y exprese en forma irreducible las potencias $\left(\frac{2}{5}\right)^3$, $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4$ y $\left(-\frac{3}{2}\right)^{-3}$.
- Paso 1: Evaluar $\left(\frac{2}{5}\right)^3$: Distribuir exponente $3$: $\frac{2^3}{5^3} = \frac{8}{125}$.
- Paso 2: Evaluar $\left(\frac{x^3}{2}\right)^4$: Distribuir exponente $4$: $\frac{(x^3)^4}{2^4} = \frac{x^{12}}{16}$.
- Paso 3: Evaluar $\left(-\frac{3}{2}\right)^{-3}$: Invertir la fracción cambiando signo del exponente: $\left(-\frac{2}{3}\right)^3$. Distribuir con signo impar: $-\frac{2^3}{3^3} = -\frac{8}{27}$.
- Conclusión: Los resultados son $\frac{8}{125}$, $\frac{x^{12}}{16}$ y $-\frac{8}{27}$.
La alternativa correcta es 'Invirtiendo la fracción a $\left(-\frac{2}{3}\right)^3$ y elevando a $-\frac{8}{27}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Simplificar la fracción interior a su forma irreductible si es posible.
- Paso 2: Si el exponente es negativo, invertir la fracción y convertir el exponente a positivo: $(\frac{b}{a})^n$.
- Paso 3: Distribuir el exponente independientemente al numerador y al denominador: $\frac{a^n}{b^n}$, aplicando reglas de signos de paridad.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Elevar solo el numerador (pensar que $(3/5)^2 = 9/5$). Cómo corregirlo: El paréntesis abarca toda la fracción; DEBE elevarse también el denominador: $\frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$.
- Error 2: Invertir y olvidar cambiar el signo del exponente. Cómo corregirlo: Al invertir la base, el exponente pasa a ser positivo: $(2/3)^{-4} = (3/2)^4 = 81/16$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $\left(\frac{1}{3}\right)^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$.
- $\left(\frac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$.
- Sí, $4^3 / 3^3 = 64 / 27$.
- No, el exponente 4 es par, por lo que $(-1/2)^4 = +1/16$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Aplicar la ley distributiva de la potencia sobre divisiones y fracciones.
Distribuyendo el exponente al numerador y denominador $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$ ($b \neq 0$), invirtiendo la fracción ante exponentes negativos $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$, y simplificando previamente la fracción para optimizar el cálculo.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
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¿Qué caso muestra de manera directa potencia de un cociente?
El caso “\(\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}\)” cumple la definición de potencia de un cociente: la potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\).
Respuesta: \(\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}\)
-
Selecciona la propiedad clave asociada con potencia de un cociente.
La conclusión específica para potencia de un cociente es “el denominador debe ser no nulo y recibe el mismo exponente que el numerado”; funciona como control del razonamiento.
Respuesta: el denominador debe ser no nulo y recibe el mismo exponente que el numerado
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Una estudiante necesita recordar qué es potencia de un cociente. ¿Qué opción debería anotar?
Para potencia de un cociente, la formulación completa es “la potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\)”. Las demás alternativas describen conceptos distintos o incompletos.
Respuesta: la potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El caso “\(\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}\)” corresponde principalmente a uno de estos recursos. ¿A cuál?
Los datos del caso satisfacen “la potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\)”; por eso corresponden a Potencia de un cociente.
Respuesta: Potencia de un cociente
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Respecto de potencia de un cociente, evalúa la afirmación: “La potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\)”.
Verdadero. La afirmación incluye la condición que caracteriza potencia de un cociente.
Respuesta: Verdadero
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Para potencia de un cociente, se propone el caso “\(\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}\)”. ¿Cumple la idea “el denominador debe ser no nulo y recibe el mismo exponente que el numerado”?
Verdadero. Al aplicar la definición de potencia de un cociente al caso, se verifica que el denominador debe ser no nulo y recibe el mismo exponente que el numerado.
Respuesta: Verdadero
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La frase “al multiplicar potencias de igual base se suman los exponentes: \(a^m a^n=a^{m+n}\)” pertenece a un concepto cercano. ¿Basta por sí sola para definir completamente potencia de un cociente?
Falso. Esa frase no reúne las condiciones completas de potencia de un cociente; la definición pertinente es “la potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\)”.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Tras analizar “\(\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}\)”, ¿qué afirmación permite comprobar que la interpretación de potencia de un cociente es correcta?
El control pertinente para potencia de un cociente es “el denominador debe ser no nulo y recibe el mismo exponente que el numerado”; las otras opciones se refieren a recursos vecinos.
Respuesta: el denominador debe ser no nulo y recibe el mismo exponente que el numerado
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En el caso “\(\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}\)”, ¿qué definición justifica de forma completa el procedimiento o la clasificación realizada?
La justificación debe nombrar la condición de potencia de un cociente: la potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\).
Respuesta: la potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\)
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Un estudiante concluye que “el denominador debe ser no nulo y recibe el mismo exponente que el numerado”. ¿Qué recurso matemático está usando principalmente?
Esa conclusión se obtiene al estudiar Potencia de un cociente, cuya definición es “la potencia de un cociente se aplica al numerador y al denominador: \((a/b)^n=a^n/b^n\)”.
Respuesta: Potencia de un cociente