Potencia con exponente entero negativo
Resumen inicial
Un exponente entero negativo indica el inverso multiplicativo (recíproco) de la base: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ y $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.
Explicación en palabras simples
Tener un signo menos en el exponente NO significa que el resultado sea negativo. El signo menos en el exponente funciona como un botón de 'invertir': da vuelta la base. Si tenemos un número entero como $2^{-3}$, lo mandamos abajo como fracción: $\frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$. Si tenemos una fracción como $(2/5)^{-2}$, simplemente la damos vuelta: $(5/2)^2 = 25/4$.
Explicación formal
Para todo número real $a \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$ y todo entero $n \in \mathbb{N}$, la Potencia con Exponente Entero Negativo se define como el inverso multiplicativo de $a^n$:
$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Demostración mediante el cociente de potencias:
$$a^{-n} = a^{0-n} = \frac{a^0}{a^n} = \frac{1}{a^n}$$
Propiedad de inversión de fracciones:
Para todo $a, b \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$:
$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n} = \frac{1}{\frac{a^n}{b^n}} = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$$
El inverso multiplicativo directo ($n = 1$):
$$a^{-1} = \frac{1}{a} \quad \text{y} \quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$$
La alternativa correcta es '$\frac{1}{27}$ (invirtiendo la base a $\frac{1}{3^3}$)'.
Definiciones clave
- Exponente negativo: Operador que transforma la base en su recíproco multiplicativo.
- Inverso multiplicativo (recíproco): Número que multiplicado por el original da $1$ ($a \cdot a^{-1} = 1$).
Propiedades y relaciones importantes
- Paso entre numerador y denominador: $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ y $\frac{a^{-n}}{b^{-m}} = \frac{b^m}{a^n}$.
- Preservación de signo de la base: Si la base es positiva, el resultado es estrictamente positivo ($3^{-2} = +1/9$).
Ejemplo guiado
Calcule el valor de $5^{-2}$, $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$ y $(-2)^{-3}$.
- Paso 1: Evaluar $5^{-2}$: Invertir la base: $\frac{1}{5^2} = \frac{1}{25}$. (Resultado positivo $+1/25$).
- Paso 2: Evaluar $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2}$: Invertir la fracción: $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{4^2}{3^2} = \frac{16}{9}$.
- Paso 3: Evaluar $(-2)^{-3}$: Invertir la base conservando su signo: $\frac{1}{(-2)^3} = \frac{1}{-8} = -\frac{1}{8}$.
- Conclusión: $5^{-2} = \frac{1}{25}$, $\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \frac{16}{9}$ y $(-2)^{-3} = -\frac{1}{8}$.
La alternativa correcta es 'Invirtiendo la fracción a $\left(\frac{4}{3}\right)^2$ y elevando a $\frac{16}{9}$'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar el signo negativo en el exponente.
- Paso 2: Invertir la base (si es un entero $a$, pasa a $\frac{1}{a}$; si es una fracción $\frac{a}{b}$, pasa a $\frac{b}{a}$).
- Paso 3: Cambiar el signo del exponente a positivo y calcular la potencia resultante.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Creer que el exponente negativo vuelve negativo el resultado ($2^{-3} = -8$). Cómo corregirlo: El signo menos en el exponente NO cambia el signo del número, solo lo invierte ($2^{-3} = 1/2^3 = 1/8$).
- Error 2: Invertir la base y conservar el exponente negativo. Cómo corregirlo: Al dar vuelta la base, el exponente DEBE pasar a ser positivo ($(2/3)^{-4} = (3/2)^4$).
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$.
- $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$.
- Sí, $10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.
- Sí, $(-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9} > 0$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
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Esta afirmación es correcta.
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Al terminar debes poder
Calcular y simplificar potencias con exponente entero negativo.
Aplicando la regla del recíproco $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ e invirtiendo fracciones $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$, pasando el exponente a positivo y evitando confundir la inversión con un cambio de signo del resultado.
Practica
Preguntas conceptuales
Verificar las ideas clave antes de calcular.
-
Selecciona la descripción matemática completa de potencia con exponente entero negativo.
Para potencia con exponente entero negativo, la formulación completa es “para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\)”. Las demás alternativas describen conceptos distintos o incompletos.
Respuesta: para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\)
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¿Qué conclusión es propia de potencia con exponente entero negativo?
La conclusión específica para potencia con exponente entero negativo es “un exponente negativo produce el recíproco; no vuelve negativo el valor por sí mismo”; funciona como control del razonamiento.
Respuesta: un exponente negativo produce el recíproco; no vuelve negativo el valor por sí mismo
-
¿En cuál situación aparece correctamente potencia con exponente entero negativo?
El caso “\(2^{-3}=1/2^3=1/8\)” cumple la definición de potencia con exponente entero negativo: para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\).
Respuesta: \(2^{-3}=1/2^3=1/8\)
Reconocimiento
Identificar elementos, datos o procedimientos.
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El caso “\(2^{-3}=1/2^3=1/8\)” corresponde principalmente a uno de estos recursos. ¿A cuál?
Los datos del caso satisfacen “para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\)”; por eso corresponden a Potencia con exponente entero negativo.
Respuesta: Potencia con exponente entero negativo
Ejercicios básicos
Aplicar el procedimiento principal en casos simples.
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Respecto de potencia con exponente entero negativo, evalúa la afirmación: “Para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\)”.
Verdadero. La afirmación incluye la condición que caracteriza potencia con exponente entero negativo.
Respuesta: Verdadero
-
Para potencia con exponente entero negativo, se propone el caso “\(2^{-3}=1/2^3=1/8\)”. ¿Cumple la idea “un exponente negativo produce el recíproco; no vuelve negativo el valor por sí mismo”?
Verdadero. Al aplicar la definición de potencia con exponente entero negativo al caso, se verifica que un exponente negativo produce el recíproco; no vuelve negativo el valor por sí mismo.
Respuesta: Verdadero
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La frase “una potencia \(a^n\) abrevia el producto de \(n\) factores iguales a \(a\) cuando \(n\) es natural” pertenece a un concepto cercano. ¿Basta por sí sola para definir completamente potencia con exponente entero negativo?
Falso. Esa frase no reúne las condiciones completas de potencia con exponente entero negativo; la definición pertinente es “para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\)”.
Respuesta: Falso
Preguntas tipo PAES
Resolver preguntas con formato y distractores similares a PAES.
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Tras analizar “\(2^{-3}=1/2^3=1/8\)”, ¿qué afirmación permite comprobar que la interpretación de potencia con exponente entero negativo es correcta?
El control pertinente para potencia con exponente entero negativo es “un exponente negativo produce el recíproco; no vuelve negativo el valor por sí mismo”; las otras opciones se refieren a recursos vecinos.
Respuesta: un exponente negativo produce el recíproco; no vuelve negativo el valor por sí mismo
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En el caso “\(2^{-3}=1/2^3=1/8\)”, ¿qué definición justifica de forma completa el procedimiento o la clasificación realizada?
La justificación debe nombrar la condición de potencia con exponente entero negativo: para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\).
Respuesta: para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\)
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Un estudiante concluye que “un exponente negativo produce el recíproco; no vuelve negativo el valor por sí mismo”. ¿Qué recurso matemático está usando principalmente?
Esa conclusión se obtiene al estudiar Potencia con exponente entero negativo, cuya definición es “para \(a\neq0\), \(a^{-n}=1/a^n\)”.
Respuesta: Potencia con exponente entero negativo