Identificación de fi como número irracional
Reconocer y utilizar la forma exacta del número áureo.
Introducción
Una proporción es áurea cuando la razón entre el total y la parte mayor coincide con la razón entre la parte mayor y la menor. Esa condición conduce a una ecuación cuadrática y al valor \(\varphi\).
Explicación
El número áureo es \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\).
La situación “\(\varphi^2=\varphi+1\), propiedad que se verifica a partir de su forma radical” permite comprobar, y no solo memorizar, que \(\varphi\) es irracional porque contiene la raíz no exacta \(\sqrt5\)
Cómo hacerlo paso a paso
- Paso 1: Parte de \(\varphi=(1+\sqrt5)/2\) o de la ecuación \(x^2=x+1\).
- Paso 2: Opera manteniendo \(\sqrt5\) para no perder exactitud.
- Paso 3: Comprueba la identidad \(\varphi^2=\varphi+1\) o aproxima solo al final.
Ejemplos
1 \(\varphi^2=\varphi+1\), propiedad que se verifica a partir de su forma radical.
- Parte de \(\varphi=(1+\sqrt5)/2\) o de la ecuación \(x^2=x+1\).
- Opera manteniendo \(\sqrt5\) para no perder exactitud.
- Comprueba la identidad \(\varphi^2=\varphi+1\) o aproxima solo al final.
2 Una solución aplica “Opera manteniendo \(\sqrt5\) para no perder exactitud.”, pero termina sin comprobar que \(\varphi\) es irracional porque contiene la raíz no exacta \(\sqrt5\). Determina qué falta justificar.
- Vuelve a la condición que define identificación de fi como número irracional: el número áureo es \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\).
- Parte de \(\varphi=(1+\sqrt5)/2\) o de la ecuación \(x^2=x+1\).
- Completa la revisión con este control: Comprueba la identidad \(\varphi^2=\varphi+1\) o aproxima solo al final.
3 ¿Se cumple que \(\varphi\) es irracional porque contiene la raíz no exacta \(\sqrt5\)? — Identificación de fi como número irracional
- Sí. La definición pertinente establece que el número áureo es \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\).
- El caso “\(\varphi^2=\varphi+1\), propiedad que se verifica a partir de su forma radical” satisface esa condición.
- Comprueba la identidad \(\varphi^2=\varphi+1\) o aproxima solo al final.
4 ¿Es válido omitir el paso “Parte de \(\varphi=(1+\sqrt5)/2\) o de la ecuación \(x^2=x+1\)”? — Identificación de fi como número irracional
- No. Ese paso comprueba una condición necesaria de identificación de fi como número irracional.
- Omitirlo puede volver inválida la acción siguiente: Opera manteniendo \(\sqrt5\) para no perder exactitud.
- La solución debe terminar de este modo: Comprueba la identidad \(\varphi^2=\varphi+1\) o aproxima solo al final.
Ejemplos Verdadero/Falso
"Confundir identificación de fi como número irracional con otro concepto y omitir este inicio: Parte de \(\varphi=(1+\sqrt5)/2\) o de la ecuación \(x^2=x+1\)."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aplicar mecánicamente “Opera manteniendo \(\sqrt5\) para no perder exactitud.” sin revisar las condiciones de la definición."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Tomar “\(\varphi^2=\varphi+1\), propiedad que se verifica a partir de su forma radical” como una igualdad aislada, sin explicar por qué es válida."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Aceptar una respuesta que contradice la idea clave “\(\varphi\) es irracional porque contiene la raíz no exacta \(\sqrt5\)”."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
"Terminar el desarrollo sin realizar este control: Comprueba la identidad \(\varphi^2=\varphi+1\) o aproxima solo al final."
¿Es correcta esta afirmación?
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
El número áureo es \(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}\). \(\varphi\) es irracional porque contiene la raíz no exacta \(\sqrt5\).