Ciclo de potencias de la unidad imaginaria
Resumen inicial
Las potencias enteras de la unidad imaginaria forman un ciclo periódico de longitud 4: $\{1, i, -1, -i\}$, de modo que $i^k = i^r$, donde $r$ es el resto de la división euclídea de $k$ entre 4 ($r \in \{0, 1, 2, 3\}$).
Explicación en palabras simples
Las potencias de $i$ se repiten en un reloj de 4 posiciones:
- $i^0 = 1$
- $i^1 = i$
- $i^2 = -1$
- $i^3 = i^2 \cdot i = -i$
- $i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1$ (¡vuelve a empezar!).
- Para calcular una potencia grande como $i^{23}$, divides el exponente por 4 y te quedas con el resto:
- $23 : 4 = 5$ con resto 3.
- Por lo tanto: $i^{23} = i^3 = -i$.
Explicación formal
Sea $k \in \mathbb{Z}$. Por el algoritmo de la división euclídea, existen únicos enteros $q \in \mathbb{Z}$ (cociente) y $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ (resto) tales que:
$$k = 4q + r \quad (0 \le r < 4)$$
Aplicando las propiedades de las potencias y el hecho de que $i^4 = 1$:
$$i^k = i^{4q + r} = (i^4)^q \cdot i^r = 1^q \cdot i^r = i^r$$
Tabla Fundamental del Ciclo Periódico:
- Si $r = 0$ ($k$ múltiplo de 4): $i^k = i^0 = 1$
- Si $r = 1$ ($k = 4q + 1$): $i^k = i^1 = i$
- Si $r = 2$ ($k = 4q + 2$): $i^k = i^2 = -1$
- Si $r = 3$ ($k = 4q + 3$): $i^k = i^3 = -i$
La alternativa correcta es '$-1$ (porque $42 = 4 \times 10 + 2$, resto 2 $\implies i^2 = -1$)'.
Definiciones clave
- Ciclo de potencias de $i$: Conjunto periódico $\{1, i, -1, -i\}$.
- Aritmética modular (módulo 4): Reducción del exponente al resto de su división por 4.
- Período ($T = 4$): Longitud de la secuencia de repetición invariante.
Propiedades y relaciones importantes
- Suma de 4 potencias consecutivas: $i^k + i^{k+1} + i^{k+2} + i^{k+3} = 1 + i - 1 - i = 0$.
- Potencias negativas: $i^{-k} = \frac{1}{i^k} = i^{-k + 4m}$ sumando múltiplos de 4 al exponente.
Ejemplo guiado
Calcule el valor exacto de $i^{23}$ y simplifique $i^{100}$.
- Paso 1: Para $i^{23}$: Dividir 23 entre 4: $23 = 4 \cdot 5 + 3$ (cociente 5, resto 3).
- Paso 2: Reemplazar por el resto $r = 3$: $i^{23} = i^3 = -i$.
- Paso 3: Para $i^{100}$: Dividir 100 entre 4: $100 = 4 \cdot 25 + 0$ (resto 0).
- Paso 4: Reemplazar por el resto $r = 0$: $i^{100} = i^0 = 1$.
La alternativa correcta es 'Porque 100 es múltiplo exacto de 4, lo que da resto 0 y $i^0 = 1$'.
Procedimiento
- Paso 1: Tomar el exponente entero $k$ y dividirlo por 4.
- Paso 2: Identificar el resto $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ de la división entera.
- Paso 3: Evaluar la potencia reducida $i^r$ usando los valores elementales ($i^0 = 1, i^1 = i, i^2 = -1, i^3 = -i$).
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Utilizar el cociente en lugar del resto ($i^{23} = i^5$). Cómo corregirlo: La potencia equivalente depende exclusivamente del resto de la división: $23 = 4(5) + 3 \implies i^{23} = i^3 = -i$.
- Error 2: Pensar que el ciclo tiene 2 valores. Cómo corregirlo: El ciclo tiene 4 valores ordenados: $1, i, -1, -i$.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $15 = 4 \cdot 3 + 3 \implies i^{15} = i^3 = -i$.
- $E = i + (-1) + (-i) + 1 = 0$ (suma de 4 potencias consecutivas).
- Sí, porque $57 = 4 \cdot 14 + 1 \implies i^{57} = i^1 = i$.
- Sí, porque 2024 termina en 24 (múltiplo de 4), dando resto 0 y $i^0 = 1$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Al terminar debes poder
Calcular y simplificar cualquier potencia entera positiva o negativa de la unidad imaginaria $i^k$.
Dividiendo el exponente $k$ por 4 para hallar el resto $r \in \{0, 1, 2, 3\}$ y aplicando la equivalencia directa $i^k = i^r$ con la tabla base $\{1, i, -1, -i\}$.