Ubicación de un número complejo en el plano complejo

Un número complejo $z = a + bi$ se representa en el plano complejo de Argand-Gauss mediante su punto afijo $P(a, b)$ o como un vector posición que va desde el origen $(0,0)$ hasta $(a,b)$.

El plano complejo (o plano de Argand-Gauss) es similar al plano cartesiano tradicional:
- El eje horizontal es el Eje Real (donde se ubica $a = \operatorname{Re}(z)$).
- El eje vertical es el Eje Imaginario (donde se ubica $b = \operatorname{Im}(z)$).
- El punto que representa al número complejo se llama afijo: $P(a, b)$.
- Cuadrantes:
- I: $a > 0, b > 0$
- II: $a < 0, b > 0$
- III: $a < 0, b < 0$
- IV: $a > 0, b < 0$

El plano complejo de Argand-Gauss es una representación geométrica bidimensional donde se establece una biyección entre $\mathbb{C}$ y los puntos del plano $\mathbb{R}^2$:

$$z = a + bi \longleftrightarrow P(a, b) \in \mathbb{R}^2$$

Elementos Geométricos:
1. Afijo: Punto geométrico $P(a, b)$.
2. Vector Posición: Vector $\vec{v} = \langle a, b \rangle$ con origen en $(0, 0)$ y extremo en $P$.
3. Eje Real (Re): Recta $y = 0$ que contiene a todos los números reales ($z = a + 0i$).
4. Eje Imaginario (Im): Recta $x = 0$ que contiene a los números imaginarios puros ($z = 0 + bi$).

• Plano de Argand-Gauss: Sistema coordenado bidimensional con eje horizontal Real y vertical Imaginario.
• Afijo ($P(a, b)$): Punto en el plano que representa al número complejo.
• Vector posición: Segmento orientado desde el origen hasta el afijo.

• Suma como regla del paralelogramo: La suma $z_1 + z_2$ corresponde a la suma vectorial en el plano.
• Módulo como longitud: La longitud del vector posición es exactamente el módulo $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Determine el cuadrante del plano donde se ubica $z_1 = -5 - 2i$ e identifique la posición de $z_2 = 4$ y $z_3 = -3i$.