Representación cartesiana de un número complejo
Resumen inicial
La representación cartesiana de un número complejo es el par ordenado de números reales $z = (a, b)$, donde $a = \operatorname{Re}(z)$ es la abscisa y $b = \operatorname{Im}(z)$ es la ordenada.
Explicación en palabras simples
Además de la forma binómica ($a + bi$), un número complejo se puede escribir como un par ordenado de coordenadas:
- Se escribe $z = (a, b)$.
- La primera coordenada ($a$) es la parte real $\operatorname{Re}(z)$.
- La segunda coordenada ($b$) es la parte imaginaria $\operatorname{Im}(z)$ (¡sin la letra $i$!).
- Ejemplo: $z = -3 + 8i \iff z = (-3, 8)$.
- Para un número real: $5 \iff (5, 0)$. Para un imaginario puro: $-6i \iff (0, -6)$.
Explicación formal
La forma cartesiana o de par ordenado define formalmente a los números complejos como elementos del producto cartesiano $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$:
$$z = (a, b) \quad (a, b \in \mathbb{R})$$
Axiomas de Cuerpo en Forma Cartesiana:
1. Suma: $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$
2. Producto: $(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc)$
3. Unidad Real: $(1, 0) = 1$
4. Unidad Imaginaria: $(0, 1) = i$, verificando $(0, 1) \cdot (0, 1) = (0 - 1, 0 + 0) = (-1, 0) = -1$.
La alternativa correcta es '$(4, -7)$'. En el par ordenado solo se colocan los coeficientes reales.
Definiciones clave
- Forma cartesiana ($(a, b)$): Representación de $z$ como par ordenado en $\mathbb{R}^2$.
- Abscisa real ($a$): Primera componente del par ordenado.
- Ordenada imaginaria ($b$): Segunda componente del par ordenado.
Propiedades y relaciones importantes
- Equivalencia canónica: $(a, b) \longleftrightarrow a + bi$.
- Definición histórica de Hamilton: Fundamentación formal de $\mathbb{C}$ como pares ordenados sin recurrir a $\sqrt{-1}$.
Ejemplo guiado
Convierta el complejo $z_1 = -3 + 8i$ a par ordenado y el par $z_2 = (0, -6)$ a forma binomial.
- Paso 1: Para $z_1 = -3 + 8i$: Parte real $a = -3$, parte imaginaria $b = 8 \implies (-3, 8)$.
- Paso 2: Para $z_2 = (0, -6)$: Parte real $a = 0$, parte imaginaria $b = -6$.
- Paso 3: Escribir en forma $a + bi$: $0 + (-6)i = -6i$.
- Conclusión: Las formas correspondientes son $(-3, 8)$ y $-6i$.
La alternativa correcta es '$-6i$ (imaginario puro)'.
Procedimiento
- Paso 1: Identificar la parte real $a$ y la parte imaginaria $b$ del complejo.
- Paso 2: Escribir el par ordenado $(a, b)$ ubicando a $a$ en la primera posición y a $b$ en la segunda.
- Paso 3: Asegurarse de no colocar la letra $i$ dentro del paréntesis.
Errores frecuentes y cómo corregirlos
- Error 1: Colocar la letra 'i' en el par ordenado ($(a, bi)$). Cómo corregirlo: La forma cartesiana utiliza únicamente números reales: $(a, b)$.
- Error 2: Invertir el orden de las coordenadas ($(b, a)$). Cómo corregirlo: El primer elemento es obligatoriamente la parte real y el segundo la parte imaginaria.
Ejemplos
Responde los siguientes ejercicios para poner a prueba lo que acabas de aprender.
- $z = -14 + 0i \implies (-14, 0)$.
- $a = 5, b = -1 \implies 5 + (-1)i = 5 - i$.
- Sí, porque $i = 0 + 1i \implies (0, 1)$.
- Sí, ambas dan $(a + c, b + d) = (a + c) + (b + d)i$.
Ejemplos Verdadero/Falso
Decide si cada afirmación es verdadera o falsa antes de ver la explicación.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Esta afirmación describe un error frecuente: es incorrecta.
Esta afirmación es correcta.
Al terminar debes poder
Expresar y convertir números complejos entre su forma cartesiana $(a, b)$ y binomial $a + bi$.
Asignando la parte real $a = \operatorname{Re}(z)$ a la primera coordenada y la parte imaginaria $b = \operatorname{Im}(z)$ a la segunda coordenada sin incluir la letra $i$.